2015高考数学人教A版本（8-2圆的方程）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（8-2圆的方程）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-2圆的方程课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(2012·重庆三模)在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(ab≠0，r>0)的图象可能是(　　)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　直线方程可化为＋＝1，依据A、B、C、D中的图象可知a>0，b<0，满足圆心(a，b)中a>0，b<0的只有选项D.‎ ‎2．(文)已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是(　　)‎ A．3　　　　 B．4　　　　‎ C．5　　　　 D．6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点为A(8,0)，B(0,6)，由题知AB为圆的直径，且|AB|＝10，‎ ‎∴圆的半径是5.‎ ‎(理)圆心在抛物线y2＝2x(y>0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是(　　)‎ A．x2＋y2－x－2y－＝0‎ B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0‎ C．x2＋y2－x－2y＋1＝0‎ D．x2＋y2－x－2y＋＝0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋(y>0)上，与y2＝2x(y>0)联立可得圆心的坐标为，半径为1，则方程为2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－x－2y＋＝0.‎ ‎3．(文)已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0恒过点A(0，－4)，所以当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，直线CA应垂直于直线kx＋y＋4＝0，直线CA的斜率为－5，所以－k＝，k＝－.‎ ‎(理)(2013·开封模拟)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　)‎ A.　　 　 B.　　 　‎ C．1　　　　 D．3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.‎ ‎4．(文)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2‎ C．y2＝2x D．y2＝－2x ‎[答案]　B ‎[解析]　设P(x，y)，圆心C(1,0)，由题意知PA⊥AC，‎ ‎∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2，故选B.‎ ‎(理)圆x2＋y2－2x＋6y＋‎5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b 的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(－∞，0)‎ C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－‎5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－‎5a>0，∴a<2，∴a－b<4.‎ ‎5．(文)圆心在直线y＝x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ D．(x－1)2＋(y＋1)2＝或(x＋1)2＋(y－1)2＝2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由圆心在直线y＝x上排除B、D；由对称轴知，若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2满足题意，则(x＋1)2＋(y＋1)2＝2也必满足题意，故选C.‎ ‎(理)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是(　　)‎ A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0‎ C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设圆心为C(m,0)(m>0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以＝2，整理得：|‎3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选A.‎ ‎6．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是(　　)‎ A．4 B．5 ‎ C．3－1 D．2 ‎[答案]　A ‎[解析]　如图，作出A关于x轴的对称点B，最短路程是BD＝BC－r＝4.‎ 二、填空题 ‎7．(2013·山东)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　最短弦为过点(3,1)，且和点(3,1)与圆心的连线垂直的弦，易知弦心距d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.‎ ‎8．(2013·陕西检测)已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　由题意知圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝42，∴圆心(－2,3)到直线l的距离d＝＝>4，故直线与圆相离，则满足题意的点P有2个．‎ ‎9．(2012·石家庄一模)已知动圆的圆心C在抛物线x2＝2py(p>0)上，该圆经过点A(0，p)，且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　当圆心C的纵坐标为p时，C(p，p)为圆心的圆方程为(x－p)2＋(y－p)2＝2p2，令y＝0得，x＝p±p，∴MC⊥NC，∴sin∠MCN＝1.‎ 三、解答题 ‎10．(文)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．‎ ‎[分析]　(1)设出点P的坐标，由|PA|＝2|PB|写出方程，化简即可；‎ ‎(2)直线l2与曲线C只有一个公共点M，故l2与C相切，当|QC|取最小值时，|QM|取到最小值，故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求．‎ ‎[解析]　(1)设点P的坐标为(x，y)，‎ 则＝2，‎ 化得可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．‎ ‎(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．‎ 由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，‎ 则|QM|＝ ‎＝，‎ 当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，‎ 此时|QM|的最小值为＝4.‎ ‎(理)(2013·福建)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；‎ ‎(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．‎ ‎[解析]　(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.‎ 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，‎ 所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝.‎ 所以|MN|＝2＝2＝2.‎ ‎(2)设C(，y0)，则圆C的方程为(x－)2＋(y－y0)2＝＋y，‎ 即x2－x＋y2－2y0y＝0.