高考数学大题专题练习——圆锥曲线二

高考数学大题专题练习——圆锥曲线二

‎2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（二）‎ ‎1.椭圆C1：的离心率为，椭圆C1截直线所得的弦长为.过椭圆C1的左顶点A作直线l与椭圆交于另一点，直线l与圆C2：相切于点N.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线l的方程和圆C2的半径.‎ ‎2.已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C，D，连结AD，BC交于点Q，若实数满足：，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：点Q在一定直线上.‎ ‎3.已知椭圆C：上顶点为D，右焦点为F，过右顶点A作直线，且与y轴交于点，又在直线和椭圆C上分别取点Q和点E，满足（O为坐标原点），连接EQ.‎ ‎（1）求t的值，并证明直线AP与圆相切；‎ ‎（2）判断直线EQ与圆是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.‎ ‎4.如图，△AOB的顶点A在射线上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足，当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W.‎ ‎（1）求轨迹W的方程；‎ ‎（2）设为x轴正半轴上一点，求的最小值.‎ ‎5.已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线：的距离为，到点的距离为，且.直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A、B都在x轴上方），且.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；‎ ‎（3）对于直线l，是否存在一个定点，无论如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（m＞0）的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点．‎ ‎（1）求m的值及椭圆的准线方程；‎ ‎（2）设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．‎ ‎7.如图，在平面直角坐标系xOy，已知椭圆的离心率为，且过点.F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）设直线AB，CD的斜率分别为，是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎8.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若点A，B分别是椭圆E的左右顶点，直线l经过点B且垂直与轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M.‎ ‎①设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；‎ ‎②设过点M垂直于PB的直线为m ，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标.‎ ‎9.已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于AB两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.‎ ‎10.已知椭圆C：（）的右焦点在直线：上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线经过点，且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线：（其中）使得A，B到的距离，满足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎11.已知点，其中是曲线上的两点，A，D两点在轴上的射影分别为点B，C，且. ‎ ‎（I）当点B的坐标为(1,0)时，求直线AD的斜率；‎ ‎（II）记△OAD的面积为，梯形ABCD的面积为，求证：.‎ ‎12.已知点C在圆上，A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，线段BC的垂直平分线交线段AC于点M.‎ ‎（1）求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）设圆与点M的轨迹E交于不同的四个点D，E，F，G，求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标.‎ ‎13.已知椭圆C1：，曲线C2上的动点满足：‎ ‎.‎ ‎（1）求曲线C2的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，第一象限的点A，B分别在C1和C2上，，求线段|AB|的长.‎ ‎14.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程.‎ ‎15.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线与椭圆C交于M，N两点.‎ ‎（1）已知，椭圆C的离心率为，直线交直线于点P，求的周长及的面积；‎ ‎（2）当且点M在第一象限时，直线交轴于点Q，，证明：点M在定直线上.‎ ‎16.已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线AB：y=k（x+1）交椭圆C于A、B两点，交直线l：x=m于点M，设直线PA、PB、PM的斜率依次为k1、k2、k3，问是否存在实数t，使得k1+k2=tk3？若存在，求出实数t的值以及直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎17.已知椭圆的右焦点为左顶点为 ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M,N两点.试判断直线MN与x轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.‎ 参考答案 ‎1.（Ⅰ）由题意知，，即，∴，∵由椭圆截直线所得的弦长为，∴弦在第一象限的端点的坐标为，∴，将代入上式，解得.∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，∵，∴，∴，设直线的方程为，联立，得，∴；联立，得，∵，∴，且；∴，解得，∴，∴.‎ ‎2.（1）因为，由轴，由对称轴不妨设，则直线 又左准线，所以，‎ 又，所以 同理：由，得：‎ 又，所以 又，比较系数得：，所以 ‎（2）证明：设点，，‎ 由，得，‎ 代入椭圆方程，得：，‎ 整理得：‎ 显然，所以 同理：由，得：，‎ 代入椭圆方程，得：‎ 同理可得：‎ 又由（1），所以 整理得：‎ 即点在定直线上.‎ ‎3.（1）由题设，，，‎ 又，所以，可得：，‎ 所以，即，‎ 所以，为圆的半径，‎ 所以直线与圆相切.