闵行区高考数学二模试卷含答案

闵行区高考数学二模试卷含答案

‎2015年闵行区高考数学二模含答案 ‎（满分150分，时间120分钟 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．‎ ‎1．用列举法将方程的解集表示为 ． ‎ ‎2．若复数满足（其中为虚数单位），则 ． ‎ ‎3．双曲线的两条渐近线的夹角的弧度数为 . ‎ ‎4．若，且，则 ． ‎ ‎5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则= . ‎ ‎6．已知等比数列满足，则= . ‎ ‎7. 设二项式的展开式的二项式系数的和为，各项系数的和为，且，则的值为 . ‎ ‎8． 是从集合中随机抽取的一个元素,记随机变量,则的数学期望 . ‎ ‎9．给出条件：①，②，③，④．函数，对任意，能使成立的条件的序号是 ． ‎ ‎10．已知数列满足，则使不等式成立的所有正整数的集合为 ． ‎ A B D y x C P N M O ‎11．斜率为的直线与焦点在轴上的椭圆交于不同的两点、.若点、在轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 . ‎ ‎12．函数在区间内无零点，则实数的范围是 . ‎ ‎13．如图，已知点，且正方形内接于：，、分别为边、的中点.当正方形绕圆心旋转时，的取值范围为 ． ‎ ‎14．已知函数，，若对任意的，均有，则实数的取值范围是　 ． ‎ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．‎ ‎15．如果，那么下列不等式成立的是 ( ) ‎ ‎(A) . (B) . (C) . (D) .‎ ‎16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( ) ‎ ‎ (A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.‎ ‎17．函数的定义域为，值域为，则的最大值是( ) ‎ A B l C N P O ‎(A) . (B) . (C) . (D) .‎ ‎18． 如图，已知直线平面，垂足为，在 中，，点是边上的动点.‎ 该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)，‎ ‎(2).则的最大值为 (　 　) ‎ ‎(A) . (B) . (C) . (D) .‎ 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎ 19．（本题满分12分）‎ P S A Q O B 如图，已知圆锥的底面半径为，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点．若直线与所成的角为，求此圆锥的表面积．‎ ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．‎ 设三角形的内角所对的边长分别是，且．若不是钝角三角形，求：(1) 角的范围；(2) 的取值范围．‎ ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．‎ 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．‎ ‎（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；‎ ‎（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．‎ 已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：．‎ (1) 求曲线的方程；‎ ‎(2)证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；‎ ‎(3)求面积的最大值．‎ ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．‎ 各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）如果等比数列共有项，其首项与公比均为，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；‎ ‎（3）如果存在，使不等式 成立，求实数的范围．‎ 闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准（理科）‎ 一. 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．4； 8．； 9．④； ‎ ‎10．； 11． ； 12．； 13．； 14．．‎ 二. 选择题 15． B； 16． D； 17．B； 18． C．‎ 三. 解答题 ‎ P S A Q O B M ‎19．[解] 取OA的中点M,连接PM,又点P为母线的中点 所以，故为与所成的角．………………………2分 在中，，，………………………4分 由点Q为半圆弧的中点知 ，‎ 在中，‎ 故，所以，． ………………………8分 所以，………………10分 ‎．…………………………………12分 ‎20．[解] （1）因为， …………………………………2分 由得： …………………………………4分 ‎（2） …………………………………6分 ‎（）……………10分 当时，‎ 当时， …………………………………12分 所以. …………………………………14分 ‎21．[解](1)由条件得，所以2分 ‎，（）． …………………………………6分 ‎ （2）因为，‎ 所以恒成立 ………………………8分 恒成立 ………………………10分 设，则：‎ 恒成立，‎ 由恒成立得 ‎（时取等号） ………………………12分 恒成立得（时取等号）‎ 所以． ………………………14分 ‎22．[解]（1）设两动圆的公共点为Q，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，．所以曲线的方程是：．…4分 ‎ （2）证法一：由题意可知：，设，,‎ 当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点 ………………………6分 当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：‎ ‎，把②代入①有：……………8分 ‎ ③，④，‎ 因为，所以有，‎ ‎，把③④代入整理：‎ ‎，（有公因式m-1）继续化简得：‎ ‎，或（舍），‎ 综合斜率不存在的情况，直线恒过定点． ………………………10分 证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，,‎ 如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；‎ 取特殊直线，则直线的方程为，‎ 解方程组得点，同理得点，‎ 此时直线恒经过轴上的点（只要猜出定点的坐标给2分）……2分 下边证明点满足条件 当的斜率不存在时，直线方程为：，‎ 点 的坐标为，满足条件；………………………8分 当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：‎ ‎，把②代入①得：‎ ‎ ③，④，‎ 所以 ‎ ………………………10分 ‎（3）面积==‎ 由第(2)小题的③④代入，整理得： ……………………………12分 因在椭圆内部，所以,可设，‎ ‎ ……………………………14分 ‎，(时取到最大值)．‎ 所以面积的最大值为． …………………………………………16分 ‎23． [解] （1）当时，由得 …………1分 当时，由，得 因数列的各项均为正数，所以 ………………………………3分 所以数列是首相与公差均为等差数列 所以数列的通项公式为． ………………………………4分 ‎（2）数列的通项公式为 ……………………5分 当时，数列共有 项，其所有项的和为 ‎ ………………………………8分 当时，数列共有 项，其所有项的和为 ‎ ……………………………11分 ‎（3）由得 ‎ ……………………………13分 记 由 递减（或）………………………15分 得 ，‎ 所以实数的范围为,即． ……………………………18分