经典高考概率分布类型题归纳精选

经典高考概率分布类型题归纳精选

O(∩_∩)O 经典高考概率类型题总结 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 一、超几何分布 1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个. （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算： ①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？ ②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ （2）若甲从中随机抽取 5 个题目，其中判断题的个数为 X，求 X 的概率分布和数学期望. O(∩_∩)O 二、二项分布 1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可 自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、 丁 4 名参加保险人员所在的地区附近有 A，B，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选 择是相互独立的. （1）求甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率； （3）设 4 名参加保险人员中选择 A 社区医院的人数为 X，求 X 的概率分布和数学期望． 2.某广场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红 灯的概率都是2 3 ，出现绿灯的概率都是1 3.记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 X， 当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求 X＝2 时的概率； (2)求 X 的数学期望． 解　(1)依题意知：X＝2 表示 4 盏装饰灯闪烁一次时，恰好有 2 盏灯出现红 灯，而每盏灯出现红灯的概率都是2 3 ， 故 X＝2 时的概率 P＝C24(2 3 )2(1 3 )2＝ 8 27. (2)法一　X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，依题意知 P(X＝k)＝Ck4(2 3 )k(1 3 )4－k(k＝0,1,2,3,4)． ∴X 的概率分布列为 X 0 1 2 3 4 O(∩_∩)O P 1 81 8 81 8 81 32 81 16 81 ∴数学期望 E(X)＝0×1 8 ＋1× 8 81 ＋2× 8 81 ＋3×32 81 ＋4×16 81 ＝8 3. 三、超几何分布与二项分布的对比 有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依 次任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 P（X）＝ . 辨析： 1.有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依 次任取 3 件，若 X 表示取到次品的件数，则 P（X）＝ 2. 有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依 次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P（X）＝ 3.有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依 次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P（X）＝ 四、古典概型算法 1.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有 1，2，3，4 四个数字，现随机投掷两次，正四面 体底面上的数字分别为 x1,x2，记 X=(x1-2)2+(x2-2)2. （1）分别求出 X 取得最大值和最小值的概率； （2）求 X 的概率分布及方差. 2.（2012·江苏高考）设ξ为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两 条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时ξ =1． （1）求概率 P（ξ=0）； （2）求ξ的分布列，并求其数学期望 E（ξ）． 3.某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源， 且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请人中： （1）恰有 2 人申请 A 片区房源的概率； O(∩_∩)O （2）申请的房源所在片区的个数 X 的概率分布与期望. 4.设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A， 试列举 A 包含的基本事件； (2)设 ξ＝m2，求 ξ 的概率分布表及其数学期望 E(ξ)． 解　(1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即 S＝{x|－2≤x≤3}． 由于 m，n∈Z，m，n∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以 ξ＝m2 的所有不同取值为 0,1,4,9， 且有 P(ξ＝0)＝1 6， P(ξ＝1) ＝2 6＝1 3， P(ξ＝4)＝2 6＝1 3， P(ξ＝9)＝1 6. 故 ξ 的概率分布表为 ξ 0 1 4 9 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 E(ξ)＝0×1 6＋1×1 3＋4×1 3＋9×1 6＝19 6 . 5.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组 选《数学史与不等式选讲》的有 1 人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》 的有 5 人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有 2 人，选《矩阵变换和 O(∩_∩)O 坐标系与参数方程》的有 4 人，现从第一、第二两小组各任选 2 人分析得分 情况 . (1)求选出的 4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率； (2)设 X 为选出的 4 个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求 X 的分布列 和数学期望． 