高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 ‎1、已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（ ）‎ （A） ‎ （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎2、已知等差数列前9项的和为27，，则 ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎3、定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 ‎【答案】C ‎4、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，‎ ‎，（）.‎ 若 A．是等差数列 B．是等差数列 ‎ C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A 二、填空题 ‎1、已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎2、无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎3、设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎4、设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎1、设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；‎ ‎（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；‎ ‎（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.‎ 如果，取，则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素，所以.‎ ‎2、已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，‎ ‎ 所以，当时，‎ ‎，‎ 又对也成立，所以．‎ 又因为是等差数列，设公差为，则．‎ 当时，；当时，，‎ 解得，所以数列的通项公式为．‎ ‎(Ⅱ)由，‎ 于是，‎ 两边同乘以２，得 ‎，‎ 两式相减，得 ‎．‎ ‎3、若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.‎ ‎（1）若具有性质，且，，求；‎ ‎（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解．‎ ‎（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得 ‎．‎ 通过计算，，，，即知不具有性质．‎ ‎（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． ‎ 试题解析：（1）因为，所以，，．‎ 于是，又因为，解得．‎ ‎（2）的公差为，的公比为，‎ 所以，．‎ ‎．‎ ‎，但，，，‎ 所以不具有性质．‎ ‎（3）[证]充分性：‎ 当为常数列时，．‎ 对任意给定的，只要，则由，必有．‎ 充分性得证．‎ 必要性：‎ 用反证法证明．假设不是常数列，则存在，‎ 使得，而．‎ 下面证明存在满足的，使得，但．‎ 设，取，使得，则 ‎，，故存在使得．‎ 取，因为（），所以，‎ 依此类推，得．‎ 但，即．‎ 所以不具有性质，矛盾．‎ 必要性得证．‎ 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．‎ ‎4、已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（I）若 成等差数列，求an的通项公式；‎ ‎(ii)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ 解析：（Ⅰ）由已知， 两式相减得到.‎ 又由得到，故对所有都成立.‎ 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.‎ 从而.‎ 由成等比数列，可得，即，则，‎ 由已知,，故 .‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线的离心率 .‎ 由解得.‎ 因为，所以.‎ 于是，‎ 故.‎ ‎5、已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证：是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎【解析】⑴‎ 为定值．‎ ‎∴为等差数列 ‎⑵（*）‎ 由已知 将代入（*）式得 ‎∴，得证 ‎6、为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【解析】⑴设　的公差为，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎⑵　记的前项和为，则 ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎∴．‎ ‎7、已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（II）若 ，求．‎ ‎【解析】‎ ‎8、设数列满足，．‎ ‎（I）证明：，；‎ ‎（II）若，，证明：，．‎ ‎（II）任取，由（I）知，对于任意，‎ ‎，‎ 故 ‎．‎ 从而对于任意，均有