全国一卷高考理科数学试卷及答案

全国一卷高考理科数学试卷及答案

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学 ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=‎ ‎.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）‎ ‎2.=‎ ‎. . . .‎ ‎3.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是 ‎.是偶函数 .||是奇函数 ‎.||是奇函数 .||是奇函数 ‎4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为. .3 . .‎ ‎5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ‎. . . .‎ ‎6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为 ‎7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的= ‎ ‎. . . .‎ ‎8.设，，且，则 ‎. . . .‎ ‎9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：‎ ‎：， ：,‎ ‎：， ：.‎ 其中真命题是 ‎ .， .， .， .，‎ ‎10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=‎ ‎. . .3 .2‎ ‎11.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为 ‎.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）‎ ‎12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 ‎. . .6 .4‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。‎ ‎13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)‎ ‎14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .‎ ‎15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .‎ ‎16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.‎ ‎18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.‎ 附：≈12.2.若～，则=0.6826，=0.9544.‎ ‎19. (本小题满分12分)如图三棱锥中，‎ 侧面为菱形，.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.‎ ‎20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎21. (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，）处的切线为. （I）求； （Ⅱ）证明：.‎ 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE ‎ (Ⅰ)证明：∠D=∠E；学科网 ‎ ‎（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若，且.‎ ‎（I） 求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案 ‎1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13．－20 14．A 15．90° 16． ‎ ‎17．【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减 ‎，由于，所以 …………6分 ‎（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知 假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；‎ 证明时，{}为等差数列：由知 数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列 令则，∴‎ 数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列 令则，∴‎ ‎∴（），‎ 因此，存在存在，使得{}为等差数列. ………12分 ‎18．【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 ‎ …………6分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知～，从而 ‎ ………………9分 ‎（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826‎ 依题意知，所以 ………12分 ‎19．【解析】：(Ⅰ)连结，交于O，连结AO．因为侧面为菱形，所以^，且O为与的中点．又，所以平面，故=又 ，故 ………6分 ‎（Ⅱ）因为且O为的中点，所以AO=CO= 又因为AB=BC=，所以 故OA⊥OB^，从而OA，OB，两两互相垂直． ‎ 以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-． 因为，所以为等边三角形．又AB=BC=，则 ‎，，，‎ ‎，‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即 所以可取 设是平面的法向量，则，同理可取 则，所以二面角的余弦值为.‎ ‎20．【解析】(Ⅰ) 设()，由条件知，得= 又，‎ 所以a=2=， ,故的方程. ……….6分 ‎（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 ‎ 将代入，得，‎ 当，即时，‎ 从而= + 又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ，‎ 设，则，，‎ 当且仅当，时等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. …………………………12分 ‎21．【解析】(Ⅰ) 函数的定义域为，‎ 由题意可得()，故 ……………6分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，(，从而等价于 设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递减，在()单调递增，从而()在()¥的最小值为(. ……………8分 设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递增，在()单调递减，从而()在()¥的最小值为(. 综上：当时，，即. ……12分 ‎22．【解析】.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E ,‎ 所以D=EÐ ……………5分 ‎（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC=,知MN⊥BC^ 所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE， 又CBE=E，故A=EÐ=Ð由(Ⅰ)（1）知D=E， 所以△ADE为等边三角形． ……………10分 ‎23．【解析】.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （为参数）， ‎ 直线l的普通方程为： ………5分 ‎ ‎（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为 ‎，‎ 则+-，其中为锐角．且.‎ 当时，取得最大值，最大值为；‎ 当时，取得最小值，最小值为. …………10分 ‎24．【解析】(Ⅰ) 由，得，且当时等号成立，‎ 故，且当时等号成立，∴的最小值为.…5分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知：，‎ 由于＞6，从而不存在，使得. ……………10分