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文档介绍
历年高考数学真题全国卷整理版
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (大纲全国卷) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．(2013 大纲全国，理 1)设集合 A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}， 则 M 中元素的个数为( )． A．3 B．4 C．5 D．6 2．(2013 大纲全国，理 2) 3(1+ 3i) ＝( )． A．－8 B．8 C．－8i D．8i 3．(2013 大纲全国，理 3)已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则 λ＝( )． A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 4．(2013 大纲全国，理 4)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为 ( )． A．(－1,1) B． 11, 2 C．(－1,0) D． 1 ,1 2 5．(2013 大纲全国，理 5)函数 f(x)＝ 2 1log 1 x (x＞0)的反函数 f－1 (x)＝( )． A． 1 2 1x (x＞0) B． 1 2 1x (x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0) 6．(2013 大纲全国，理 6)已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝0，a2＝ 4 3 ，则{an}的前 10 项和等 于( )． A．－6(1－3－10) B． 1 9 (1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 7．(2013 大纲全国，理 7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中 x2y2的系数是( )． A．56 B．84 C．112 D．168 8．(2013 大纲全国，理 8)椭圆 C： 22 =1 4 3 x y 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且 直线 PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线 PA1斜率的取值范围是( )． A． 1 3, 2 4 B． 3 3, 8 4 C． 1 ,1 2 D． 3 ,1 4 9．(2013 大纲全国，理 9)若函数 f(x)＝x2 ＋ax＋ 1 x 在 1 , 2 是增函数，则 a 的取值范围 是( )． A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞) 10．(2013 大纲全国，理 10)已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( )． A． 2 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 1 3 11．(2013 大纲全国，理 11)已知抛物线 C：y2 ＝8x 与点 M(－2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C交于 A，B 两点．若 0MA MB ，则 k＝( )． A． 1 2 B． 2 2 C． 2 D．2 12．(2013 大纲全国，理 12)已知函数 f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )． A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线 π= 2 x 对称 C．f(x)的最大值为 3 2 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．(2013 大纲全国，理 13)已知α是第三象限角，sin α＝ 1 3 ，则 cot α＝__________. 14．(2013 大纲全国，理 14)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 __________种．(用数字作答) 15．(2013 大纲全国，理 15)记不等式组 0, 3 4, 3 4 x x y x y 所表示的平面区域为 D.若直线 y ＝a(x＋1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是__________． 16．(2013 大纲全国，理 16)已知圆 O和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，OK＝ 3 2 ，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60°，则球 O 的表面积等 于__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(2013 大纲全国，理 17)(本小题满分 10 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3＝ 2 2a ， 且 S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式． 18．(2013 大纲全国，理 18)(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求 B； (2)若 sin Asin C＝ 3 1 4 ，求 C. 19．(2013 大纲全国，理 19)(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB 和△PAD 都是等边三角形． (1)证明：PB⊥CD； (2)求二面角 A－PD－C 的大小． 20．(2013 大纲全国，理 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两 人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的 概率均为 1 2 ，各局比赛的结果相互独立，第 1局甲当裁判． (1)求第 4 局甲当裁判的概率； (2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望． 21．(2013 大纲全国，理 21)(本小题满分 12 分)已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1x y a b (a＞0，b＞0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y＝2与 C的两个交点间的距离为 6 . (1)求 a，b； (2)设过 F2的直线 l 与 C的左、右两支分别交于 A，B 两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|， |AB|，|BF2|成等比数列． 22．(2013 大纲全国，理 22)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ 1ln(1+ ) 1 x xx x . (1)若 x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值； (2)设数列{an}的通项 1 1 1=1+ 2 3na n ，证明：a2n－an＋ 1 4n ＞ln 2. 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (大纲全国卷) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1． 答案：B 解析：由题意知 x＝a＋b，a∈A，b∈B，则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4个元 素．故选 B. 2． 答案：A 解析： 3 2 3(1+ 3i) =13 3i+3( 3i) +( 3i) = 8 .故选 A. 3． 答案：B 解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|2 －|n|2 ＝0⇒(λ＋1) 2 ＋1－[(λ＋2) 2 ＋4]＝0⇒λ＝－3.故选 B. 4． 答案：B 解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜ 1 2 .故选 B. 5． 答案：A 解析：由题意知 11+ x ＝2y⇒x＝ 1 2 1y (y＞0)， 因此 f－1 (x)＝ 1 2 1x (x＞0)．故选 A. 6． 答案：C 解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝ 1 3 na .∴数列{an}是以 1 3 为公比的等比数列．∵a2＝ 4 3 ， ∴a1＝4. ∴S10＝ 1014 1 3 11 3 ＝3(1－3 －10 )．故选 C. 7． 答案：D 解析：因为(1＋x)8的展开式中 x2的系数为 2 8C ，(1＋y)4的展开式中 y2的系数为 2 4C ，所以 x2y2 的系数为 2 2 8 4C C 168 .故选 D. 8． 答案：B 解析：设 P 点坐标为(x0，y0)，则 2 2 0 0 =1 4 3 x y ， 2 0 0 2PA yk x ， 1 0 0 2PA yk x ，于是 1 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 33 34 2 4 4PA PA xyk k x x . 故 1 2 3 1 4PA PA k k ＝－ . ∵ 2PAk ∈[－2，－1]， ∴ 1 3 3, 8 4PAk .故选 B. 9． 答案：D 解析：由条件知 f′(x)＝2x＋a－ 2 1 x ≥0 在 1 , 2 上恒成立，即 2 1 2a x x 在 1 , 2 上恒成立．∵函数 2 1 2y x x 在 1 , 2 上为减函数，∴ max 2 1 1< 2 3 21 2 y .∴a≥3. 故选 D. 10． 答案：A 解析：如下图，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 C1O，过 C作 CH⊥C1O 于点 H. ∵ 1 1 BD AC BD AA AC AA A 1 1 1 1 BD ACC A CH ACC A 平面 平面 1 1 = CH BD CH CO BD CO O CH⊥平面 C1BD， ∴∠HDC 为 CD 与平面 BDC1所成的角． 设 AA1＝2AB＝2，则 2= = 2 2 ACOC ， 2 2 2 2 1 1 2 9 3= 2 = = 2 2 22 CO OC CC . 