2010年高考福建卷理科数学试题及答案

2010年高考福建卷理科数学试题及答案

‎2010年高考福建理科数学试题及答案 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．计算43°13°43°13°的结果等于 A． B． C． D．‎ ‎2．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．设等差数列前项和为 。若，，则 当取最小值时，等于 A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ ‎4．函数的零点个数为 A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于 ‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5‎ ‎6．如图，若是长方体被平面截去几何体 后得到的几何体，其中为线段上异于的点，‎ 为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不 正确的是 A．∥ B．四边形是矩形 C．是棱柱 D．是棱台 ‎7．若点和点分别为双曲线（）的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 A．[3- ， ） B．[3+ ， ） C．[， ） D．[， ）‎ ‎8．设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线对称。对于中的任意点与中的任意点，的最小值等于 A． B．‎4 ‎ C． D．2‎ ‎9．对于复数，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，等于 A．1 B．‎-1 ‎ C．0 D．‎ ‎10．对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有则称直线为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：‎ ‎①，；②，；‎ ‎③，；④，。‎ 其中，曲线与存在“分渐近线”的是 A．①④ B．②③ C．②④ D．③④‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎11．在等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 。 ‎ ‎12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 。‎ ‎13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。‎ ‎14．已知函数和的图像的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。‎ ‎15．已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时。给出结论如下：‎ ‎①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”。‎ 其中所有正确结论的序号是 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 设是不等式的解集，整数。‎ ‎（Ⅰ）记“使得成立的有序数组”为事件，试列举包含的基本事件；‎ ‎（Ⅱ）设，求的分布列及其数学期望。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的 底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）设。在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。‎ ‎（ⅰ）当点在圆周上运动时，求的最大值；‎ ‎（ⅱ）记平面与平面所成的角为（0°＜≤90°）。当取最大值时，求的值。‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过小时与轮船相遇。‎ ‎（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数，其图象记为曲线。‎ ‎（ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（ⅱ）证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；‎ ‎（Ⅱ）对于一般的三次函数，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。‎ ‎21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵，，且。‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求直线在矩阵所对应的线性变换作用下的像的方程。‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线交于点。若点的坐标为（3，），求。‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎2010年高考福建理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C ‎1．的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】原式=，故选A。‎ ‎【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。‎ ‎2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。‎ ‎【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。‎ ‎3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于 A.6 B‎.7 C.8 D.9‎ ‎【答案】A ‎【解析】设该数列的公差为，则，解得，‎ 所以，所以当时，取最小值。‎ ‎【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。‎ ‎4．函数的零点个数为 ( )‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C.2 D.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，令解得；‎ 当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。‎ ‎【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。‎ ‎5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（ ）‎ A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图可知，该框图的功能是 输出使和 时的的值加1，因为，， ‎ 所以当时，‎ 计算到，故输出的是4，选C。‎ ‎【命题意图】本题属新课标新增内容，考查认识程序框图的基本能力。‎ ‎6．如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A. ∥ B.四边形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台 ‎【答案】D ‎【解析】因为∥，∥，‎ 所以∥，又平面，‎ 所以∥平面，‎ 又平面，平面平面=，‎ 所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，‎ ‎∥，所以平面，又平面， 故，所以选项B也正确，故选D。‎ ‎【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。‎ ‎7．