高考物理专题八万有引力定律及其应用精准培优专练

高考物理专题八万有引力定律及其应用精准培优专练

一、考点分析 二、考题再现 培优点八 万有引力定律及其应用 1. “万有引力与航天”几乎每年必考，以选择题为主。近几年的出题主要集中在天体质量、 密度的计算，卫星运动的各物理量间的比较，以及卫星的发射与变轨问题。 2. 几点注意： (1)考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力，忽略自转时重力等于万 有引力； (2)由 v＝ GM r 得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要 符合三个宇宙速度； (3)卫星在运行中的变轨有两种情况：离心运动和向心运动。 典例 1. (2018∙全国 I 卷∙20) 2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波， 根据科学家们复原的过程，在两颗中星合并前约 100 s 时，它们相距约 400 km，绕二者连线 上的某点每秒转动 12 圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有 引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子( ) A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度 【解析】双中子星做匀速圆周运动的频率 f =12 Hz（周期 T =1/12 s），由万有引力等于向心 力，可得： ， ，r1+ r2= r = 40 km，联立解得： (m1+m2)=(2πf )2Gr3， B 正确、A 错误；由 v1=ωr1=2πfr1，v2=ωr2=2πf r2，联立解得： v1+ v2=2πf r，C 正确；不能得出各自自转的角速度，D 错误。 【答案】BC 典例 2. (2018∙全国 II 卷∙16) 2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒 脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T =5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万 有引力常量为 。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A. B. C. D. 21 2 1 12 (2π )mmG mr fr = 21 2 2 22 (2π )mmG m r fr = 11 2 26.67 10 N m /kg−× ⋅ 9 35 10 kg/m× 12 35 10 kg/m× 15 35 10 kg/m× 18 35 10 kg/m× 三、对点速练 【解析】设脉冲星值量为 M，密度为 ρ，根据天体运动规律知： ， ，代入可得： ，故 C 正确。 【答案】C 典例 3.(2018∙全国 III 卷∙15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道 半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍。P 与 Q 的周 期之比约为( ) A. 2 : 1 B. 4 : 1 C. 8 : 1 D. 16 : 1 【解析】设地球半径为 R，根据题述，地球卫星 P 的轨道半径为 RP =16R，地球卫星 Q 的轨 道半径为 RQ = 4R，根据开普勒定律， ，所以 P 与 Q 的周期之比为 TP∶TQ = 8∶ 1，选项 C 正确。 【答案】C 1．如图，地球和行星绕太阳做匀速圆周运动，地球和形状做匀速圆周运动的半径 r1、r2 之 比为 1 : 4，不计地球和行星之间的相互影响，下列说法不正确的是( ) A．行星绕太阳做圆周运动的周期为 8 年 B．地球和行星的线速度大小之比为 1 : 2 C．由图示位置开始计时，至少再经过 年，地球位于太阳和行星连 线之间 D．经过相同时间，地球、行星半径扫过的面积之比为 1 : 2 【答案】B 【解析】地球和行星均绕太阳做匀速圆周运动，地球绕太阳做圆周运动的周期为 T1 = 8 年， 根据 解得 T2 = 8 年，A 正确；根据 可知 ，B 错误；根据 可得 年，C 正确；天体半径扫过的面积为 ，而 ，联立解得 ， 2 2 2MmG m rTr π ≥    34π /3 M M V r ρ = = 15 35 10 kg/mρ ≈ × 2 3 2 3 64P P Q Q T R T R = = 8 7 3 2 1 1 3 2 2 2 r T r T = 2 2 Mm vG m rr = 1 2 2 1 v v = 1 2 2π 2π 2π T T t − = 8 7t = 2π2πS r θ= ⋅ 2πtT θ = 2πtrS T = 故经过相同时间，地球和行星半径扫过的面积之比为 ，D 正确。 2．(多选)2017 年 8 月我国 FAST 天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星。其中一颗星的自转 周期为 T（实际测量为 1.83 s，距离地球 1.6 万光年），假设该星球恰好能维持自转不瓦解； 地球可视为球体，其自转周期为 T0；同一物体在地球赤道上用弹簧秤测得重力为两极处的 0.9 倍，已知万有引力常量为 G，则该脉冲星的平 均密度 ρ 及其与地球的平均密度 ρ0 之比正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力充当向心力，即 ，又 ，联立解得 ，A 正确；设地球质量为 M0，半径为 R0，由于两极处物体的 重力 P 等于地球对物体的万有引力，即 ，在赤道上，地球对物体的万有引力和 弹 簧 秤 对 物 体 的 拉 力 的 合 力 提 供 向 心 力 ， 则 有 ， 联 立 解 得 ，地球平均密度 ，C 对。 