由等面积法，得 C1O·CH＝OC·CC1，即 3 2 2 2 2 2 CH ＝ ， ∴ 2= 3 CH . ∴sin∠HDC＝ 2 23= = 1 3 HC DC .故选 A. 11． 答案：D 解析：由题意知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0)，则直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)，将其代入 y2＝8x，得 k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 2 2 4 2k k ，x1x2＝4.① 由 1 1 2 2 2 2 y k x y k x 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4 , [ 2 4]. y y k x x k y y k x x x x ① ② ∵ 0MA MB ， ∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0. ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0， 即 x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④ 由①②③④解得 k＝2.故选 D. 12． 答案：C 解析：由题意知 f(x)＝2cos2x·sin x＝2(1－sin2x)sin x. 令 t＝sin x，t∈[－1,1]， 则 g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3. 令 g′(t)＝2－6t2 ＝0，得 3= 3 t . 当 t＝±1 时，函数值为 0； 当 3 3 t 时，函数值为 4 3 9 ； 当 3 3 t 时，函数值为 4 3 9 . ∴g(t)max＝ 4 3 9 ， 即 f(x)的最大值为 4 3 9 .故选 C. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分． 13．答案： 2 2 解析：由题意知 cos α＝ 2 1 2 21 sin 1 9 3 . 故 cot α＝ cos =2 2 sin . 14．答案：480 解析：先排除甲、乙外的 4 人，方法有 4 4A 种，再将甲、乙插入这 4 人形成的 5个间隔中， 有 2 5A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有 4 2 4 5A A 480 (种)． 15．答案： 1 ,4 2 解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． ∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知 1 2BCk ， kAC＝4， ∴要使直线 y＝a(x＋1)与平面区域 D 有公共点， 则 1 2 ≤a≤4. 16．答案：16π 解析：如下图，设 MN 为两圆的公共弦，E为 MN 的中点， 则 OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°. 又 MN＝R，∴△OMN 为正三角形．∴OE＝ 3 2 R . 又 OK⊥EK，∴ 3 2 ＝OE·sin 60°＝ 3 3 2 2 R . ∴R＝2. ∴S＝4πR2 ＝16π. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：设{an}的公差为 d. 由 S3＝ 2 2a 得 3a2＝ 2 2a ，故 a2＝0或 a2＝3. 由 S1，S2，S4成等比数列得 2 2S ＝S1S4. 又 S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d， 故(2a2－d)2 ＝(a2－d)(4a2＋2d)． 若 a2＝0，则 d2 ＝－2d2 ，所以 d＝0，此时 Sn＝0，不合题意； 若 a2＝3，则(6－d)2 ＝(3－d)(12＋2d)，解得 d＝0 或 d＝2. 因此{an}的通项公式为 an＝3 或 an＝2n－1. 18． 解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以 a2＋c2－b2＝－ac. 由余弦定理得 cos B＝ 2 2 2 1 2 2 a c b ac ， 因此 B＝120°. (2)由(1)知 A＋C＝60°， 所以 cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A ＋C)＋2sin Asin C＝ 1 3 1 3+2 2 4 2 ， 故 A－C＝30°或 A－C＝－30°， 因此 C＝15°或 C＝45°. 19． (1)证明：取 BC 的中点 E，连结 DE，则 ABED 为正方形． 过 P 作 PO⊥平面 ABCD，垂足为 O. 连结 OA，OB，OD，OE. 由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知 PA＝PB＝PD， 所以 OA＝OB＝OD，即点 O为正方形 ABED 对角线的交点， 故 OE⊥BD，从而 PB⊥OE. 因为 O是 BD 的中点，E 是 BC 的中点， 所以 OE∥CD.因此 PB⊥CD. (2)解法一：由(1)知 CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P， 故 CD⊥平面 PBD. 又 PD平面 PBD，所以 CD⊥PD. 取 PD 的中点 F，PC 的中点 G，连结 FG， 则 FG∥CD，FG⊥PD. 连结 AF，由△APD 为等边三角形可得 AF⊥PD. 所以∠AFG 为二面角 A－PD－C的平面角． 连结 AG，EG，则 EG∥PB. 又 PB⊥AE，所以 EG⊥AE. 设 AB＝2，则 AE＝ 2 2 ，EG＝ 1 2 PB＝1， 故 AG＝ 2 2AE EG ＝3. 在△AFG 中，FG＝ 1 2 2 CD ， 3AF ，AG＝3， 所以 cos∠AFG＝ 2 2 2 6 2 3 FG AF AG FG AF . 因此二面角 A－PD－C 的大小为 6π arccos 3 . 解法二：由(1)知，OE，OB，OP 两两垂直． 以 O 为坐标原点，OE 的方向为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 O－xyz. 设| AB |＝2，则 A( 2 ，0,0)，D(0， 2 ，0)，C( 2 2 ， 2 ，0)，P(0,0， 2 )． PC ＝( 2 2 ， 2 ， 2 )， PD ＝(0， 2 ， 2 )． AP ＝( 2 ，0， 2 )， AD ＝( 2 ， 2 ，0)． 设平面 PCD 的法向量为 n1＝(x，y，z)，则 n1· PC ＝(x，y，z)·( 2 2 ， 2 ， 2 )＝0， n1·PD ＝(x，y，z)·(0， 2 ， 2 )＝0， 可得 2x－y－z＝0，y＋z＝0. 取 y＝－1，得 x＝0，z＝1，故 n1＝(0，－1,1)． 设平面 PAD 的法向量为 n2＝(m，p，q)，则 n2· AP ＝(m，p，q)·( 2 ，0， 2 )＝0，n2· AD ＝(m，p，q)·( 2 ， 2 ，0)＝0，可得 m＋q＝0，m－p＝0. 取 m＝1，得 p＝1，q＝－1，故 n2＝(1,1，－1)． 于是 cos〈n1，n2〉＝ 1 2 1 2 6 | || | 3 ·n n n n . 由于〈n1，n2〉等于二面角 A－PD－C的平面角，所以二面角 A－PD－C的大小为 6π arccos 3 . 20． 解：(1)记 A1表示事件“第 2 局结果为甲胜”， A2表示事件“第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第 4 局甲当裁判”． 则 A＝A1·A2. P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝ 1 4 . (2)X 的可能取值为 0,1,2. 记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”， B2表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第 3局乙参加比赛时， 结果为乙负”． 则 P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝ 1 8 ，P(X＝2)＝P( 1B ·B3)＝P( 1B )P(B3)＝ 1 4 ，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝ 1 1 51 8 4 8 ，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋ 2·P(X＝2)＝ 9 8 . 21． (1)解：由题设知 c a ＝3，即 2 2 2 a b a ＝9，故 b2 ＝8a2 . 所以 C的方程为 8x2－y2＝8a2. 将 y＝2 代入上式，求得 2 1 2 x a . 由题设知， 2 12 6 2 a ，解得 a2 ＝1. 所以 a＝1，b＝ 2 2 . (2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C 的方程为 8x2 －y2 ＝8.① 由题意可设 l 的方程为 y＝k(x－3)， <2 2k ，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8 ＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝ 2 2 6 8 k k ，x1·x2＝ 2 2 9 8 8 k k . 于是|AF1|＝ 2 2 1 13x y ＝ 2 2 1 13 8 8x x ＝－(3x1＋1)， |BF1|＝ 2 2 2 23x y ＝ 2 2 2 23 8 8x x ＝3x2＋1. 由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即 x1＋x2＝ 2 3 . 故 2 2 6 2 8 3 k k ，解得 k2＝ 4 5 ，从而 x1·x2＝ 19 9 . 由于|AF2|＝ 2 2 1 13x y ＝ 2 2 1 13 8 8x x ＝1－3x1， |BF2|＝ 2 2 2 23x y ＝ 2 2 2 23 8 8x x ＝3x2－1， 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列． 22． (1)解：由已知 f(0)＝0，f′(x)＝ 2 2 1 2 1 x x x ，f′(0)＝0. 若 1 2 ，则当 0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以 f(x)＞0. 若 1 2 ，则当 x＞0 时，f′(x)＜0，所以当 x＞0 时，f(x)＜0. 综上，λ的最小值是 1 2 . (2)证明：令 1 2 .