解　(1)设“从第一小组选出的 2 人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》” 为事件 A，“从第二小组选出的 2 人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》” 为事件 B. 由于事件 A、B 相互独立， 所以 P(A)＝C25 C26 ＝2 3 ，P(B)＝C24 C26 ＝2 5 ， 所以选出的 4 人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为 P(A·B)＝ P(A)·P(B)＝2 3 ×2 5 ＝ 4 15. (2)X 可能的取值为 0,1,2,3，则 P(X＝0)＝ 4 15 ，P(X＝1)＝C25 C26·C12·C14 C26 ＋C15 C26·C24 C26 ＝22 45 ， P(X＝3)＝C15 C26· 1 C26 ＝ 1 45. P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝2 9. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 15 22 45 2 9 1 45 所以 X 的数学期望 E(X)＝0× 4 15 ＋1×22 45 ＋2×2 9 ＋3× 1 45 ＝1 (人)． O(∩_∩)O 6. 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球．现在从甲、乙 两个盒内各任取 2 个球． （I）求取出的 4 个球均为黑色球的概率； （II）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （III）设ξ为取出的 4 个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 解：（I）设“从甲盒内取出的 2 个球均黑球”为事件 A， “从乙盒内取出的 2 个球为黑球”为事件 B． ∵事件 A，B 相互独立，且 ． ∴取出的 4 个球均为黑球的概率为 P（AB）=P（A） P（B）= ． （II）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1 个是红红，1 个是黑球”为 事件 C， “从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D． ∵事件 C，D 互斥，且 O(∩_∩)O ． ∴取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 P（C+D）=P（C）+P（D）= ． （III）解：ξ可能的取值为 0，1，2，3． 由（I），（II）得 ， 又 ， 从而 P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）= ． ξ的分布列为 ξ的数学期望 ． 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 1.开锁次数的数学期望和方差有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上 的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不 能放回．求试开次数 的数学期望和方差． 分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第 k 次打开．不过，一般我们应从 简单的地方入手，如 ，发现规律后，推广到一般． ξ )( kP =ξ 1−k 3,2,1=ξ O(∩_∩)O 解： 的可能取值为 1，2，3，…，n． ；所以 的分布列为： 1 2 … k … n … … ； 2. 射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差 某射手进行射击练习，每射击 5 发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的 练习，否则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次， 并且已知他射击一次的命中率为 0.8，求在这一组练习中耗用子弹数 的分布列，并求出 的期望 与方差 （保留两位小数）． 分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解． 解： 该组练习耗用的子弹数 为随机变量， 可以取值为 1，2，3，4，5． ξ ;1 2 1 1 21 2 1)1 11()11()3( ;1 1 11 1 1)11()2( ,1)1( nnn n n n nnnP nnn n nnP nP =−⋅− −⋅−=−⋅−−⋅−== =−⋅−=−⋅−== == ξ ξ ξ nknkn kn n n n n n n knknnnnkP 1 1 1 2 1 2 3 1 21 1 1)2 11()2 11()1 11()11()( =+−⋅+− +− − −⋅− −⋅−=+−⋅+−−−−⋅−−⋅−== ξ ξ ξ P n 1 n 1 n 1 n 1 2 11131211 +=⋅++⋅+⋅+⋅= n nnnnnE ξ n nnn nkn n n n n nD 1)2 1(1)2 1(1)2 13(1)2 12(1)2 11( 22222 ⋅+−++⋅+−++⋅+−+⋅+−+⋅+−= ξ     ⋅+++++++−++++= nnnnnn 22222 )2 1()321)(1()321(1  12 1 4 )1( 2 )1()12)(1(6 11 222 −=    +++−++= nnnnnnnnn ξ ξ ξ E ξ D ξ ξ O(∩_∩)O ＝1，表示一发即中，故概率为 ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故 ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故 ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故 ＝5，表示第五发命中，故 因此， 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016 3. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球 得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第 三次.