‎ ‎（2）设，，‎ 由，则，可得，‎ 而：‎ 由得代入上式，‎ 得 又，，代入上式得：‎ 所以直线与圆相切.‎ ‎4.（1）因为两点关于轴对称，‎ 所以边所在直线与轴平行，‎ 设，由题意，得，，‎ 所以，，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 所以点的轨迹的方程为 ‎（2）设，则，‎ 因为点在，所以，‎ 所以 若，即，则当时，；‎ 若，即，则当时，‎ 所以，的最小值.‎ ‎5.解：设，则，，，‎ 化简得：.‎ ‎∴椭圆C的方程为：‎ ‎（2）解：∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，：‎ 代入，得：，‎ ‎∴，或，代入得（舍），或 ‎∴‎ ‎，∴：‎ ‎（3）证明：由于，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设，，‎ 设直线方程：，代入，得：，‎ ‎，，，：，‎ 令，得，‎ ‎，，‎ ‎∴直线总经过定点 ‎6.解：（1）因为椭圆的离心率为．所以，解得．‎ 所以椭圆的方程为 ……3分 准线方程为 ……5分 ‎（2）由题可知，设．由椭圆的对称性，不妨设 ‎①若，则，方程为，‎ AP方程为，‎ 以BD为直径的圆的圆心(5,1)，半径为1与直线PF相切； ……8分 ‎②若，则AP方程为 令，得，则 以BD为直径的圆的圆心，半径为　　　……11分 直线PF方程为，即 圆心M到直线PF的距离　　……13分 ‎＝＝‎ 所以圆M与直线PF相切 ……15分 综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ ‎…………16分 ‎7.（1）设椭圆方程为，由题意知： ‎ 解之得：，所以椭圆方程为： ‎ ‎（2）若，由椭圆对称性，知，所以， ‎ 此时直线方程为， ‎ 由，得，解得（舍去），‎ 故． ‎ ‎（3）设，则，‎ 直线AF的方程为，代入椭圆方程，得 ‎，‎ 因为是该方程的一个解，所以C点的横坐标， ‎ 又在直线上，所以，‎ 同理，D点坐标为，， ‎ 所以，‎ 即存在，使得． ‎ ‎8.解：（1）由题意椭圆的焦距为2，且过点，‎ 所以，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）①设，则直线的方程为，‎ 令得，因为，因为，‎ 所以，因为在椭圆上，所以，‎ 所以为定值，‎ ‎②直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 则直线的方程为，‎ 所以直线过定点.‎ ‎9.由题设.设，则，且 ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 ‎（1）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则，‎ 所以. ......5分 ‎（2）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分 ‎10.解：（1）设椭圆焦距为（），右焦点 为，‎ ‎∵直线与轴的交点坐标为∴.‎ 设椭圆上任意一点和关于原点对称的两点，，‎ 则有，∴‎ 又∵即∴‎ 又，∴，.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）存在符合题意，理由如下：‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，得 恒成立 ‎，‎ 不妨设，‎ ‎∴‎ ‎∴，整理得，即满足条件 当直线的斜率不存在时，显然满足条件 综上，时符合题意.‎ ‎11.解：（Ⅰ）因为，所以代入，得到 …………………1分 又，所以，所以 …………………2分 代入，得到 …………………3分 所以 …………………4分 ‎（Ⅱ）法一：设直线的方程为.‎ 则…………………6分 由, 得,‎ 所以…………………8分 所以,…………………10分 又，所以，所以，‎ 因为，所以,所以.…………………12分 法二：设直线的方程为.‎ 由, 得,‎ 所以…………………6分 ‎,‎ 点到直线的距离为, 所以 …………8分 所以 …………………10分 又，所以 因为，所以 所以…………………12分 ‎12.解：（1）由已知得：，而，‎ 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，‎ 设，所以点的轨迹的方程：．………4分 ‎（2）由对称性可知，四边形为矩形，不妨设为椭圆上第一象限的点，‎ 则，‎ 而，，且，‎ 所以，‎ 当且仅当，即， 时，取“”，‎ 所以矩形的面积的最大值为，此时，‎ 四个点的坐标为：，，，．………12分 ‎13.解：（1）由已知，动点到点，的距离之和为，‎ 且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，‎ 故椭圆的方程为.………3分 ‎（2）解：两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.‎ 将代入中，得，所以，‎ 将代入中，得，所以，‎ 又由，得，即，‎ 解得，‎ 故………12分 ‎14.解：（1）设椭圆的方程为：，‎ 由已知：得：，，‎ 所以，椭圆的方程为：. ………3分 ‎（2）由已知直线过左焦点．‎ ‎①当直线与轴垂直时，，，此时，‎ 则，不满足条件．‎ ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：‎ 由　得 所以，，‎ 而，‎ 由已知得，‎ 所以，则，所以，‎ 所以直线的方程为：或．………12分 ‎15.（1）由题设知：得，∴椭圆的方程为……2分 ‎∴的周长……………3分 由知直线的方程为，得，‎ ‎∴的面积.………………………………………6分 ‎（2）【证明】设,由题设知：.‎ 由知，，则有；‎ 由知，，则有；‎ ‎∴两式联立消去点得满足，即； ……………9分 又点在椭圆上，即有， 即，‎ ‎∴两式联立得； 又，即………11分 ‎∴点满足，即点在定直线上. ……………………12分 ‎16.解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=c，‎ b2=a2﹣c2=c2，将P代椭圆方程：，则，解得：c=1，‎ 则a=，b=1，‎ ‎∴椭圆的方程：；‎ ‎（2）由题意可知：k显然存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），‎ 则，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，‎ x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 当x=m时，y=k（m+1），‎ 则k1=，k2=，则k3=，‎ 则k1+k2=+===2k+，‎ 由k1+k2=tk3，2k+=t×=tk﹣，则当t=2，m=﹣2，‎ ‎∴当直线l：x=﹣2，存在实数t=2，使得k1+k2=tk3成立．‎ ‎17.解：（1）由已知得…………（3分）‎ 所以椭圆E的方程为…………（4分）‎ ‎（2）①当直线与轴垂直时,直线的方程为 联立得解得 此时直线的方程为直线与轴的交点为 …………（6分）‎ ‎②当直线不垂直于轴时,设直线的方程为 联立得 设则 且即…………（8分）‎ 而由题意知,‎ 即 解得或…………（10分）‎ 当时,满足直线的方程为此时与轴的交点为故直线与轴的交点是定点,坐标为…………（12分）‎