全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一

全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一

‎2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（　　）‎ A．{2，4} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{x|x=2n，n∈N}‎ ‎2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（　　）‎ A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i ‎3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（　　）‎ A．a5是常数 B．S5是常数 C．a10是常数 D．S10是常数 ‎4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知函数则（　　）‎ A．2+π B． C． D．‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（　　）‎ A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得 B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得 C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得 D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得 ‎9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（　　）‎ A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63‎ ‎10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）‎ A．16 B．20 C．24 D．32‎ ‎12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知向量，，且，则=　 　．‎ ‎14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为　 　．‎ ‎15．（5分）在等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bn=a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{bn}的前2n项和为　 　．‎ ‎16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．‎ ‎（1）求a及角A的大小；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．‎ ‎（1）求证：BD⊥CC1；‎ ‎（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．‎ ‎19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，‎ ‎（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 ‎（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；‎ ‎②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知函数g（x）=ex﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[‎ 选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；‎ ‎（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．‎ ‎　‎ ‎2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（　　）‎ A．{2，4} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{x|x=2n，n∈N}‎ ‎【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，‎ ‎={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，‎ 则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，‎ C={x|x=2n，n∈N}，‎ 可得（A∪B）∩C={0，2，4}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（　　）‎ A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i ‎【解答】解：由，‎ 得x+yi==2+i，‎ ‎∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（　　）‎ A．a5是常数 B．S5是常数 C．a10是常数 D．S10是常数 ‎【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，‎ ‎∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，‎ ‎∴a1+a10=9，‎ ‎∴=45．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，‎ ‎∴S△BCI=××=，‎ S平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，‎ ‎∴所求的概率为 P===．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞‎ ‎0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），‎ 双曲线的渐近线方程为y=x，‎ 由x=a代入渐近线方程可得y=b，‎ 则A（a，b），可得AF的中点为（，b），‎ 代入双曲线的方程可得﹣=1，‎ 可得4a2﹣2ac﹣c2=0，‎ 由e=，可得e2+2e﹣4=0，‎ 解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知函数则（　　）‎ A．2+π B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎=∫cos2tdt=‎ ‎==，‎ ‎∴‎ ‎=（）+（﹣cosx）‎ ‎=﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；‎ 第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3； ‎ 第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4； ‎ ‎…‎ 第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；‎ ‎…‎ 第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019‎ 第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，‎ 故输出的S值为2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（　　）‎ A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得 B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得 C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得 D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得 ‎【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+‎ ‎=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，‎ ‎∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x﹣）．‎ 故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（　　）‎ A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63‎ ‎【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；‎ ‎=（2x﹣3）（1+++…），‎ 其展开式中的常数项为﹣3+12=9，‎ ‎∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为 ‎﹣64﹣9=﹣73．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，‎ 设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，‎ 则该几何体的外接球的半径R=，‎ ‎∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）‎ A．16 B．20 C．24 D．32‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），‎ 由题意可知，则，‎ 联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，‎ 设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，‎ 由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，‎ ‎∴|AB|+|DE|=8+==，‎ 当且仅当=时，上式“=”成立．‎ ‎∴|AB|+|DE|的最小值24，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，‎ 分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，‎ 当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，‎ 又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；‎ 则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，‎ 则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，‎ 则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；‎ 对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，‎ 分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，‎ 在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，‎ 则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，‎ 若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，‎ 必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，‎ 解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知向量，，且，则=　　．