由(1)知，当 x＞0 时，f(x)＜0， 即 2 ln(1 ) 2 2 x x x x ． 取 1x k ，则 2 1 1>ln 2 1 k k k k k . 于是 2 1 2 1 1 1 4 2 2( 1) n n n k n a a n k k ＝ 2 1 2 12 1 1ln 2 1 n n k n k n k k k k k ＝ln 2n－ln n＝ln 2. 所以 2 1 ln 2 4n na a n . 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 I) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．(2013 课标全国Ⅰ，理 1)已知集合 A＝{x|x2 －2x＞0}，B＝{x|－ 5 ＜x＜ 5 }，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B A D．A B 2．(2013 课标全国Ⅰ，理 2)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 C．4 D． 4 5 3．(2013 课标全国Ⅰ，理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生 中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况 有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统 抽样 4．(2013 课标全国Ⅰ，理 4)已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1x y a b (a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ， 则 C 的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x B．y＝ 1 3 x C．y＝ 1 2 x D．y＝±x 5．(2013 课标全国Ⅰ，理 5)执行下面的程序框图，如果输入的 t∈[－1,3]，则输出 的 s 属于( )． A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5] 6．(2013 课标全国Ⅰ，理 6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如 果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A． 500π 3 cm3 B． 866π 3 cm3 C． 1372π 3 cm3 D． 2048π 3 cm3 7．(2013 课标全国Ⅰ，理 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 则 m＝( )． A．3 B．4 C．5 D．6 8．(2013 课标全国Ⅰ，理 8)某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为( )． A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 9．(2013 课标全国Ⅰ，理 9)设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝( )． A．5 B．6 C．7 D．8 10．(2013 课标全国Ⅰ，理 10)已知椭圆 E： 2 2 2 2 =1x y a b (a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过 点 F 的直线交 E于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E的方程为( )． A． 2 2 =1 45 36 x y B． 2 2 =1 36 27 x y C． 2 2 =1 27 18 x y D． 2 2 =1 18 9 x y 11．(2013 课标全国Ⅰ，理 11)已知函数 f(x)＝ 2 2 0 ln( 1) 0. x x x x x ， ， ， 若|f(x)|≥ax，则 a 的 取值范围是( )． A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 12．(2013 课标全国Ⅰ，理 12)设△AnBnCn的三边长分别为 an，bn，cn，△AnBnCn的面积为 Sn， n＝1,2,3，….若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ 2 n nc a ，cn＋1＝ 2 n nb a ，则( )． A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为 递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分． 13．(2013 课标全国Ⅰ，理 13)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)b. 若 b·c＝0，则 t＝__________. 14．(2013 课标全国Ⅰ，理 14)若数列{an}的前 n 项和 2 1 3 3n nS a ，则{an}的通项公 式是 an＝_______. 15．(2013 课标全国Ⅰ，理 15)设当 x＝θ时，函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值， 则 cos θ＝__________. 16．(2013 课标全国Ⅰ，理 16)若函数 f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线 x＝ －2 对称，则 f(x)的最大值为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(2013 课标全国Ⅰ，理 17)(本小题满分 12 分)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3 ， BC＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°. (1)若 PB＝ 1 2 ，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA. 18．(2013 课标全国Ⅰ，理 18)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1中，CA＝CB， AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB＝CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值． 19．(2013 课标全国Ⅰ，理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是： 先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n＝3，再从这批 产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n＝4，再从这批产品 中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过 检验． 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 1 2 ，且各件产品是 否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量 检验所需的费用记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望． 20．(2013 课标全国Ⅰ，理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2 ＋y2 ＝9，动圆 P与圆 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B两点，当圆 P 的半径最长时， 求|AB|. 21．(2013 课标全国Ⅰ，理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝x2 ＋ax＋b，g(x)＝e x (cx＋ d)．若曲线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P处有相同的切线 y＝4x＋2. (1)求 a，b，c，d 的值； (2)若 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)，求 k 的取值范围． 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做， 则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013 课标全国Ⅰ，理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为 1，BC＝ 3 ，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径． 23．(2013 课标全国Ⅰ，理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为 4 5cos , 5 5sin x t y t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1与 C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 24．(2013 课标全国Ⅰ，理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲：已知函数 f(x) ＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集； (2)设 a＞－1，且当 x∈ 1, 2 2 a 时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围． 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1． 答案：B 解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或 x＞2. ∴集合 A 与 B 可用图象表示为： 由图象可以看出 A∪B＝R，故选 B. 2． 答案：D 解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|， ∴ 5 5(3 4i) 3 4 i 3 4i (3 4i)(3 4i) 5 5 z . 故 z 的虚部为 4 5 ，选 D. 3． 