某同学在 A 处的命中率 q 为 0.25，在 B 处的命中率为 q ，该同学选择先在 A 处投一 ξ ;8.0)1( ==ξ P ξ ;16.08.02.08.0)8.01()2( =×=×−==ξ P ξ ;032.08.02.08.0)8.01()3( 22 =×=×−==ξ P ξ 0064.08.02.08.0)8.01()4( 33 =×=×−==ξ P ξ .0016.02.01)8.01()5( 44 ==⋅−==ξ P ξ ξ 0016.050064.04032.0316.028.01 ×+×+×+×+×=ξ E ,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++= 0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11( 22222 ×−+×−+×−+×−+×−=ξ D .31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++= 1 2 O(∩_∩)O 球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 （1）求 q 的值； （2）求随机变量 的数学期望 E ； （3）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分 的概率的大小． 解:（1）设该同学在 A 处投中为事件 A，在 B 处投中为事件 B，则事件 A，B 相互独立， 且 P(A)=0.25， ，P(B)= q ， ． 根 据 分 布 列 知 ： =0 时 =0.03 ， 所 以 ，q =0.8． （2）当 =2 时，P1= =0.75q ( )×2=1.5q ( )=0.24． 当 =3 时，P2 = =0.01， 当 =4 时，P3= =0.48， 当 =5 时，P4= =0.24． 所以随机变量 的分布列为： ξ 2 ξ ξ ( ) 0.75P A = 2 2( ) 1P B q= − ξ 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0.75(1 )P ABB P A P B P B q= = − 21 0.2q− = 2 ξ )()()( BBAPBBAPBBABBAP +=+ )()()()()()( BPBPAPBPBPAP += 2 21 q− 2 21 q− ξ 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0.25(1 )P ABB P A P B P B q= = − ξ 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0.75P ABB P A P B P B q= = ξ ( ) ( ) ( )P ABB AB P ABB P AB+ = + 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.25 (1 ) 0.25P A P B P B P A P B q q q= + = − + ξ O(∩_∩)O 随 机 变 量 的 数 学 期 望 ． （3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 ； 该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72． 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大． 4. 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙 两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关， 同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这 些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为 被乙小组攻 克的概率为 . （1）设 X 为攻关期满时获奖的攻关小组数，求 X 的概率分布及 V(X)； （2）设 Y 为攻关期满时获奖的攻关小组数的 2 倍与没有获奖的 攻关小组数之差，求 V(Y). 5. 某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 ，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的 景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求 的分布列及数学期望； ξ 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63Eξ = × + × + × + × + × = ( )P BBB BBB BB+ + ( ) ( ) ( )P BBB P BBB P BB= + + 2 2 2 2 22(1 ) 0.896q q q= − + = 0.4,0.5,0.6 ξ ξ 3 2 4 3 O(∩_∩)O （Ⅱ）记“函数 在区间 上单调递增”为事件 ，求事件 的概率. 分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调 性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系， 就本题而言，只需 即可． 解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事 件 ． 由已知 相互独立， .客 人游览的景点数的可能取值为 0，1，2，3. 相 应的，客人没有游览的景点数的可能取 值为 3，2，1，0，所以 的可能取值为 1，3． [ 所以 的分布列为 （Ⅱ）解法一：因为 所以函数 上单调递增，要使 上单调递增， 当且仅当 从而 解法二： 的可能取值为 1，3. 当 时，函数 上单调递增， 2( ) 3 1f x x xξ= − + [2, )+∞ A A 3 22 ξ ≤ 1 2 3, ,A A A 1 2 3, ,A A A 1 2 3( ) 0.4, ( ) 0.5, ( ) 0.6P A P A P A= = = ξ 1 2 3 1 2 3( 3) ( ) ( )P P A A A P A A Aξ = = +    1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0.4 0.5 0.6 0.24P A P A P A P A P A P A= + = × × × = ( 1) 1 0.24 0.76P ξ = = − = ξ ( ) 1 0.76 3 0.24 1.48E ξ = × + × = 2 23 9( ) ( ) 1 ,2 4f x x ξ ξ= − + − 2 3( ) 3 1 [ , )2f x x xξ ξ= − + +∞在区间 ( ) [2, )f x +∞在 3 42, .2 3 ξ ξ≤ ≤即 4( ) ( ) ( 1) 0.76.3P A P Pξ ξ= ≤ = = = ξ 1ξ = 2( ) 3 1 [2, )f x x x= − + +∞在区间 1 3ξ P 0.76 0.24 O(∩_∩)O 当 时，函数 上不单调递增. 