3．(多选)一探测器探测某星球表面时做了两次测量．探测器先在近星轨道上做圆周运动测 出运行周期为 T；着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出，测出了小球上升的 最大高度 h 与抛出速度 v 的二次方的关系，如图所示，图中 a、b 已知，引力常量为 G，忽 略空气阻力的影响，根据以上信息可求得(　　) A．该星球表面的重力加速度为 2b a B．该星球的半径为 bT2 8aπ2 C．该星球的密度为 3π GT2 D．该星球的第一宇宙速度为 4aT πb 【答案】BC 4．我国首颗量子科学实验卫星于 2016 年 8 月 16 日 1 点 40 分成功发射。量子卫星成功运行 后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信 1 2 1 2 S S = 2 3π GT ρ = 3π GT ρ = 2 0 2 0 10 T T ρ ρ = 2 0 2 0 10T T ρ ρ = 2 2 2πMmG m RTR  =    34 π3M Rρ= ⋅ 3π GT ρ = 0 2 0 M mP G R = 2 0 02 0 2π0.9M mG P m RTR  − =    2 2 0 0 2 0 40π RM GT = 0 0 2 0 30πM V GT ρ = = 与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地 球半径的 m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的 n 倍，图中 P 点是地球赤道上一点，由此 可知(　　) A．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为 n3 m3 B．同步卫星与 P 点的速度之比为 1 n C．量子卫星与同步卫星的速度之比为 n m D．量子卫星与 P 点的速度之比为 n3 m 【答案】D 【解析】根据G Mm r2＝m 4π2 T2 r，得 T＝ 4π2r3 GM ，由题意知 r 量＝mR，r 同＝nR，所以 T同 T量＝ r 3同 r 3量＝ n3 m3，故 A 错误；P 为地球赤道上一点，P 点角速度等于同步卫星的角速度，根据 v＝ωr， 所以有 v同 vP ＝ r同 rP ＝ nR R ＝ n 1，故 B 错误；根据 G Mm r2＝m v2 r ，得 v＝ GM r ，所以 v量 v同＝ r同 r量＝ nR mR＝ n m，故 C 错误；v 同＝nvP， v量 v同＝ v量 nvP＝ n m，得 v量 vP ＝ n3 m ，故 D 正确。 5. 某试验卫星在地球赤道平面内一圆形轨道上运行，每 5 天对某城市访问一次，下列关于 该卫星的描述中正确的是(　　) A. 角速度可能大于地球自转角速度 B. 线速度可能大于第一宇宙速度 C. 高度一定小于同步卫星的高度 D. 向心加速度可能大于地面的重力加速度 【答案】A 【解析】设卫星的周期为 T，地球自转的周期为 T0，则有 ，或者 ，可解得卫星的周期 或者 ，即卫星的角速度可能大 于地球自转角速度，也可能小于地球自转的角速度，A 正确；由卫星的线速度 可知， 所有卫星的速度小于等于第一宇宙速度，B 错误；卫星的高度越高则周期越大，由 A 选项解 析可知，卫星的周期可能大于也能小于同步卫星的周期，所以卫星的高度可能大于也可能小 于同步卫星的高度，C 错误；根据牛顿第二定律 ，向心加速度 ，卫星的 高度高于地面，所以其向心加速度小于地面的重力加速度，D 错误。 0 0 0 2π 2π5 5 2πT TT T × = × + 0 0 0 2π 2π5 2π 5T TT T × + = × 0 5 6T T= 0 5 4T T= GMv r = 2 MmG mar = 2 GMa r = 6．(多选) 2015 年 12 月 10 日，我国成功将中星 1C 卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移 轨道。如图所示是某卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为 R，地球表面的 重力加速度为 g，卫星远地点 P 距地心 O 的距离为 3R。则(　　) A．卫星在远地点的速度大于 3gR 3 B．卫星经过远地点时速度最小 C．卫星经过远地点时的加速度大小为 g 9 D．卫星经过远地点时加速，卫星将不能再次经过远地点 【答案】BC 【解析】对地球表面的物体有 GMm0 R2 ＝m0g，得 GM＝gR2，若卫星沿半径为 3R 的圆周轨道运行 时有 GMm 3R2＝ m v2 3R，运行速度为 v＝ GM 3R＝ 3gR 3 ，从椭圆轨道的远地点进入圆轨道需加速，因此，卫星在 远地点的速度小于 3gR 3 ，A 错误；卫星由近地点到远地点的过程中，万有引力做负功，速 度减小，所以卫星经过远地点时速度最小，B 正确；卫星经过远地点时的加速度 a＝ GM 3R2 ＝ g 9，C 正确；卫星经过远地点时加速，可能变轨到轨道半径为 3R 的圆轨道上，所以卫星还 可能再次经过远地点，D 错误。 7．“天宫一号”目标飞行器在离地面 343 km 的圆形轨道上运行，其轨道所处的空间存在极 其稀薄的大气。