答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4． 答案：C 解析：∵ 5 2 ce a ，∴ 2 2 2 2 2 2 5 4 c a be a a . ∴a2 ＝4b2 ， 1= 2 b a . ∴渐近线方程为 1 2 by x x a . 5． 答案：A 解析：若 t∈[－1,1)，则执行 s＝3t，故 s∈[－3,3)． 若 t∈[1,3]，则执行 s＝4t－t2 ，其对称轴为 t＝2. 故当 t＝2 时，s取得最大值 4.当 t＝1或 3时，s 取得最小值 3，则 s∈[3,4]． 综上可知，输出的 s∈[－3,4]．故选 A. 6． 答案：A 解析：设球半径为 R，由题可知 R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为 直角三角形，如图． BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R， 由 R2＝(R－2)2＋42，得 R＝5， 所以球的体积为 34 500π5 π 3 3 (cm 3 )，故选 A. 7． 答案：C 解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， ∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3. ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1. ∵Sm＝ma1＋ 1 2 m m ×1＝0，∴ 1 1 2 ma . 又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴ 1 3 2 m m . ∴m＝5.故选 C. 8． 答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径 r＝ 2，长为 4，在长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为πr2×4× 1 2 ＋4×2×2 ＝8π＋16.故选 A. 9． 答案：B 解析：由题意可知，a＝ 2Cm m，b＝ 2 1Cm m ， 又∵13a＝7b，∴ 2 ! 2 1 !13 =7 ! ! ! 1 ! m m m m m m ， 即 13 2 1 7 1 m m .解得 m＝6.故选 B. 10． 答案：D 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B 在椭圆上， ∴ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 1, x y a b x y a b ① ② ①－②，得 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 =0x x x x y y y y a b ， 即 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 = y y y yb a x x x x ， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2， 而 1 2 1 2 y y x x ＝kAB＝ 0 1 1= 3 1 2 ，∴ 2 2 1= 2 b a . 又∵a2 －b2 ＝9，∴a2 ＝18，b2 ＝9. ∴椭圆 E 的方程为 2 2 =1 18 9 x y .故选 D. 11． 答案：D 解析：由 y＝|f(x)|的图象知： ①当 x＞0 时，y＝ax 只有 a≤0 时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除 B，C. ②当 x≤0 时，y＝|f(x)|＝|－x2 ＋2x|＝x2 －2x. 故由|f(x)|≥ax 得 x2 －2x≥ax. 当 x＝0 时，不等式为 0≥0 成立． 当 x＜0 时，不等式等价于 x－2≤a. ∵x－2＜－2，∴a≥－2. 综上可知：a∈[－2,0]． 12． 答案：B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．答案：2 解析：∵c＝ta＋(1－t)b， ∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2. 又∵|a|＝|b|＝1，且 a 与 b 夹角为 60°，b⊥c， ∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)， 0＝ 1 2 t＋1－t. ∴t＝2. 14．答案：(－2) n－1 解析：∵ 2 1 3 3n nS a ，① ∴当 n≥2 时， 1 1 2 1 3 3n nS a .② ①－②，得 1 2 2 3 3n n na a a ， 即 1 n n a a ＝－2. ∵a1＝S1＝ 1 2 1 3 3 a ， ∴a1＝1. ∴{an}是以 1 为首项，－2 为公比的等比数列，an＝(－2) n－1 . 15．答案： 2 5 5 解析：f(x)＝sin x－2cos x ＝ 1 25 sin cos 5 5 x x ， 令 cos α＝ 1 5 ，sin α＝ 2 5 ， 则 f(x)＝ 5 sin(α＋x)， 当 x＝2kπ＋ π 2 －α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值 1，f(x)有最大值 5 ， 即θ＝2kπ＋ π 2 －α(k∈Z)， 所以 cos θ＝ πcos 2 π+ 2 k ＝ πcos 2 ＝sin α＝ 2 2 5 55 . 16．答案：16 解析：∵函数 f(x)的图像关于直线 x＝－2对称， ∴f(x)满足 f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)， 即 15 16 4 , 0 8 9 3 , b a b a b 解得 8, 15. a b ∴f(x)＝－x4 －8x3 －14x2 ＋8x＋15. 由 f′(x)＝－4x3 －24x2 －28x＋8＝0， 得 x1＝－2－ 5 ，x2＝－2，x3＝－2＋ 5 . 易知，f(x)在(－∞，－2－ 5 )上为增函数，在(－2－ 5 ，－2)上为减函数，在(－2，－ 2＋ 5 )上为增函数，在(－2＋ 5 ，＋∞)上为减函数． ∴f(－2－ 5 )＝[1－(－2－ 5 ) 2 ][(－2－ 5 ) 2 ＋8(－2－ 5 )＋15] ＝(－8－ 4 5 )(8－ 4 5 ) ＝80－64＝16. f(－2)＝[1－(－2) 2 ][(－2) 2 ＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9. f(－2＋ 5 )＝[1－(－2＋ 5 )2][(－2＋ 5 )2＋8(－2＋ 5 )＋15] ＝(－8＋ 4 5 )(8＋ 4 5 ) ＝80－64＝16. 故 f(x)的最大值为 16. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得 PA2 ＝ 1 1 73 2 3 cos 30 4 2 4 . 故 PA＝ 7 2 . (2)设∠PBA＝α，由已知得 PB＝sin α. 在△PBA 中，由正弦定理得 3 sin sin150 sin(30 ) ， 化简得 3 cos α＝4sin α. 所以 tan α＝ 3 4 ，即 tan∠PBA＝ 3 4 . 18． (1)证明：取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B. 因为 CA＝CB，所以 OC⊥AB. 由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B 为等边三角形， 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C平面 OA1C，故 AB⊥A1C. (2)解：由(1)知 OC⊥AB，OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B，交线为 AB， 所以 OC⊥平面 AA1B1B， 故 OA，OA1，OC 两两相互垂直． 以 O 为坐标原点，OA 的方向为 x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系 O－xyz. 由题设知 A(1,0,0)，A1(0， 3 ，0)，C(0,0， 3 )，B(－1,0,0)． 则 BC ＝(1,0， 3 )， 1BB ＝ 1AA ＝(－1， 3 ，0)， 1AC ＝(0， 3 ， 3 )． 设 n＝(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量， 则 1 0, 0, BC BB n n 即 3 0, 3 0. x z x y 可取 n＝( 3 ，1，－1)． 故 cos〈n， 1AC 〉＝ 1 1 AC AC n n ＝ 10 5 . 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 . 19． 解：(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是 优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优 质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A＝(A1B1)∪(A2B2)，且 A1B1与 A2B2互 斥，所以 P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝ 4 1 1 1 3 16 16 16 2 64 . (2)X 可能的取值为 400,500,800，并且 P(X＝400)＝ 4 1 111 16 16 16 ，P(X＝500)＝ 1 16 ，P(X＝800)＝ 1 4 . 所以 X的分布列为 X 400 500 800 P 11 16 1 16 1 4 EX＝ 11 1 1400 +500 +800 16 16 4 ＝506.25. 20． 解：由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3. 设圆 P的圆心为 P(x，y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆 (左顶点除外)，其方程为 2 2 =1 4 3 x y (x≠－2)． (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2， 所以 R≤2，当且仅当圆 P的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆 P的半径最长时，其方程为(x－2) 2 ＋y2 ＝4. 若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝ 2 3 . 