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即 ‎，所以双曲线方程为，设点P，则有，‎ 解得，因为，，‎ 所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。‎ 另法：由题意的夹角为锐角，，答案只可能是B、D；因为是已知双曲线的左焦点，所以，即。结合图形， 取点，则，，。故选B.‎ ‎【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。‎ ‎8．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )‎ A. B‎.4 C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，‎ 可看出点（1，1）到直线的距离最小，故 的最小值为 ‎，所以选B。‎ ‎【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。‎ ‎9．对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当 时,等于 ( )‎ A.1 B.‎-1 C.0 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，可取，所以，选B。‎ ‎【命题意图】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识。‎ ‎10．对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有,则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数如下:‎ ‎①, ; ②,;‎ ‎③,; ④,.‎ 其中, 曲线和存在“分渐近线”的是( )‎ A. ①④ B. ②③ C.②④　　　　　D.③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。‎ ‎【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分20分。‎ ‎11． 12． 13． 14． 15．①②④‎ ‎11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，解得，所以通项。‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。‎ ‎12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ‎，侧面积为，所以其表面积为。‎ ‎【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。‎ ‎13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。‎ ‎【答案】0.128‎ ‎【解析】由题意知，所求概率为。‎ ‎【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。‎ ‎14．已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知：‎ 的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。‎ ‎【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。‎ ‎15．已知定义域为的函数满足：(1)对任意，恒有 成立；(2)当时，。给出如下结论：‎ ‎①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得 ‎”。‎ 其中所有正确结论的序号是 。‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】对①，因为，所以，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。‎ ‎【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。‎ ‎---------------------------------------------------------------------------------------‎ ‎1.Ａ解析：本题考查了两角和与差的正弦公式，基础题.‎ ‎ ∵sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=,∴选Ａ .‎ ‎2. Ｄ解析：本题考查了抛物线与圆的标准方程，基础题.‎ ‎ ∵由抛物线的方程得其焦点坐标为（１,０），∴所求圆的圆心坐标为（１,０），半径为１,圆的方程为，即，故选Ｄ.‎ ‎3. Ａ解析：本题考查了等差数列中项的性质及前和公式，属基础题.‎ ‎ 设等差数列的公差为，∵ ，∴ ，‎ ‎∴.‎ ‎∴当＝６时，有最小值.故选Ａ.‎ ‎4. Ｃ解析：本题考查了函数的零点，考查函数方程与数形结合的思想.‎ ‎ ∵当时，令，解得；当时，令得∴函数 有两个零点.故选Ｃ.‎ ‎5. Ｃ解析：本题考查了程序框图中的直到型循环结构，属基础题.‎ ‎ ∵当时，，循环下去；‎ 当i=2时，，循环下去；‎ 当i=3时，，再执行i=３+１＝4，结束循环，‎ ‎∴输出的i=４ .故选Ｃ.‎ ‎6. Ｄ解析：本题考查了立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理及空间几何体的特征，属基础题.‎ ‎ ∵ ，,面,∴面.‎ 又∵面EFGH面＝FG,∴EH//FG,且EH=FG，由长方体的特征知四边形EFGH为矩形，此几体为五棱柱，∴选项Ａ、Ｂ、C都正确.故选Ｄ.‎ ‎7. Ｂ解析：本题考查了双曲线的方程、性质及平面向量的数量积的运算，考查运算推理及转化能力，属中档题.‎ 由题意得，即，设，，‎ 则，‎ ‎∵，∴当时，有最小值.故选Ｂ.‎ ‎8. Ｂ解析：本题考查了线性规划中的最值，图象的对称问题.‎ 作可行域如图 ‎ ‎ x=1 ‎ ‎3x-4y-9=0‎ x ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-3 ‎ y=x ‎ x-2y+3=0 ‎ 可行域内直线y=x与x=1的交点（１,１）到直线3x-4y-9=0距离最短为，由对称性知，｜ＡＢ｜间的最小距离为４.故选Ｂ.‎ ‎9.B 解析：本题考查了集合的性质与复数的运算，属基础题.‎ ‎ ∵且 ，∴ ，又∵任意，必有，‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴.‎ ‎10. Ｃ解析：本题考查了函数的定义域、值域、图象，考查综合运用知识分析解决问题的能力，属于创新题，高档题.‎ ‎ 结合图象利用验证法进行判断，由二次函数与幂函数的图象知①不符合题意，在②中的图象大于２且无限接近２,的图象小于２且无限接近２,其存在“分渐近线”，③中，，随着的增加，从１趋向于０,而从趋向于１,且变化率不一样，不存在分渐近线.利用排除法，故Ｃ正确.‎ ‎11. 解析：本题考查了等比数列的通项公式及前项和公式，基础题.‎ ‎ 由题意得，∴.‎ ‎12. 解析：本题考查了几何体的三视图及几体的体表面积公式，基础题.‎ ‎ 由正视图可得三棱柱的高为１,底面边长为２，‎ ‎∴ .‎ ‎13.0.128解析：本题考查了独立事件的概率公式，基础题.‎ 设该选手“第个问题回答正确”的事件为，则“该选手恰好回答四个问题能晋级”的事件为,并且与互斥，‎ ‎∴ 该选手晋级的概率为 Ｐ（）＝Ｐ（）+Ｐ（）‎ ‎＝＝0.128.‎ ‎14. 解析：本题考查了三角函数的图象及性质，基础题.‎ ‎ 由两个三角函数图象的对称轴完相同知其周期相同，即，又∵，‎ ‎∴ ，当时，；当时，.‎ ‎15.①②④解析：本小题考查了函数的定义域、值域、单调性等性质.考查综合运用知识分析、解决问题的能力.‎ 由题意得，所以①正确；对，，由题意得，②正确；∵‎ ‎，∴无解，③不正确；　‎ ‎ ∵，∴函数内单调性与其在的单调性一致，所以④正确.‎ 三、解答题：‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 设是不等式的解集，整数。‎ ‎（1）记使得“成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；‎ ‎（2）设，求的分布列及其数学期望。