‎ 由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，‎ 设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则 由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，‎ 所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.‎ 所以圆心C的坐标为(，)或(，－)，‎ 从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(文)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4‎ D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.‎ ‎(理)已知圆x2＋y2＝4，过点A(4,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋y2＝4　 B．(x－1)2＋y2＝4　(0≤x<1)‎ C．(x－2)2＋y2＝4　 D．(x－2)2＋y2＝4　(0≤x<1)‎ ‎[答案]　D ‎[分析]　直线过点A，可设出点斜式方程，由OP与割线ABC垂直，消去斜率k可得轨迹方程，注意k不存在的情形．‎ ‎[解析]　设割线的方程为y＝k(x－4)，再设BC中点的坐标为(x，y)，则＝－，‎ 代入y＝k(x－4)消去k得，(x－2)2＋y2＝4.‎ 画出图形易知轨迹应是在已知圆内的部分，且x的取值范围是0≤x<1.故选D.‎ ‎[点评]　求动点M的轨迹方程时，设M(x，y)，然后结合已知条件找x、y满足的关系式．如果点M的运动依赖于点A的运动，而点A在已知曲线C上，这时将A的坐标用x、y表示，代入C的方程，即得M点的轨迹方程．‎ ‎12．(2013·重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A．6　　　　 B．4　　　　‎ C．3　　　　 D．2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　如图所示，要使|PQ|最小，则过圆心作直线x＝－3的垂线分别与圆及直线交于点P、Q，此时|PQ|最小，圆心到直线x＝－3的距离为6，则|PQ|min＝6－2＝4.故选B.‎ ‎13．(文)过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有(　　)‎ A．16条 B．17条 ‎ C．32条 D．34条 ‎[答案]　C ‎[解析]　∵圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的标准方程为：(x＋1)2＋(y－2)2＝132，即此圆是一个以点O(－1,2)为圆心，以R＝13为半径的圆．‎ ‎∵|OA|＝12，而R＝13，经过A点且垂直于OA的弦是经过A点的最短的弦，∴其长度为2＝10；而经过A点的最长的弦为圆的直径2R＝26；‎ ‎∴经过A点且为整数的弦长还可以取11,12,13,14,15，…，25共15个值，又由于圆内弦的对称性，经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间，则一定有2条，而最长弦与最短弦各只有1条，故一共有15×2＋2＝32条．‎ ‎(理)已知直线＋＝1(a、b是非零常数)与圆x2＋y2‎ ‎＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有(　　)‎ A．60条 B．66条 ‎ C．72条 D．78条 ‎[答案]　A ‎[解析]　在第一象限内圆x2＋y2＝100上的整数点只有(6,8)，(8,6)，又点(10,0)，(0,10)在圆上，‎ ‎∴由对称性知x2＋y2＝100上横、纵坐标均为整数的点共有12个．‎ 过这12个点的圆x2＋y2＝100的切线有12条，割线有＝66条，共78条．‎ 其中垂直于坐标轴的有14条，过原点与坐标轴不垂直的有4条，∴共有78－18＝60条．‎ 二、填空题 ‎14.‎ ‎(2013·江西联考)如图，已知长度为2的线段AB的两个端点在动圆O的圆周上运动，O为圆心，则·＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　取AB的中点C，连接OC，则OC⊥AB，＝＋＝＋，所以·＝·(＋)＝2＝2.‎ ‎15．(2013·惠州调研)已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．‎ ‎[答案]　(3－2)π ‎[解析]　因为直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为＝，所以a2＝1－b2≥0，即－≤b≤.设圆M的半径为r，则r＝|‎ PM|＝＝＝(2－b)，又－≤b≤，所以＋1≥|PM|≥－1，所以圆M的面积的最小值为(3－2)π.‎ 三、解答题 ‎16．(文)(2013·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程；‎ ‎(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．‎ ‎[解析]　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.‎ 由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.‎ ‎∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.‎ ‎(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得C＝±1.‎ ‎∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.‎ 与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．‎ 即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.‎ ‎∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.‎ ‎(理)设O点为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，且·＝0.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)求直线PQ的方程．‎ ‎[解析]　(1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．‎ ‎∵点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称．‎ ‎∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m＝－1.‎ ‎(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，‎ ‎∴设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ方程为y＝－x＋b.‎ 将y＝－x＋b代入圆方程得，‎ ‎2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.‎ Δ＝4(4－b)2－8×(b2－6b＋1)>0，‎ ‎∴2－30)上的面积最小的圆的方程为________．‎ ‎[答案]　(x－2)2＋(y－)2＝9‎ ‎[解析]　设圆心坐标为(a，)(a>0)，‎ 则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝(a＋＋1)≥(4＋1)＝3，当且仅当a＝2时等号成立．‎ 此时圆心坐标为(2，)，半径r＝＝3，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝9.‎ ‎4．(2013·山东淄博联考)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．‎ ‎[解析]　(1)依题意知圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2，‎ 所以圆O的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0，‎ 则圆心O到直线MN的距离d＝.‎ 由垂径定理得＋()2＝22，即m＝±.‎ 所以直线MN的方程为2x－y＋＝0或2x－y－＝0.‎