若 l的倾斜角不为90°，由r1≠R知 l不平行于x轴，设l与 x轴的交点为Q，则 1 | | | | QP R QM r ， 可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：y＝k(x＋4)． 由 l 与圆 M相切得 2 | 3 | =1 1 k k ， 解得 k＝ 2 4 . 当 k＝ 2 4 时，将 2 2 4 y x 代入 2 2 =1 4 3 x y ， 并整理得 7x2 ＋8x－8＝0， 解得 x1,2＝ 4 6 2 7 . 所以|AB|＝ 2 2 1 181 | | 7 k x x . 当 2 4 k 时，由图形的对称性可知|AB|＝ 18 7 . 综上，|AB|＝ 2 3 或|AB|＝ 18 7 . 21． 解：(1)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4. 而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x (cx＋d＋c)， 故 b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (2)由(1)知，f(x)＝x2 ＋4x＋2，g(x)＝2e x (x＋1)． 设函数 F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2， 则 F′(x)＝2kex (x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex －1)． 由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1. 令 F′(x)＝0 得 x1＝－ln k，x2＝－2. ①若 1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当 x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当 x∈(x1，＋∞)时，F′(x) ＞0.即 F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故 F(x)在[－2，＋∞)的最小值 为 F(x1)． 而 F(x1)＝2x1＋2－ 2 1x －4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0. 故当 x≥－2 时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立． ②若 k＝e 2 ，则 F′(x)＝2e 2 (x＋2)(e x －e －2 )． 从而当 x＞－2 时，F′(x)＞0，即 F(x)在(－2，＋∞)单调递增． 而 F(－2)＝0，故当 x≥－2 时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立． ③若 k＞e 2 ，则 F(－2)＝－2ke－2 ＋2＝－2e －2 (k－e 2 )＜0. 从而当 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2 ]． 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做， 则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22． (1)证明：连结 DE，交 BC 于点 G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又因为 DB⊥BE， 所以 DE 为直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得 DB＝DC. (2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG＝ 3 2 . 设 DE 的中点为 O，连结 BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以 CF⊥BF，故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 3 2 . 23． 解：(1)将 4 5cos , 5 5sin x t y t 消去参数 t，化为普通方程(x－4) 2 ＋(y－5) 2 ＝25， 即 C1：x2 ＋y2 －8x－10y＋16＝0. 将 cos , sin x y 代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得 ρ2 －8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以 C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为 x2 ＋y2 －2y＝0. 由 2 2 2 2 8 10 16 0, 2 0 x y x y x y y 解得 1, 1 x y 或 0, 2. x y 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 π2, 4 ， π2, 2 . 24． 解：(1)当 a＝－2 时，不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， 则 y＝ 15 , , 2 12, 1, 2 3 6, 1. x x x x x x 其图像如图所示．从图像可知，当且仅当 x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}． (2)当 x∈ 1, 2 2 a 时，f(x)＝1＋a. 不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋a≤x＋3. 所以 x≥a－2 对 x∈ 1, 2 2 a 都成立． 故 2 a ≥a－2，即 4 3 a . 从而 a的取值范围是 41, 3 . 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．(2013 课标全国Ⅱ，理 1)已知集合 M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则 M∩N＝( )． A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3} 2．(2013 课标全国Ⅱ，理 2)设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝( )． A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i 3．(2013 课标全国Ⅱ，理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1 ＝( )． A． 1 3 B． 1 3 C． 1 9 D． 1 9 4．(2013 课标全国Ⅱ，理 4)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线 l 满足 l ⊥m，l⊥n，l α，l β，则( )． A．α∥β且 l∥α B．α⊥β且 l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 l D．α与β相交，且交线平行于 l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中x2 的系数为5，则a＝( )． A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 6．(2013 课标全国Ⅱ，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的 N＝10，那么输出的 S ＝( )． A． 1 1 11+ 2 3 10 B． 1 1 11+ 2! 3! 10! C． 1 1 11+ 2 3 11 D． 1 1 11+ 2! 3! 11! 7．(2013 课标全国Ⅱ，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投 影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013 课标全国Ⅱ，理 8)设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )． A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 9．(2013 课标全国Ⅱ，理 9)已知 a＞0，x，y 满足约束条件 1, 3, 3 . x x y y a x 若 z＝2x＋y 的最 小值为 1，则 a＝( )． A． 1 4 B． 1 2 C．1 D．2 10．(2013 课标全国Ⅱ，理 10)已知函数 f(x)＝x3 ＋ax2 ＋bx＋c，下列结论中错误的是( )． A． x0∈R，f(x0)＝0 B．函数 y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0 11．(2013 课标全国Ⅱ，理 11)设抛物线 C：y2 ＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF| ＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )． A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x 12．(2013 课标全国Ⅱ，理 12)已知点 A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 y＝ax＋b(a＞0) 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )． A．(0,1) B． 2 11 , 2 2 C． 2 11 , 2 3 D． 1 1, 3 2 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。 第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分． 13．(2013 课标全国Ⅱ，理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD ＝__________. 14．(2013 课标全国Ⅱ，理 14)从 n 个正整数 1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若 取出的两数之和等于 5 的概率为 1 14 ，则 n＝__________. 15．(2013 课标全国Ⅱ，理 15)设θ为第二象限角，若 π 1tan 4 2 ，则 sin θ＋cos θ＝__________. 16．