高考数学专题之排列组合综合练习

高考数学专题之排列组合综合练习

‎1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（ ）‎ A．33 B．36 C．40 D．48‎ ‎3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ）‎ A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 ‎4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.‎ ‎5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答）‎ ‎6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是__________．‎ ‎7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答）‎ ‎8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)‎ ‎9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数．‎ ‎10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.‎ ‎(1)有多少种放法?‎ ‎(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?‎ ‎(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?‎ ‎(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】试题分析：第一步，先从3个奇数中选两个，第二步，从4个偶数中选择3个；第三步，从选出的偶数中选出一个放在个数；其余的数进行全排列即可，所以这些五位数中偶数的个数为,故选C.‎ 考点：1.组合问题；2.排列问题；3.两个计数原理.‎ ‎2．B ‎【解析】分析：现从剩余的三人中选取两人，排在队伍的两端，再排含有甲乙的三个人，即可得到答案．‎ 详解：由题意，现从剩余的三人中选取两人，排在队伍的两端，‎ 再排含有甲乙的三个人，共有种不同的排法，故选B．‎ 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎3．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两步进行，先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有（种）不同选法，‎ 第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有（种）不同选法，‎ 所以不同的选派方案共有(10+15)（种）.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎4．120‎ ‎【解析】分析：先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可.‎ 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，‎ 最后再选出一人和刚才的三人排列得：.‎ 故答案为：120.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎5．48‎ ‎【解析】由题意可得： ‎ 则不同的站法种数为 ‎6．‎ ‎【解析】分析：通过分类讨论两个相邻空位的分布不同情况解决问题：两个空位在两端，两个空位不在两端。‎ 详解：当相邻两个空位在两端时，必有一个人坐在空位旁边，余下两个人坐三个空位，‎ 则有 ‎ 当相邻两个空位不在两端时，有三种情况，必有两人坐在空位旁边，余下一人坐两个空位中的一个，则有 ‎ 所以共有+=72‎ 所以不同做法共有72种。‎ 点睛：本题考查了排列组合问题的综合应用，对问题分清条理，分类清晰，步骤明确是解决这类问题的关键，属于中档题。‎ ‎7．‎ ‎【解析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。‎ 详解：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起:,第二类：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360种，故答案为360‎ 点睛：考查计数原理和排列组合的综合，对于此类题首先要把题意分析清楚，分清楚所讨论的类别，再根据讨论情况逐一求解即可，注意计算的准确性.‎ ‎8．1260.‎ ‎【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.‎ 详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎9．156‎ ‎【解析】分析：可分当末位为和末位不为两种情况分类讨论，再根据分类计数原理求得结果．‎ 详解：可分为两类：‎ ‎（1）当末位为时，可以组成个；‎ ‎（2）当末位是或时，则首位有四种选法，中间可以从剩余的个数字选取两个，‎ 共可以组成种，‎ 由分类计数原理可得，共可以组成个没有重复数字的四位偶数．‎ 点睛：本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理的应用，着重考查了分类的数学思想方法，对于数字问题是排列中常见到的问题，条件变换多样，把排列问题包含数字问题时，解答的关键是看清题目的实质，注意数列字的双重限制，即可在最后一位构成偶数，由不能放在首位．‎ ‎10．（1）256；（2）24；（3）144；（4）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）1号小球可放进任意一个盒子里，故4种放法，2、3、4号小球也可任意放进一个盒子里，故各4种放法，根据分步计数原理，共44=256种放法；‎ ‎（2）每盒至多一球，即每个盒子中一个球，是全排列问题；‎ ‎（3）四个球放三个盒子，即有两个球在一个盒子里，进而求解；‎ ‎（4）首先任选一球放进编号相同的盒子，有C41种放法，其余球任放进一个盒子里，且使得编号不同，有2种放法，即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.‎ ‎(2)这是全排列问题,共有A44=24(种)放法.‎ ‎(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有C42种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子, 有A43种投放方法,所以共有C42A43=144(种)放法.‎ ‎(4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有C41×2=8(种)放法.‎ ‎【点睛】‎ 在计数过程中，首先要确定要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”，求每“类”或每“步”中不同方法的种数；再利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数.‎