‎ ‎【解答】解：根据题意，向量，，‎ 若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，‎ 又由sin2α+cos2α=1，则有或，‎ 则=（，）或（﹣，﹣），‎ 则||=，‎ 则=2+2﹣2•=；‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为　　．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（2，4），‎ ‎=，‎ 令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，‎ 直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．‎ ‎∴目标函数的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bn=a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{bn}的前2n项和为　　．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，‎ 设首项为a1，公比为q，‎ 则：，‎ 整理得：，‎ 解得：．‎ 则：，‎ 所以：bn=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4，‎ 则：T2n==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为　（0，）　．‎ ‎【解答】解：∵PF⊥AF，PF⊥EF，AF∩EF=F，‎ ‎∴PF⊥平面ABCD．‎ 设PF=x，则0＜x＜1，且EF=DF=x．‎ ‎∴五边形ABCEF的面积为S=S梯形ABCD﹣S△DEF=×（1+2）×1﹣x2=（3﹣x2）．‎ ‎∴五棱锥P﹣ABCEF的体积V=（3﹣x2）x=（3x﹣x3），‎ 设f（x）=（3x﹣x3），则f′（x）=（3﹣3x2）=（1﹣x2），‎ ‎∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，1）上单调递增，又f（0）=0，f（1）=．‎ ‎∴五棱锥P﹣ABCEF的体积的范围是（0，）．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．‎ ‎（1）求a及角A的大小；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得 ‎﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，‎ 即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，‎ 在△ABC中，sinB＞0，所以．‎ 又A∈（0，π），所以．‎ 在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7，‎ 所以．‎ ‎（2）由，‎ 得=，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．‎ ‎（1）求证：BD⊥CC1；‎ ‎（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．‎ ‎【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，‎ 因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，‎ 所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，‎ 于是A1B=A1D．‎ 设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，‎ 又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，‎ 而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．‎ 又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，‎ 又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．‎ ‎（2）由，及，知A1B⊥A1D，‎ 于是，从而A1O⊥AO，‎ 结合A1O⊥BD，A1∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，‎ 所以OA、OB、OA1两两垂直．‎ 如图，以点O为坐标原点，‎ 的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），‎ ‎，，，‎ 由，得D1（﹣1，﹣1，1）．‎ 设（λ∈[0，1]），‎ 则（xE+1，yE+1，zE﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），‎ 所以．‎ 设平面B1BD的一个法向量为，‎ 由得令x=1，得，‎ 设直线DE与平面BDB1所成角为θ，‎ 则，‎ 解得或（舍去），‎ 所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，‎ ‎（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；‎ ‎②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．‎ ‎【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．‎ ‎（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=26.5，σ≈11.95，‎ ‎∴P（14.55＜Z＜38.45）=P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，‎ ‎∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826．‎ ‎②根据题意得X～B（4，），；； ；‎ ‎；．‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，‎ 所求椭圆方程为．‎ ‎（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，‎ 则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，，‎ 设存在点D（0，m），则，，‎ 所以==．‎ 要使kAD+kBD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+‎ ‎4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，‎ 故2m﹣1=0，解得，‎ 当时，kAD+kBD=0．‎ 综上所述，存在点，使得kAD+kBD为定值，且定值为0．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知函数g（x）=ex﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，‎ 其导数为f'（x）=ex﹣2（a﹣1），‎ 当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=ex﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，‎ ‎∴2（a﹣1）≤（ex）min=1（其中x∈[0，1]），解得；‎ 当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=ex﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，‎ ‎∴2（a﹣1）≥（ex）max=e（其中x∈[0，1]），解得．‎ 综上所述，实数a的取值范围是．‎ ‎（2）函数g（x）=ex﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，‎ 则g'（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，‎ 分析可得f（x）=g'（x）．‎ 由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，‎ 设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，‎ 所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，‎ 同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，‎ 所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．‎ 由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．‎ 当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，‎ 故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；‎ 所以．‎ 令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），‎ 所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．‎ 记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），‎ 因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f（1）=e﹣2a+2﹣b＞0．‎ 由g（1）=0，得a+b=e，‎ 所以，‎ 又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，‎ 所以e﹣1＜a＜2．‎ 综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2‎ 的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．‎ ‎【解答】解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，‎ 得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，‎ 将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，‎ 得圆C1的极坐标方程，‎ 由圆C2的极坐标方程，‎ 得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．‎ 将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，‎ 得圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ ‎（2）由（1）知圆C1的圆心C1（﹣1，﹣1），半径r1=a；‎ 圆C2的圆心C2（1，1），半径，‎ ‎，‎ ‎∵圆C1与圆C2外切，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 即圆C1的极坐标方程为．‎ 将代入C1，‎ 得，‎ 得；‎ 将代入C2，‎ 得，‎ 得；‎ 故．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；‎ ‎（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．‎ ‎【解答】解：（1）此不等式等价于或或 解得或或3＜x≤4．‎ 即不等式的解集为．‎ ‎（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n≥8，‎ 当且仅当即时取等号．‎ ‎∴f（m）+f（﹣2n）=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|（2m+1）﹣（﹣4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，‎ 当且仅当﹣4n+1≤0，即时，取等号．‎ ‎∴f（m）+f（﹣2n）≥16．‎ ‎　‎