(2013 课标全国Ⅱ，理 16)等差数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 S10＝0，S15＝25，则 nSn的最小值为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(2013 课标全国Ⅱ，理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，已知 a＝bcos C＋csin B. (1)求 B； (2)若 b＝2，求△ABC 面积的最大值． 18．(2013 课标全国Ⅱ，理 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1中，D，E 分 别是 AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝ 2 2 AB . (1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)求二面角 D－A1C－E 的正弦值． 19．(2013 课标全国Ⅱ，理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度 内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料， 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品．以 X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位： 元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X∈[100,110)，则取 X＝105， 且 X＝105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率)， 求 T 的数学期望． 20．(2013 课标全国Ⅱ，理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： 2 2 2 2 =1x y a b (a＞b＞0)右焦点的直线 3 0x y 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 1 2 . (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD 面积的最大值． 21．(2013 课标全国Ⅱ，理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝e x －ln(x＋m)． (1)设 x＝0是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2时，证明 f(x)＞0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时 请写清题号． 22．(2013 课标全国Ⅱ，理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； (2)若 DB＝BE＝EA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 23．(2013 课标全国Ⅱ，理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 已知动点 P，Q都在曲线 C： 2cos , 2sin x t y t (t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α与 t＝2α(0 ＜α＜2π)，M为 PQ 的中点． (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点． 24．(2013 课标全国Ⅱ，理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 设 a，b，c均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤ 1 3 ； (2) 2 2 2 1a b c b c a . 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1． 答案：A 解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即 M＝{x|－1＜x＜3}．而 N＝{－1,0,1,2,3}， 所以 M∩N＝{0,1,2}，故选 A. 2． 答案：A 解析： 2i 2i 1 i= 1 i 1 i 1 i z ＝ 2 2i 2 ＝－1＋i. 3． 答案：C 解析：设数列{an}的公比为 q，若 q＝1，则由 a5＝9，得 a1＝9，此时 S3＝27，而 a2＋10a1＝ 99，不满足题意，因此 q≠1. ∵q≠1时，S3＝ 3 1(1 ) 1 a q q ＝a1·q＋10a1， ∴ 31 1 q q ＝q＋10，整理得 q2 ＝9. ∵a5＝a1·q4 ＝9，即 81a1＝9，∴a1＝ 1 9 . 4． 答案：D 解析：因为 m⊥α，l⊥m，l α，所以 l∥α.同理可得 l∥β. 又因为 m，n 为异面直线，所以α与β相交，且 l 平行于它们的交线．故选 D. 5． 答案：D 解析：因为(1＋x)5 的二项展开式的通项为 5Cr rx (0≤r≤5，r∈Z)，则含 x2 的项为 2 2 5C x ＋ ax· 1 5C x＝(10＋5a)x2 ，所以 10＋5a＝5，a＝－1. 6． 答案：B 解析：由程序框图知，当 k＝1，S＝0，T＝1 时，T＝1，S＝1； 当 k＝2 时， 1 2 T ， 1=1+ 2 S ； 当 k＝3 时， 1 2 3 T ， 1 11+ 2 2 3 S ； 当 k＝4 时， 1 2 3 4 T ， 1 1 11+ 2 2 3 2 3 4 S ；…； 当 k＝10 时， 1 2 3 4 10 T ， 1 1 11+ 2! 3! 10! S ，k 增加 1 变为 11，满足 k ＞N，输出 S，所以 B正确． 7． 答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O－xyz 的图像为下图： 则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 ，故选 A. 8． 答案：D 解析：根据公式变形， lg 6 lg 21 lg3 lg3 a ， lg10 lg 21 lg5 lg5 b ， lg14 lg 21 lg 7 lg 7 c ，因 为 lg 7＞lg 5＞lg 3，所以 lg 2 lg 2 lg 2 lg 7 lg5 lg3 ，即 c＜b＜a.故选 D. 9． 答案：B 解析：由题意作出 1, 3 x x y 所表示的区域如图阴影部分所示， 作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1 －1)，结合题意知直线 y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得 1 2 a ， 所以 1 2 a . 10． 答案：C 解析：∵x0是 f(x)的极小值点，则 y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在 (－∞，x0)上不单调，故 C 不正确． 11． 答案：C 解析：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋ 2 p ＝5， 则 x0＝5－ 2 p . 又点 F的坐标为 ,0 2 p ，所以以 MF 为直径的圆的方程为(x－x0) 2 px ＋(y－y0)y＝0. 将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即 2 0 2 y －4y0＋8＝0，所以 y0＝4. 由 2 0y ＝2px0，得16 2 5 2 pp ，解之得 p＝2，或 p＝8. 所以 C的方程为 y2 ＝4x 或 y2 ＝16x.故选 C. 12． 答案：B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。 第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分． 13．答案：2 解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2) 点 E 的坐标为(1,2)，则 AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以 2AE BD . 14．答案：8 解析：从 1,2，…，n 中任取两个不同的数共有 2Cn 种取法，两数之和为 5 的有(1,4)，(2,3)2 种，所以 2 2 1 C 14n ，即 2 4 1 1 1 14 2 n n n n ，解 得 n＝8. 15．答案： 10 5 解析：由 π 1 tan 1tan 4 1 tan 2 ，得 tan θ＝ 1 3 ，即 sin θ＝ 1 3 cos θ. 将其代入 sin 2θ＋cos 2θ＝1，得 210 cos 1 9 . 因为θ为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 10 ，sin θ＝ 10 10 ，sin θ＋cos θ＝ 10 5 . 16．答案：－49 解析：设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则 S10＝ 1 10 910 2 a d ＋ ＝10a1＋45d＝0，① S15＝ 1 15 1415 2 a d ＝15a1＋105d＝25.② 联立①②，得 a1＝－3， 2 3 d ， 所以 Sn＝ 2( 1) 2 1 103 2 3 3 3 n nn n n . 令 f(n)＝nSn，则 3 21 10( ) 3 3 f n n n ， 2 20'( ) 3 f n n n . 令 f′(n)＝0，得 n＝0 或 20 3 n . 当 20 3 n 时，f′(n)＞0, 200< < 3 n 时，f′(n)＜0，所以当 20 3 n 时，f(n)取最小值，而 n∈N＋，则 f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当 n＝7 时，f(n)取最小值－49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又 A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和 C∈(0，π)得 sin B＝cos B， 又 B∈(0，π)，所以 π 4 B . (2)△ABC 的面积 1 2sin 2 4 S ac B ac . 由已知及余弦定理得 4＝a2＋c2－ π2 cos 4 ac . 又 a2 ＋c2 ≥2ac，故 4 2 2 ac ，当且仅当 a＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 18． 解：(1)连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点． 