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。‎ ‎【解析】（1）由得，即，‎ 由于整数且，所以A包含的基本事件为 ‎。‎ ‎（2）由于的所有不同取值为所以的所有不同取值为，‎ 且有，，，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P 所以=。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。‎ ‎【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为 F（-2，0），从而有，解得，‎ 又，所以，故椭圆C的方程为。‎ ‎（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，‎ 由得，‎ 因为直线与椭圆有公共点，所以有，‎ 解得，‎ 另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而，‎ 由于，所以符合题意的直线不存在。‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。‎ ‎（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；‎ ‎（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，‎ 因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面。‎ ‎（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为 ‎=，又因为，‎ 所以=，当且仅当时等号成立，‎ 从而，而圆柱的体积，‎ 故=当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最大值是。‎ ‎（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），‎ 因为平面，所以是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量，由，故，‎ 取得平面的一个法向量为，因为，‎ 所以。‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ ‎。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，‎ 故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，‎ 设，OD=，‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，‎ 所以，解得 ‎，‎ 从而 值，且最小值为，‎ 于是，当取得最小值，且最小值为。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数，。‎ ‎（i）求函数的单调区间；‎ ‎（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 ‎（Ⅱ）对于一般的三次函数（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）（i）由得=，‎ 当和时，；‎ 当时，，‎ 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。‎ ‎（ii）曲线C与其在点处的切线方程为 得，‎ 即，解得，‎ 进而有，‎ 用代替，重复上述计算过程，可得 和，‎ 又，‎ 所以 因此有。‎ ‎（Ⅱ）记函数的图象为曲线，‎ 类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：‎ 若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点 ‎，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 证明如下：‎ 因为平移变换不改变面积的大小，‎ 故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，‎ 因而不妨设，‎ 类似（i）（ii）的计算可得 ‎，故。‎ ‎21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=，，且，‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，‎ 求|PA|+|PB|。‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。‎ 解答：‎ ‎（1）选修4-2：矩阵与变换 ‎【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设得，解得；‎ ‎（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），‎ 由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而 直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。‎ ‎（2）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得即 ‎（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，‎ 即由于，故可设是上述方程的两实根，‎ 所以故由上式及t的几何意义得：‎ ‎|PA|+|PB|==。‎ ‎（3）选修4-5：不等式选讲 ‎【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得，解得，‎ 又已知不等式的解集为，所以，解得。‎ ‎（Ⅱ）当时，，设，于是 ‎=，所以 当时，；当时，；当时，.‎ 数学试题（理工农医类）点评 今年的数学试卷在平稳过渡的同时，凸显“新”和“变”，“稳”主要表现在试卷的题型结构、赋分比例、难度要求以及试题难易梯度等方面，均严格遵照《考试说明》的相关规定。“新”与“变”主要表现在规避命题的“模式化”以及试题设计上。如第9题以四个数关于乘法运算构成的循环群为背景，以复数、集合、方程为载体，考查学生学习潜能；第18题(Ⅱ)以空间几何体为载体考查几何概型；第20题以三次函数为背景考查学生抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力。          试卷重点考查主干知识       试卷注重数学的学科本质，关注数学知识的合理应用。既考查了数学知识在学科内的应用，如8、9、8、20等题都突出对相关数学知识的本质含义的考查，又考查了数学知识在解决实际问题中的应用，如13、19等题取材于学生熟悉的学习、生活实际，具有较好的现实意义。      试卷重点考查了支撑高中数学的主干知识，它们在卷中的占分79.3%。试卷将检测考生是否具备在自然语言、图形语言和符号语言之间进行熟练的转化和思考的能力作为重要的考查目标。如19题取材于考生熟悉的背景，要求考生能够将“相遇”、“距离最短”、“时间最少”等自然语言转化为直观形象的图形语言，进而抽象出体现“速度”、“时间”和“距离”之间数量关系的函数方程语言，奠定解决问题的基础。      此外，试题合理依托知识的交汇，在基本保证考试内容抽样的合理性和典型性的同时，检测了考生是否具备一个有序的网络化的知识体系。      创新性问题源于基础知识           试卷中设计了适量的创新性问题，考查考生创造性地解决问题的过程。10、15题，考生需要经历对所给概念或关系进行阅读理解的过程，抓住问题本质后方可利用函数图像与性质等知识经历推理论证等探究过程。创新性问题的设计都源于中学数学的基础知识，“新”而不怪、“新”而不难。      试卷以探究性问题为载体，强调高考对考生学习方式和学习潜能的关注，力图使得试卷的选拔功能得以全面体现。如9以及15关注了推理与证明；10给出了“分渐近线”的概念，通过学习和理解概念，进而解决相关问题； 17(Ⅱ)、19(Ⅱ)都设置了探究性问题； 20由特殊到一般地解决了三次函数的有关问题，展示了数学发现的一般过程。‎