高考研讨会圆锥曲线的备考总结与说明

高考研讨会圆锥曲线的备考总结与说明

圆锥曲线的备考总结与说明 一．近三年来全国题的回顾 二．圆锥曲线中的范围问题 A D B C x y O ‎1.判别式构造不等式解参数范围 例1.已知点其中是曲线上的两点，‎ 两点在轴上的射影分别为点,且. ‎ ‎（Ⅰ）当点的坐标为时，求直线的斜率；‎ ‎（Ⅱ）记的面积为，梯形的面积为，求的取值范围. ‎ A1‎ F B1‎ E x y O 例2.如图, 椭圆的离心率是,点在椭圆上, 设点分别是椭圆的右顶点和上顶点, 过 点引椭圆的两条弦、.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与的斜率是互为相反数.①直线的斜率是否为定值？若是求出该定值, 若不是,说明理由；②设、的面积分别为和,求的取值范围.‎ ‎2.利用圆锥曲线的有界性 F W E x y O 例1.已知椭圆与直线相交于、两不同点，且直线与圆相切于点(为坐标原点).‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，求实数的取值范围. ‎ F A B x y O ‎3.利用变量间的相互关系构建不等式 例1.已知双曲线上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且，设，求双曲线离心率e的范围。‎ A P B x y O 例2. 已知双曲线C的方程为离心率顶点到渐近线的距离为 ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.‎ F2‎ P x y O F1‎ ‎4．挖掘题目中存在的隐含条件 例1.已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在点使,则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ F2‎ P x y O F1‎ 例2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限内的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若　，椭圆与双曲线的离心率分别为，则　的取值范围是( )‎ ‎ A．　 B．　 C．　 　 D．　‎ ‎【点评】圆锥曲线常包含一些基本性质，如椭圆中，焦点三角形面积的最大值为，双曲线中（以右支上的点P为例），有些不等关系隐含较深，如：三角形两边之和大于第三边等一些平面几何性质。‎ 三．圆锥曲线中的最值问题 A B x y O F C N ‎1.几何方法 例1.已知抛物线的焦点为，经过轴正半轴上一点N作直线与抛物线交于两点，且 =2（O为坐标原点），点关于直线的对称点为C，则四边形 面积的最小值为( ) ‎ ‎（A）3 (B) (C)2 (D) ‎ ‎2.代数方法 A B x y O 例1.（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求面积的最大值（为坐标原点）．‎ ‎【点评】运算的合理性1_____点差法思想，解题过程中设置了很多变量，但并不是都要算出来，而是利用它们之间的整体关系进行消元，即“设而不求”。‎ 运算的合理性2 _____直线方程两种设置方式的选择 运算的合理性3______解题中结合题设条件选用适当的面积表达式 A C B x y O D A C B x y O D 一般地，计算圆锥曲线内接三角形面积时（如图）有下列减少运算量的技巧.‎ A C B x y O D ‎（1） （2） （3）‎ A C B x y O D E B ‎(x,y)‎ y x O C A ‎(u,v)‎ A C B x y O D A C B x y O F ‎（4） （5） （6）‎ 例2.已知点为抛物线的焦点.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）点是抛物线上三点且，求面积的最大值.‎ 四．定点定值问题 解决圆锥曲线定值定点问题方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值，再证明定点、定值与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值，应注意到代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.‎ ‎1.整体消元法 Q P A x y O F B C 例1.已知右焦点为的椭圆与直线相交于、两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.‎ ‎2.恒等式法 例1.已知椭圆方程为,过点分别作斜率为的直线与椭圆交于与,设分别是线段，的中点.‎ B C x y O P A D ‎(1)若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎(2)若，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.‎ A F2‎ B x y O F1‎ 例2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．‎ ‎（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；‎ ‎（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎3特殊到一般 从特殊点（直线，斜率）入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；‎ P A x y O B 例1（2015年四川）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点。当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得 恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 五.定线问题 P Q O A x y B 例2.设椭圆过点，且焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 问题的再探究：‎ P Q A B l 定理 如图，设点（圆锥曲线外）关于圆锥曲线：的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于曲线调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线 的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线.‎ 推论 如图，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为点，则有 ②；反之，若有②成立，则点与关于调和共轭.‎ 事实上，由①有 ‎.‎ 方法2：由条件可有，点调和分割线段，说明点关于圆锥曲线调和共轭，根据定理2，点的轨迹就是点对应的极线，即，化简得. 故点总在定直线上.‎ 例3.（2013安徽） 设椭圆的焦点在轴上.‎ ‎（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；‎ P Q O F1‎ x y F2‎ ‎（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。‎ 六.定点定值定线问题中一些常见的结论 结论1.为原点，设是抛物线上不同两点，则的充要条件是直线恒过定点 结论2.圆锥曲线的焦点弦两个焦半径倒数之和为常数（为相应焦点和准线间的距离，为离心率）‎ A B C O F x y D 问题探究 已知椭圆，为其左焦点，过点的直线交椭圆于A,B两点，是否存在常数，使恒成立，并由此求的最小值.‎ 结论3：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数.‎ A B C O F1‎ x y F2‎ 如图：为过焦点的弦，则 结论4：过圆锥曲线上任意点A作两焦点的焦点弦即，则 说明：由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应替换了焦点，‎ B M F O A x y 过抛物线准线上一点M作直线交抛物线于两点，已知，则 问题探究 O y x ‎1‎ l F ‎.如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．‎ ‎（1）已知，，求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ A B Q O N x y 结论5.（1）过椭圆长轴上任意一点的一条弦端点与对应点的连线所成角被椭圆长轴平分. ‎ ‎（2）过双曲线实轴上任意一点的一条弦端点与对应点连线所成角被实轴所在直线平分。‎ ‎（3）过抛物线对称轴上任意一点的一条弦AB端点与对应点的连线所成角被x轴平分。‎ 证明：椭圆关于x轴对称，故在C上有关于x轴的对称点，‎ A B M O P(m,y0)‎ x y 若均重合，则一定有，若不重合，由于点与点关于椭圆调和共轭，故为内接四边形对边的交点，故必在上，关于x轴对称，故有. ‎ 结论6：（1）设点在直线上，过点作椭圆的两条切线切点为，定点则三点共线。‎ ‎（2）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线切点为，定点则三点共线。‎ ‎（3）设点在直线上，过点P作抛物线的两条切线切点为，定点则三点共线.‎ 例.（2008江西理21）如右图所示，设点在直线上，过点P作双曲线的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点. ‎ ‎（1）过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程；‎ ‎（2）求证：A、M、B三点共线. ‎ 七.探索性问题 例.（2015全国新课标2）已知椭圆直线不过原点且不平行于坐标轴，与 有两个交点，线段的中点为． (Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．‎ 八．圆锥曲线基本量的运算 ‎（2012年全国新课标20题）‎ 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点。‎ ‎（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值。‎ 九．备考建议 ‎1.重视利用圆锥曲线的定义和图形的平面几何特征解题；‎ ‎2.定点、定值、定线问题，最值、范围、探索性问题；‎ ‎3.圆锥曲线中的基本量的运算，弦长公式，中点坐标公式，判别式，中点弦问题，对称问题等等；‎ ‎4.在最值或范围问题的计算中注意应用函数思想方法，更加注重参变量的范围对最值问题产生的重大影响。‎ ‎5.总结简化运算的常用途径与思路；‎