下列说法正确的是(　　) A．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动周期将会变小 B．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动动能将会变小 C．“天宫一号”的加速度大于地球表面的重力加速度 D．航天员在“天宫一号”中处于完全失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【答案】A 【解析】根据万有引力提供向心力有 GMm r2 ＝m 4π2r T2 ，解得：T＝ 4π2r3 GM ，由于摩擦阻力作用， 卫星轨道高度将降低，则周期减小，A 项正确；根据 GMm r2 ＝m v2 r ，解得：v＝ GM r ，轨道高度 降低，卫星的线速度增大，故动能将增大，B 项错误；根据 GMm r2 ＝ma，得 a＝ GM r2，“天宫一号” 的轨道半径大于地球半径，则加速度小于地球表面的重力加速度，C 项错误；完全失重状态 说明航天员对悬绳的拉力或对支持物体的压力为 0，而地球对他的万有引力提供他随“天宫 一号”围绕地球做圆周运动的向心力，D 项错误。 8．2016 年 2 月 11 日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合 并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念 100 周年后，引力波被首次直接观测 到。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图 所示，黑洞 A、B 可视为质点，它们围绕连线上 O 点做匀速圆周运动，且 AO 大于 BO，不考 虑其他天体的影响。下列说法正确的是(　　) A．黑洞 A 的向心力大于 B 的向心力 B．黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度 C．黑洞 A 的质量大于 B 的质量 D．两黑洞之间的距离越大，A 的周期越小 【答案】B 【解析】两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A 对 B 的作用力 与 B 对 A 的作用力大小相等、方向相反，则黑洞 A 的向心力等于 B 的向心力，故 A 错误；两 黑洞靠相互间的万有引力提 供向心力，具有相同的角速度，由题图可知 A 的轨道半径比较大，根据 v＝ωr 可知，黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度，故 B 正确；由于 mAω2rA＝mBω2rB，由于 A 的轨道半径比较大， 所以 A 的质量小，故 C 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以 G mAmB L2 ＝mA 4π2 T2 rA ＝mB 4π2 T2 rB ，又：rA ＋rB ＝L，得 rA ＝ mBL mA＋mB，L 为二者之间的距离，所以得：G mAmB L2 ＝ mA 4π2 T2 · mBL mA＋mB，即：T2＝ 4π2L3 GmA＋mB，则两黑洞之间的距离越小，A 的周期越小，故 D 错 误。 9．(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星 体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星 系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角 形的三个顶点上。已知某直线三星系统 A 每颗星体的质量均为 m，相邻两颗星中心间的距离 都为 R；某三角形三星系统 B 的每颗星体的质量恰好也均为 m，且三星系统 A 外侧的两颗星 体做匀速圆周运动的周期和三星系统 B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等。引力常量为 G， 则(　　) A．三星系统 A 外侧两颗星体运动的线速度大小为 v＝ Gm R B．三星系统 A 外侧两颗星体运动的角速度大小为 ω＝ 1 2R 5Gm R C．三星系统 B 的运动周期为 T＝4πR R 5Gm D．三星系统 B 任意两颗星体中心间的距离为 L＝3 12 5 R 【答案】BCD 【解析】三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中 央星体在同一半径为 R 的圆轨道上运行。其中外侧的一颗星体由中央 星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力，有：G m2 R2＋G m2 （2R）2 ＝m v2 R ，解得 v ＝ 5Gm 4R ，A 错误；三星系统A 中，周期 T＝ 2πR v ＝4πR R 5Gm，则其角速度为 ω＝ 2π T ＝ 1 2R 5Gm R ，B 正确；由于两种系统周期相等，则三星系统 B 的运行周期为 T＝4πR R 5Gm，C 正确；三星系统 B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶 点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示，对某颗星体，由万有引力定律和 牛顿第二定律得：2 Gm2 L2 cos 30°＝m L 2cos 30°· 4π2 T2 ，解得 L＝3 12 5 R，D 正确。