北京高考数学真题与答案

北京高考数学真题与答案

‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎（1）设集合等于 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设，则 ‎ ‎ （A）y3>y1>y2 （B）y2>y1>y3 （C）y1>y2>y3 （D）y1>y3>y2‎ ‎（3）“”是“”的 ‎ （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 ‎（4）已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 ‎ （A）若m∥n，m⊥α，则n⊥α （B）若m∥α，α∩β=n，则m∥n ‎ （C）若m⊥α，m⊥β，则α∥β （D）若m⊥α，，则α⊥β ‎（5）极坐标方程表示的曲线是 ‎ （A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线 ‎（6）若且的最小值是 ‎ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ ‎（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ‎ （A）24种 （B）18种 （C）12种 （D）6种 ‎（9）若数列的通项公式是，则 ‎ - 10 -‎ 等于 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ‎ , 其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为 ‎ （A）‎ ‎ （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.‎ ‎（11）函数中， 是偶函数.‎ ‎（12）以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 ‎ ‎（13）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .‎ ‎（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ - 10 -‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）若，求的最大值、最小值.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 已知数列是等差数列，且 ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）令求数列前n项和的公式.‎ ‎（17）（本小题满分15分）‎ ‎ 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.‎ ‎ （Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；‎ ‎ （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.‎ ‎（18）（本小题满分15分）‎ ‎ 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（‎ ‎ （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；‎ ‎ （Ⅱ）直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证：；‎ ‎ （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.‎ ‎ 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ - 10 -‎ ‎ 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）‎ ‎ （Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，‎ ‎ 点P应位于何处？‎ ‎ （Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，‎ ‎ 点P应位于何处？‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ ‎ 设是定义在区间上的函数，且满足条件：‎ ‎ （i）‎ ‎ （ii）对任意的 ‎ （Ⅰ）证明：对任意的 ‎ （Ⅱ）证明：对任意的 ‎ （Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得 ‎ ‎ 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.‎ - 10 -‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) ‎ 数学（理工农医类）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.‎ ‎（1）A ‎ ‎（2）D ‎ ‎（3）A ‎ ‎（4）B ‎ ‎（5）D ‎ ‎（6）B ‎ ‎（7）C ‎ ‎（8）B ‎ ‎（9）C ‎ ‎（10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.‎ ‎（11） ‎ ‎（12） ‎ ‎（13） ‎ ‎（14）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎ ‎ ‎（15）满分13‎ ‎（Ⅰ）解析：因为 所以的最小正周期 - 10 -‎ ‎（Ⅱ）解析：因为所以 ‎ 当时，取得最大值；当时，取得最小值－1. 所以在上的最大值为1，最小值为－‎ ‎（16）满分13分.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）解析：设数列公差为，则 又 所以（Ⅱ）解：令则由得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ 当时，①式减去②式，得 ‎ ‎ ‎ 所以 当时, 综上可得当时, ‎ ‎ 当时，‎ ‎（17） 满分15分.‎ ‎ （Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1.‎ 又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.‎ ‎（Ⅱ）解析：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，‎ ‎∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，‎ ‎∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，‎ ‎∵BD=BC=AB，‎ ‎∴E是AD的中点， ‎ 在Rt△B1BE中，‎ - 10 -‎ ‎∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°‎ ‎ （Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，‎ ‎∴AF⊥平面BB1C1C，且AF= ‎ ‎ 即三棱锥C1—ABB1的体积为 ‎ 解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，‎ ‎ 即三棱锥C1—ABB1的体积为 ‎（18）满分15分.‎ ‎ （Ⅰ）解析：椭圆方程为焦点坐标为 ‎ 离心率 ‎（Ⅱ）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得 整理得根据韦达定理，得 ‎ 所以 ①‎ 将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，‎ 由①，②得所以结论成立.‎ ‎（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，‎ ‎ 得解得，‎ ‎ 由D、Q、G共线，同理可得 - 10 -‎ ‎ ‎ ‎ 变形得 ‎ 即 ‎ 所以 ‎（19）.满分14分.‎ ‎ （Ⅰ）解析：由题设可知，记设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是 ‎（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为 ‎ ‎ 由解得记于是 ‎ 当即时，在[上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中 ‎ 解法二:P至三镇的最远距离为 由解得 ‎ 记于是 ‎ - 10 -‎ ‎ 当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.‎ ‎ 当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.‎ 答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为（0，0），其中 ‎ 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，‎ ‎ 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，‎ 若（如图1），则点M在线段AO上，‎ 这时P到A、B、C三点的最远距离为 P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M 重合时，P到三镇的最远距离最小.‎ ‎ 若(如图2),则点M在线段AO外,这时 P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，‎ ‎ 且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，‎ P到三镇的最远距离最小为.‎ 答：当时，点P的位置在△ABC的外心 ‎；当时，点P的位置在原点O.‎ - 10 -‎ ‎（20）满分14分.‎ ‎（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有 即 ‎（Ⅱ）证法一：对任意的 当不妨设则 所以，‎ 综上可知，对任意的都有 证法二：由（Ⅰ）可得，当 ‎ ‎ 所以，当因此，对任意的 当时，当时，有 且 所以 综上可知，对任意的都有 ‎（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.‎ ‎ 理由如下，假设存在函数满足条件，则由 ‎ 得 又所以①‎ ‎ 又因为为奇数，所以由条件 得 ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.‎ - 10 -‎