高考试题——数学理北京卷及答案

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高考试题——数学理北京卷及答案

‎ 2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数 学(理工农医类)‎ 第Ⅰ卷(选择题共50分)‎ 参考公式:‎ 三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式 ‎ 其中、分别表示 ‎ 上、下底面周长,表示斜高或母线长.‎ ‎ 球体的体积公式: ,其中R ‎ ‎ 表示球的半径.‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.‎ ‎(1)设集合,,则等于 ‎(A) (B)  (C) (D)或 ‎(2)设,,,则 ‎(A)  (B)  (C)  (D)‎ ‎(3)“”是“”的 ‎(A)必要非充分条件  (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件  (D)既非充分又非必要条件 ‎4.已知是平面,是直线,下列命题中不正确的是 ‎(A)若∥,,则∥ (B)若∥,,则 ‎(C)若,,则∥   (D)若,,则.‎ ‎5.极坐标方程表示的曲线是 ‎(A)圆   (B)椭圆    (C)抛物线   (D)双曲线 ‎6.若,且,则的最小值是 ‎(A)2     (B)3     (C)4     (D)5‎ ‎7.如果圆台的母线与底面成角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ‎(A)    (B)   (C)   (D)‎ ‎8.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有 ‎(A)24种    (B)18种    (C)12种    (D)6种 ‎9.若数列的通项公式是,,则等于 ‎(A)   (B)    (C)     (D)‎ ‎10.某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为.规定:同意按“‎1”‎,不同意(含弃权)按“‎0”‎.令 其中,且,则同时同意第1、2号同学当选的人数为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.‎ ‎11.,,,其中 为偶函数.‎ ‎12.已知双曲线方程为,则以双曲线左顶点为顶点,右焦点为焦点的抛物线方程为 .‎ ‎13.一底面半径为的圆柱,被一平面所截剩下部分母线最大值为,最小值为,那么圆柱被截后剩下部分的体积为 .‎ ‎14.一根长为1的铁丝,分成两段分别围成一个正方形和一个圆,当正方形和圆的面积之和最小时,正方形的周长为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分13分)已知函数 ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值. ‎ ‎16.(本小题满分13分)已知数列是等差数列,且,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列(),求数列的前项和公式.‎ ‎17.(本小题满分15分)如图,已知正三棱柱底面边长为3,,为延长线上一点,且.‎ ‎(1)求证:直线∥面;‎ ‎(2)求二面角的大小;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎18.(本小题满分15分)如图,已知椭圆的长轴与轴平行,短轴在轴上,中心(‎ ‎(Ⅰ)写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆交于,(),直线与椭圆次于,().求证:;‎ ‎(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的在,设交轴于 点,交轴于点,求证:‎ ‎(证明过程不考虑或垂直于轴的情形)‎ ‎19.(本小题满分14分)有三个新兴城镇分别位于、、三点处,且,,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在的垂直平分线上的点处(建立坐标系如图).‎ ‎(Ⅰ)若希望点到三镇距离的平方和最小,则应位于何处?‎ ‎(Ⅱ)若希望点到三镇的最远距离为最小,则应位于何处?‎ ‎20.(本小题满分14分)设是定义在区间上的函数,且满足条件,①‎ ‎②对任意的、,都有 ‎(Ⅰ)证明:对任意,都有 ‎(Ⅱ)证明:对任意的都有 ‎(Ⅲ)在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得 若存在请举一例,若不存在,请说明理由.‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) ‎ 数学(理工农医类)答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分50分.‎ ‎1.A 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.B 9.C 10.C 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.‎ ‎11. 12. 13. 14.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式,以及三角函数的性质等基本知识,考查运算能力,满分13分. ‎ ‎(Ⅰ)解:因为 所以的最小正周期 ‎(Ⅱ)解:因为,所以 当时,取最大值为,‎ 当时,取最小值为-1‎ ‎∴的最大值为1,最小值为-‎ ‎16.本小题主要考查等差、等比数列等基本知识,考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.‎ ‎ (Ⅰ)解:设数列公差为,则 又 所以 ‎(Ⅱ)解:由得 ‎ ① ‎ ‎②‎ ‎ 当x≠1时,将①式减去②式,得 ‎ ‎ ‎∴‎ 当x=1时,‎ ‎ 综上可知,当x=1时,‎ ‎ 当x≠1时,‎ ‎17.本小题主要考查直线与平面的位置关系,正棱柱的性质,棱锥的体积等基本知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.‎ ‎(Ⅰ)证明:∵CD∥C1B1 ,又BD=BC=B‎1C1,‎ ‎∴四边形BDB‎1C1是平行四边形 ‎∴BC1∥DB1 ‎ 又DB1平面AB1D,BC1平面AB1D ‎∴直线BC1∥平面AB1D ‎(Ⅱ)解:过B作BE⊥AD于E,连结EB1,‎ ‎ ∵ BB1⊥平面ABD ‎ ∴ B1E⊥AD ‎ ∴ ∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角 ‎ ∵ BD=BC=AB ‎ ∴ E是AD的中点,‎ ‎ ∴ BE=AC=‎ 在RtB1BE中,tan∠B1EB=‎ ‎ ∴ ∠B1EB=‎ ‎ 即二面角B1—AD—B的大小为 ‎ (Ⅲ)解法一:过A作AF⊥BC于F,‎ ‎ ∵ BB1⊥平面ABC,‎ ‎ ∴ 平面ABC⊥平面BB‎1C1C,‎ ‎ ∴ AF⊥平面BB‎1C1C 且AF=‎ ‎ ∴ ==‎ ‎ =‎ ‎=‎ ‎ 即三棱锥C1—ABB1的体积为 ‎18.本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.‎ ‎ (Ⅰ)解:椭圆方程为 ‎ 焦点坐标为,‎ ‎ 离心率 ‎(Ⅱ)证明:证明:将直线CD的方程代入椭圆方程,得 ‎ ‎ ‎ 整理得 ‎ ‎ ‎ 根据韦达定理,得 ‎ ,,‎ ‎ 所以 ①‎ ‎ 将直线GH的方程代入椭圆方程,同理可得 ‎ ②‎ ‎ 由 ①、②得 = ‎ ‎ 所以结论成立 ‎(Ⅲ)证明:设点P,点Q ‎ 由C、P、H共线,得 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 由D、Q、G共线,同理可得 ‎ ‎ ‎ ‎ 由 = 变形得 ‎ =‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 即 ‎ ‎19.本小题主要考查函数,不等式等基本知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.‎ ‎ (Ⅰ)解:由题设条件a>b>0,设P的坐标为(0,),则P至三镇距离的平方和为 ‎ =‎ 所以,当时,函数取得最小值. ‎ 答:点P的坐标是 ‎(Ⅱ)解:记 P至三镇的最远距离为 ‎ ‎ 由解得记 于是 ‎ ‎ 当,即时,‎ 因为在[上是增函数,而上是减函数. ‎ 所以时,函数取得最小值. 点P的坐标是 当,即时,因为在[上当y=0函数取得最小值b,而上是减函数,且 ,所以时, 函数取得最小值. ‎ 答:当时,点P的坐标是 ‎ 当时,点P的坐标是,其中 ‎20.本小题考查函数、不等式等基本知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)证明:由题设条件可知,‎ 当时,有即 ‎(Ⅱ)对任意的,‎ 当 当不妨设 则 从而有 总上可知,对任意的,都有 ‎(Ⅲ)答:这样满足所述条件的函数不存在.理由如下:‎ ‎ 假设存在函数满足条件,则由 得 又,所以 ①‎ ‎ 又因为为奇函数,所以,‎ 由条件 得 所以 ② ‎ ‎ ①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在.‎
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