所以 6.甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为1 2 ，乙每次击中目标 的概率为2 3. (1)求乙至多击中目标 2 次的概率； (2)记甲击中目标的次数为 Z，求 Z 的分布列、数学期望和标准差． 解　(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标 2 次的 概率为 1－C33(2 3 )3＝19 27. (2)P(Z＝0)＝C03(1 2 )3＝1 8 ； P(Z＝1)＝C13(1 2 )3＝3 8 ； P(Z＝2)＝C23(1 2 )3＝3 8 ； P(Z＝3)＝C33(1 2 )3＝1 8. Z 的分布列如下表： Z 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 E(Z)＝0×1 8 ＋1×3 8 ＋2×3 8 ＋3×1 8 ＝3 2 ， D(Z)＝(0－3 2)2×1 8 ＋(1－3 2)2×3 8 ＋(2－3 2)2×3 8 ＋(3－3 2)2×1 8 ＝3 4 ，∴ D(Z)＝ 3ξ = 2( ) 9 1 [2, )f x x x= − + +∞在区间 ( ) ( 1) 0.76.P A P ξ= = = O(∩_∩)O 3 2 . 7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第 一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术 水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5，0.6，0.4.经过 第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ξ，求随机变量 ξ 的期望与方差． 解　分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1、A2、A3. (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 P(E)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3) ＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38. (2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p＝0.3，所以 ξ～B(3,0.3)． 故 E(ξ)＝np＝3×0.3＝0.9， V(ξ)＝np(1－p)＝3×0.3×0.7＝0.63. 8.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会， 一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止。 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6，0.7，0.8，0.9， 求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的 概率. 解： 的取值分别为 1，2，3，4. ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故 P（ ）=0.6. ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故 ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 ξ ξ ξ 1=ξ 1=ξ 2=ξ .28.07.0)6.01()2( =×−==ξP O(∩_∩)O ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故 ∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 ∴ξ的期望 Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976. 9.某先生居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独 立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．( 例如：Ａ Ｃ Ｄ算作两个路段：路段ＡC 发生堵车事件的概率为 ，路段 CD 发生堵车事件的 概率为 )． （１） 请你为其选择一条由Ａ到Ｂ的路线，使得 途中发生堵车事件的概率最小； （２） 若记ξ路线Ａ Ｃ Ｆ Ｂ中遇到堵车 次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Ｅξ． 解：(1)记路段 MN 发生堵车事件为 MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次， 所以路线Ａ Ｃ D Ｂ中遇到堵车的概率 P1 为 1－Ｐ( )=1－Ｐ( ) Ｐ( ) Ｐ ( ) ＝１－［１－Ｐ(AC)］［１－Ｐ(CD)］［１－P(DB)］＝１－ ＝ ； 同理：路线Ａ Ｃ Ｆ Ｂ中遇到堵车的概率 P２为 1－Ｐ( )= （小于 ）；　　　　 .096.08.0)7.01()6.01()3( =×−×−==ξP .024.0)8.01()7.01()6.01()4( =−×−×−==ξP → → 10 1 15 1 → → → → → → AC • CD • DB AC • CD • DB ⋅ 10 9 15 14 6 5⋅ 10 3 → → → AC • CF • FB 800 239 10 3 O(∩_∩)O 路线Ａ Ｅ Ｆ Ｂ中遇到堵车的概率 P３为 1－Ｐ( )= （大于 ）　　　　 显然要使得由Ａ到Ｂ的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选 择 ． 因此选择路线Ａ Ｃ Ｆ Ｂ,可使得途中发生堵车事件的概率最小. (2) 路线Ａ Ｃ Ｆ Ｂ中遇到堵车次数ξ可取值为 0,1,2,3． Ｐ(ξ＝０)＝Ｐ( )＝ ， 　　　Ｐ(ξ＝1)＝Ｐ(AC )＋Ｐ( ＣＦ )＋Ｐ( ＦＢ) 　　＝ ＋ ＋ ＝ ， Ｐ(ξ＝２)＝Ｐ(AC ＣＦ )＋Ｐ(ＡＣ ＦＢ)＋Ｐ( ＣＦ ＦＢ) 　　＝ ＋ ＋ ＝ ， Ｐ(ξ＝3)＝Ｐ( )＝ ＝ ． ∴Ｅξ＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝ 。 答:路线Ａ Ｃ Ｆ Ｂ中遇到堵车次数的数学期望为 10.