又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD，BC1 平面 A1CD， 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC＝CB＝ 2 2 AB得，AC⊥BC. 以 C 为坐标原点，CA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz. 设 CA＝2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)， 1CA ＝(2,0,2)． 设 n＝(x1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量， 则 1 0, 0, CD CA n n 即 1 1 1 1 0, 2 2 0. x y x z 可取 n＝(1，－1，－1)． 同理，设 m是平面 A1CE 的法向量， 则 1 0, 0, CE CA m m 可取 m＝(2,1，－2)． 从而 cos〈n，m〉＝ 3 | || | 3 ·n m n m ， 故 sin〈n，m〉＝ 6 3 . 即二面角 D－A1C－E 的正弦值为 6 3 . 19． 解：(1)当 X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000， 当 X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000. 所以 800 39000,100 130, 65000,130 150. X X T X (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 20． 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则 2 2 1 1 2 2 =1x y a b ， 2 2 2 2 2 2 =1x y a b ， 2 1 2 1 = 1y y x x ， 由此可得 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 =1b x x y y a y y x x . 因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 0 0 1 2 y x ， 所以 a2 ＝2b2 . 又由题意知，M的右焦点为( 3 ，0)，故 a2 －b2 ＝3. 因此 a2 ＝6，b2 ＝3. 所以 M的方程为 2 2 =1 6 3 x y . (2)由 2 2 3 0, 1, 6 3 x y x y 解得 4 3 , 3 3 , 3 x y 或 0, 3. x y 因此|AB|＝ 4 6 3 . 由题意可设直线 CD 的方程为 y＝ 5 3 3 3 x n n ， 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由 2 2 , 1 6 3 y x n x y 得 3x2 ＋4nx＋2n2 －6＝0. 于是 x3,4＝ 22 2 9 3 n n . 因为直线 CD 的斜率为 1， 所以|CD|＝ 2 4 3 42 | | 9 3 x x n . 由已知，四边形 ACBD 的面积 21 8 6| | | | 9 2 9 S CD AB n . 当 n＝0 时，S 取得最大值，最大值为 8 6 3 . 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 8 6 3 . 21． 解：(1)f′(x)＝ 1ex x m . 由 x＝0 是 f(x)的极值点得 f′(0)＝0，所以 m＝1. 于是 f(x)＝e x －ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ 1e 1 x x . 函数 f′(x)＝ 1e 1 x x 在(－1，＋∞)单调递增，且 f′(0)＝0. 因此当 x∈(－1,0)时，f′(x)＜0； 当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以 f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． (2)当 m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当 m＝2时，f(x)＞0. 当 m＝2 时，函数 f′(x)＝ 1e 2 x x 在(－2，＋∞)单调递增． 又 f′(－1)＜0，f′(0)＞0， 故 f′(x)＝0 在(－2，＋∞)有唯一实根 x0，且 x0∈(－1,0)． 当 x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0； 当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当 x＝x0时，f(x)取得最小值． 由 f′(x0)＝0 得 0ex ＝ 0 1 2x ，ln(x0＋2)＝－x0， 故 f(x)≥f(x0)＝ 0 1 2x ＋x0＝ 2 0 0 1 2 x x ＞0. 综上，当 m≤2 时，f(x)＞0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时 请写清题号． 22． 解：(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A，由题设知 BC DC FA EA ， 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为 B，E，F，C 四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°，因此 CA 是△ABC 外接圆的直径． (2)连结 CE，因为∠CBE＝90°，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE，由 DB＝BE，有 CE＝DC，又 BC2 ＝DB·BA＝2DB2 ，所以 CA2 ＝4DB2 ＋BC2 ＝6DB2 . 而 DC2＝DB·DA＝3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 1 2 . 23． 解：(1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的轨迹的参数方程为 cos cos 2 , sin sin 2 x y (α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离 2 2 2 2cosd x y (0＜α＜2π)． 当α＝π时，d＝0，故 M的轨迹过坐标原点． 24． 解：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2 ＋b2 ＋c2 ≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2 ＝1，即 a2 ＋b2 ＋c2 ＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤ 1 3 . (2)因为 2 2a b a b ， 2 2b c b c ， 2 2c a c a ， 故 2 2 2 ( )a b c a b c b c a ≥2(a＋b＋c)， 即 2 2 2a b c b c a ≥a＋b＋c. 所以 2 2 2a b c b c a ≥1. 参考公式： 如果事件 A、B互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24S R 如果事件 A、B相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么 33 4 V R n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k次的概率 其中 R表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0,1, 2, )k k n k n nP k C p p k n … 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 1 3 1 i i = A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合 A＝{1.3. m }，B＝{1，m} ,A B＝A, 则 m= A 0 或 3 B 0 或 3 C 1 或 3 D 1 或 3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16 x + 2 12 y =1 B 2 12 x + 2 8 y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 2 12 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= 2 2 E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5=5，S5=15，则数列 的前 100 项和 为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99 100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为 CD，若 a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ= 3 3 ，则 cos2α= (A) 5- 3 （B） 5- 9 (C) 5 9 (D) 5 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C：x²-y²=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos∠F1PF2= (A) 1 4 （B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知 x=lnπ，y=log52， 1 2z=e ，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数 y＝x²-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c＝ （A）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不 相同，则不同的排列方法共有 （A）12 种（B）18 种（C）24 种（D）36 种 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE＝BF＝ 7 3 。 动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反 射等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x，y 满足约束条件 则 z=3x-y 的最小值为_________。 （14）当函数 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数 为_________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求 c。 （18）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底 面 ABCD，AC=2 2 ，PA=2，E 是 PC 上的一点，PE=2EC. （Ⅰ）证明：PC⊥平面 BED； （Ⅱ）设二面角 A-PB-C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成 角的大小。 19. （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再 连续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中， 每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局 比赛中，甲先发球。 （Ⅰ）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率； （Ⅱ） 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 的期望。 （20）设函数 f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。 （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 f（x）≤1+sinx，求 a 的取值范围。 21.（本小题满分 12 分）（注意：在试卷上作答无效） 已知抛物线 C：y=(x+1)2 与圆 M：（x-1）2+( 1 2 y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在 A 处 两曲线的切线为同一直线 l. （Ⅰ）求 r； （Ⅱ）设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m、n 的交点为 D，求 D 到 l 的距离。 22（本小题满分 12 分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 函数 f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1 是过两点 P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的 直线 PQn与 x 轴交点的横坐标。 （Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3； （Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。 2011 年高考数学(全国卷) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是满足题目要求的。 1.复数 1z i ， z为 z的共轭复数，则 1zz z (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数 2 0y x x 的反函数为 (A) 2 4 xy x R (B) 2 0 4 xy x (C) 24y x x R (D) 24 0y x x 3.下面四个条件中，使a b 成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b (B) 1a b (C) 2 2a b (D) 3 3a b 4.设 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 1 1a ，公差 22, 24k kd S S ，则 k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数 cos 0f x x ，将 y f x 的图像向右平移 3 个单位长度后，所得的 图像与原图像重合，则的最小值等于 (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角 l ，点 , ,A AC l C 为垂足， , ,B BD l D 为垂足，若 2, 1AB AC BD ，则 D到平面 ABC 的距离等于 (A) 2 2 (B) 3 3 (C) 6 3 (D) 1 7.某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 为朋友，每位 朋友 1 本，则不同的赠送方法共有 (A) 4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种 8.曲线 2 1xy e 在点 0,2 处的切线与直线 0y 和 y x 围成的三角形的面积为 (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 2 3 (D) 1 9.设 f x 是周期为 2的奇函数，当0 1x 时， 2 1f x x x ，则 5 2 f (A) 1 2 (B) 1 4 (C) 1 4 (D) 1 2 10.已知抛物线C： 2 4y x 的焦点为F，直线 2 4y x 与C交于A、B两点，则cos AFB (A) 4 5 (B) 3 5 (C) 3 5 (D) 4 5 11.已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M且与 成60二面角的平面 截该球面得圆 N， 脱该球面的半径为 4.圆 M 的面积为4 ，则圆 N的面积为 (A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13 12. 设向量 , ,a b c 满足 11, , , 60 2 a b a b a c b c ，则 c 的最大值对于 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的 位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 20 1 x 的二项展开式中， x的系数与 9x 的系数之差为 . 14. 已知 , 2 ， 5sin 5 ，则 tan 2 . 15. 已知 1 2F F、 分别为双曲线 2 2 : 1 9 27 x yC 的左、右焦点，点 A C ，点 M 的坐标为 2,0 ，AM 为 1 2F AF 的角平分线，则 2AF . 16. 已知点 E、F 分别在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱 1 1BB CC、 上，且 1 2B E EB , 12CF FC ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分） ABC 的内角 A、B、C的对边分别为 , ,a b c。已知 90 , 2A C a c b ，求 C 18.（本小题满分 12 分） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立。 （Ⅰ）求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； （Ⅱ）X 表示该地的 100 为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的期 望。 19.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S-ABCD 中， / / ,AB CD BC CD ,侧面 SAB 为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明： SD SAB平面 ; （Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。 20.（本小题满分 12 分） 设数列 na 满足 1 1 1 10, 1 1 1n n a a a （Ⅰ）求 na 的通项公式； （Ⅱ）设 11 n n a b n ，记 1 n n k k S b ，证明： 1nS 。 21.（本小题满分 12 分） 已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 2 2: 1 2 yC x 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率 为 2 的 直 线 l 与 C 交 于 A 、 B 两 点 ， 点 P 满 足 0.OA OB OP （Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、 Q 四点在同一个圆上。 22.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）设函数 2ln 1 2 xf x x x ，证明：当 0x 时， 0f x （Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式 连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明： 19 2 9 1 10 p e 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 一．选择题 (1)复数 3 2 2 3 i i (A)i (B) i (C)12-13 i (D) 12+13 i (2)记 cos( 80 ) k ,那么 tan100 A. 21 k k B. - 21 k k C. 21 k k D. - 21 k k (3)若变量 ,x y满足约束条件 1, 0, 2 0, y x y x y 则 2z x y 的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列{ na }， 1 2 3a a a =5， 7 8 9a a a =10，则 4 5 6a a a = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 (5) 3 53(1 2 ) (1 )x x 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设 A类选修课 3 门，B 类选择课 4门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 (7)正方体 ABCD- 1 1 1 1A BC D 中，B 1B与平面 AC 1D 所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 （8）设 a= 3log 2,b=In2,c= 1 25 ,则 A a查看更多