高考不等式经典例题

高考不等式经典例题

‎ 高考不等式经典例题 ‎【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.‎ ‎【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，‎ 当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；‎ 当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；‎ 综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.‎ ‎【变式训练1】已知m＝a＋(a＞2)，n＝x－2(x≥)，则m，n之间的大小关系为(　　)‎ A.m＜n B.m＞n C.m≥n D.m≤n ‎【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.‎ m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.‎ ‎【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.‎ ‎【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.‎ 令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，‎ 所以 故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].‎ 题型三　开放性问题 ‎【例3】已知三个不等式：①ab＞0；② ＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？‎ ‎【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞⇔＞0.‎ ‎(1)由ab＞0，bc＞ad⇒＞0，即①③⇒②； ‎ ‎(2)由ab＞0，＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；‎ ‎(3)由bc－ad＞0，＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.‎ 故可组成3个正确命题.‎ ‎【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R).‎ ‎【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；‎ 当m≠0时，可分为两种情况： ‎ ‎(1)m＞0 时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝.‎ 所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}；‎ ‎(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，‎ 其对应方程两根为x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.‎ ‎①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1， 不等式的解集为{x|－1＜x＜}；‎ ‎②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；‎ ‎③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x|＜x＜－1}.‎ ‎【变式训练2】解关于x的不等式＞0.‎ ‎【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞或x＜－1}；‎ 当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为∅；‎ 当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}.‎ ‎【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.‎ ‎【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0， 解得x＜或x＞1.‎ ‎(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (3)z＝的取值范围.‎ ‎【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).‎ ‎(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大. 所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.‎ ‎(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，‎ 过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，‎ 故z的最小值是()2＝.‎ ‎(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍.‎ 因为kQA＝，kQB＝，所以z的取值范围为[，].‎ ‎【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)‎ A .x＋y≥2(＋1) B .x＋y≤2(＋1) C. x＋y≤2(＋1)2 D. x＋y≥(＋1)2‎ ‎(2)已知a，b∈R＋，则，，，的大小顺序是　　　　　　　　　.‎ ‎【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()2，所以()2≥1＋(x＋y).‎ 解得x＋y≥2(＋1)或x＋y≤2(1－). 因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(＋1).‎ ‎(2)由≥有a＋b≥2，即a＋b≥，所以≥. ‎ 又＝≤，所以≥， 所以≥≥≥.‎ ‎【变式训练1】设a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是　　　　.‎ ‎【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.‎ 而(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以λ＜4.‎ ‎【例2】(1)已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值为　　　　；‎ ‎【解析】(1)因为x＜，所以5－4x＞0. 所以y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 所以x＝1时，ymax＝1.‎ ‎【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.‎ ‎【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，‎ cd＝xy，所以＝＝2＋＋，当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，‎ 故的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).‎ 例 已知，求的最小值。‎ ‎ 解：。‎ 当且仅当时，即，上式取“=”，故。‎ 例 已知，求函数的最小值。‎ 解：因为，所以。‎ 所以。‎ 当且仅当时，即，上式取“=”，故。‎ 例 已知，且，求的最小值。‎ 解：设，故有。‎ ‎。当且仅当同时成立时上述不等式取“=”，即，代入，解得，此时，故的最小值为36。‎ 例 若正实数x，y 满足 ，则xy 的最小值是 。（变式：求2x+y的最小值为 ‎______）‎ 答案：18‎ 解：因为x>0，y>0 ，所以，‎ ‎，解得 等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy的最小值为18。‎ 变式答案：12‎ 解：因为x>0，y>0 ，所以 整理得，解得 等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x+y的最小值为12。‎ 例 若对任意，恒成立，则的取值范围是 。‎ 答案：‎ 解：因为，所以（当且仅当时取等号），所以有 ‎，即的最大值为，故。‎