新课标2010高考数学二轮复习专题九分类讨论的思想

新课标2010高考数学二轮复习专题九分类讨论的思想

‎【专题九】分类讨论的思想 ‎【考情分析】‎ 高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”‎ ‎【知识交汇】‎ 分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。‎ 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．‎ ‎1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点 ‎⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；‎ ‎⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；‎ ‎⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；‎ ‎⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。‎ ‎2. 分类讨论的思想的本质 分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．‎ ‎3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 ‎⑴确定讨论对象和确定研究的全域；‎ ‎⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；‎ ‎⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；‎ ‎⑷归纳总结，整合得出结论．‎ ‎4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：‎ ‎⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前项和公式等等；‎ ‎⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；‎ ‎⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；‎ ‎⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；‎ ‎⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；‎ ‎⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。‎ ‎【思想方法】‎ 一、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论 ‎【例1】设，函数.‎ (1) 当时,求曲线在处的切线方程;‎ (2) 当时,求函数的最小值.‎ ‎【解析】（1）当时，‎ ‎ 令 得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，‎ ‎ 所以曲线在处的切线方程为：。‎ ‎ （2）①当时，， ‎ ‎ ，恒成立。 在上增函数。‎ 故当时，‎ ‎② 当时，，‎ ‎（）‎ ‎（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时 ‎(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数 故当时，，且此时 ‎(iii)当；即 时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。‎ 综上所述，当时，在时和时的最小值都是。‎ 所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为 ‎，而，‎ 所以此时的最小值为。‎ 当时，在时最小值为，在时的最小值为，‎ 而，所以此时的最小值为 所以函数的最小值为 ‎【点评】本题涉及的知识点有带绝对值的式子，因此要了解绝对值概念的定义，进行分类讨论。‎ 二、根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准 ‎【例2】求和=　　　　　‎ ‎【解析】：当时，；‎ ‎　　　　 当时，此题为等比数列求和，‎ ‎　　 　 ①　若时，则由求和公式，。‎ ‎　　　 ②　若时, 。‎ ‎　　　　　　　　综合可得　‎ ‎【点评】：由于等比数列定义本身有条件限制，等比数列求和公式是分类给出的。因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论，这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为和；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。‎ 三、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论 ‎【例3】若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)‎ ‎【解析】首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.‎ 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.‎ 由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.‎ 对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以 VABCD=SΔBCM·AD.‎ CM===.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而SΔBCM=×2×=，‎ 故VABCD=××1=.‎ 对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·，‎ 不妨令a=b=2，c=1，则 V=·=·=.‎ 四、问题中的条件是分类给出的 ‎【例4】（2009年湖北卷理科）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。‎ ‎【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故 ‎①当仍为偶数时， 故 ‎②当为奇数时，‎ 故得m=4。‎ ‎（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数 ‎，所以=1可得m=5‎ 五、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的 某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5 ）的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤‎ ‎41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。‎ ‎(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；‎ ‎(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。‎ 解（1）设日销售量为 则日利润 ‎（2）‎ ‎①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35

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