分类题型中的难题 在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断 正确的概率为 p，判断错误的概率为 q，若判断正确则加 1 分，判断错误则减 1 分，现记 “该明星答完 n 题后总得分为 S n ”． （1）当 p=q= 1 2 时，记ξ=|S 3 |，求ξ的分布列及数学期望及方差； （2）当 p= 1 3 ，q= 2 3 时，求 S 8 =2 且 S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率． 解：（1）∵ξ=|S3|的取值为 1，3， 又 ； → → → AE • EF • FB 300 91 10 3 → → → → → → AC • CF • FB 800 561 • CF • FB AC • • FB AC • CF • 10 1 20 17 12 11 10 9 20 3 12 11 10 9 20 17 12 1 2400 637 • • FB • CF • AC • • 10 1 20 3 12 11 10 1 20 17 12 1 10 9 20 3 12 1 2400 77 AC • CF • FB 10 1 20 3 12 1 2400 3 800 561 2400 637 2400 77 2400 3 3 1 → → → 3 1 O(∩_∩)O ∴ ， ． ∴ξ的分布列为： ∴Eξ=1× +3× = ； Dξ= = （2）当 S8=2 时，即答完 8 题后，回答正确的题数为 5 题，回答错误的题数是 3 题， 又已知 Si≥0（i=1，2，3，4），若第一题和第二题回答正确，则其余 6 题可任意答对 3 题； 若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后 5 题可任意答对 3 题． 此时的概率为 ． . 六．拓展 1.某车站每天 8∶00~9∶00，9∶00~10∶00 都恰有一辆客车到站，8∶00~9∶00 到站的客车 A 可能在 8∶10，8∶30，8∶50 到站，其概率依次为 ;9∶00~10∶00 到站的客车 B 可能在 9∶10，9∶30,9∶50 到站，其概率依次为 . (1) 旅客甲 8∶00 到站，设他的候车时间为 ，求 的分布列和 ； (2) 旅客乙 8∶20 到站，设他的候车时间为 ,求 的分布列和 . 1 1 1, ,6 2 3 1 1 1, ,3 2 6 ξ ξ Eξ η η Eη O(∩_∩)O （1）旅客 8∶00 到站，他的候车时间 的分布列为： (分钟) （2）旅客乙 8∶20 到站，他的候车时间 的分布列为： (分钟) 2.A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2，根据市场分析，X1 和 X2 的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在 A，B 两个项目上各投资 100 万元，Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 V(Y1)、V(Y2)； 10 30 50 70 50 ξ 1 1 1 10010 30 506 2 3 3Eξ∴ = × + × + × = η 1 1 1 1 110 30 50 70 902 3 18 12 36Eη∴ = × + × + × + × + × 235 9 = ξ P 1 2 1 3 1 1 6 3 × 1 1 6 2 × 1 1 6 6 × O(∩_∩)O (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目，100－x 万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和．求 f(x)的最小值， 并指出 x 为何值时，f(x)取到最小值． 解　(1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， V(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4； E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， V(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝V( x 100Y1)＋V(100－x 100 Y2) ＝( x 100 )2V(Y1)＋(100－x 100 )2V(Y2) ＝ 4 1002[x2＋3(100－x)2] ＝ 4 1002(4x2－600x＋3×1002)， 当 x＝ 600 2 × 4 ＝75 时，f(x)＝3 为最小值. 3.据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为 0.01。设工地上有 台大型设备，为保护设备有以下三种方案。 方案 1：运走设备，此时需花费 3800 元。 方案 2：建一保护围墙，需花费 2000 元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设 O(∩_∩)O 备受损，损失费为 60000 元。 方案 3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失 60000 元，小洪水来临损 失 10000 元。 试比较哪一种方案好。 解：比较三者费用的期望值即可 A 方案：费用为 3800 B 方案：设 为费用，则列出分布列如下： 0 2000 6000 P 0.74 0.25 0.01 所以 C 方案：设 为费用，则列出分布列如下： 1000 0 60000 P 0.74 0.25 0.01 所以 故: 方案 A 的费用 >方案 C 的费用>方案 B 的费用 所以采用方案 B。 六、综合算法 1.2015 年期末考试题 长时间用手机上网严重影响学生的健康，如果学生平均每周手机上网的时长超过 5 小时，则 称为“过度用网”，某校为了解 A,B 两班学生手机上网的情况，分别从这两个班中随机抽取 6 名学生样本进行调查，由样本数据统计得到 A,B 两班学生“过度用网”的概率分别为 Bξ Bξ 112062050001.010621.0200074.00 4 ==+=××+×+×=BEξ Cξ Cξ 0 310001.010625.01074.00 44 =××+×+×=cEξ 2 1,3 1 O(∩_∩)O （1）从 A 班的样本数据中抽取 2 个数据，求恰有 1 个数据为“过度用网”的概率 （2）从 A 班，B 班的样本中随机抽取 2 名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为 ， 写出其分布列和数学期望 。 2.国家公务员考试，某单位已录用公务员 5 人，已安排到 A,B,C 三个科室工作，但甲必须安 排在 A 科室，其余 4 人可以随机安排. （1）求每个科室安排至少 1 人至多 2 人的概率；（分为 A 和非 A 两种情况，非 A 需要讨论， 所以用古典概型） （2）设安排在 A 科室的人数为随机变量 X，求 X 的概率分布及数学期望和方差.（分为 A 和 非 A 两种情况，非 A 不再需要讨论，所以部分用二项分布） ξ ξE