高考真题立体几何文科

高考真题立体几何文科

文科立体几何 ‎4、如图，矩形中，，，为上的点，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证；；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ ‎5、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分 别为、的中点．‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)求证：；‎ ‎（III）求三棱锥的体积．‎ ‎6、 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F．‎ ‎(I) 证明： PA∥平面EDB；‎ ‎(II) 证明：PB⊥平面EFD；‎ ‎(III) 求三棱锥的体积．‎ ‎7、 如图, 在三棱柱中，，‎ 平面，，,，‎ 点是的中点，‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求三棱锥的体积。‎ ‎8. 如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，为上的点，‎ 且BF⊥平面ACE．‎ ‎(1)求证：AE⊥BE；‎ ‎(2)求三棱锥D－AEC的体积；‎ ‎(3)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试 在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.‎ ‎9、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E，F分别在PD，BC上，且PE：ED=BF：FC。‎ ‎ （1）求证：PA⊥平面ABCD； （2）求证：EF//平面PAB。‎ ‎10、正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎（2）求凸多面体的体积． ‎ ‎11、如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求这个几何体的体积．‎ ‎12‎ ‎13、已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.‎ ‎(1)求证：BC⊥平面CDE；‎ ‎(2)求证：FG∥平面BCD；‎ ‎(3)求四棱锥D－ABCE的体积.‎ ‎17、如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.‎ ‎(1) 证明://平面;‎ ‎(2) 证明:平面;‎ ‎(3) 当时,求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ 8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.‎ ‎(1) 证明: BC1//平面A1CD;‎ ‎(2) 设AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.‎ ‎19、如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,.已知 .‎ ‎(Ⅰ)证明:‎ ‎(Ⅱ)若为的中点,求三菱锥的体积.‎ ‎19．G1、G4、G3[2014·安徽卷] 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ 图15‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎20．G1、G5[2014·重庆卷] 如图14所示四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，‎ 且BM＝.‎ ‎(1)证明：BC⊥平面POM；‎ ‎(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．‎ 图14‎ ‎17．G2、G8[2014·陕西卷] 四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.‎ 图14‎ ‎(1)求四面体ABCD的体积；‎ ‎(2)证明：四边形EFGH是矩形．‎ ‎17．G4 、G5[2014·北京卷] 如图15，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．‎ 图15‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎(3)求三棱锥E ABC的体积．‎ ‎16．G4、G5[2014·江苏卷] 如图14所示，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.‎ 求证：(1)直线PA∥平面DEF；‎ ‎(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ 图14‎ ‎18．G4、G11[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图13，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面AEC；‎ ‎(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．‎ ‎18．G5，G4[2014·山东卷] 如图14所示，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．‎ 图14‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：BE⊥平面PAC.‎ ‎18．G4、G5[2014·四川卷] 在如图14所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．‎ ‎(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.‎ ‎(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．‎ 图14‎ ‎19．G5，G7[2014·福建卷] 如图16所示，三棱锥A BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.‎ ‎(1)求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A MBC的体积．‎ ‎19．G5、G7[2014·辽宁卷] 如图14所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．‎ 图14‎ ‎(1)求证：EF⊥平面BCG；‎ ‎(2)求三棱锥D BCG的体积．‎ ‎19．G5 G11[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图14，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.‎ 图14‎ ‎(1)证明：B1C⊥AB；‎ ‎(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高．‎ ‎19．G5 G11[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图14，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.‎ 图14‎ ‎(1)证明：B1C⊥AB；‎ ‎(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高．‎ ‎18．G1，G4，G5[2015·北京卷] 如图15，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎(1)求证：VB∥平面MOC；‎ ‎(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；‎ ‎(3)求三棱锥VABC的体积．‎ ‎18．G1，G4，G5[2015·四川卷] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图12所示．‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎(3)证明：直线DF⊥平面BEG.‎ 图12‎ ‎18．G4，G5，G11[2015·广东卷] 如图13，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.‎ ‎(1)证明：BC∥平面PDA；‎ ‎(2)证明：BC⊥PD；‎ ‎(3)求点C到平面PDA的距离．‎ 图13‎ ‎16．G4、G5[2015·江苏卷] 如图12，在直三棱柱ABC A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 图12‎ ‎18．G5[2015·全国卷Ⅰ] 如图15，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC, 三棱锥E ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．‎ ‎18．G5[2015·陕西卷] 如图15(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1 BCDE.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1 BCDE的体积为36，求a的值．‎ ‎　　‎ 图15‎ ‎20．G5、G7[2015·重庆卷] 如图14，三棱锥P ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.‎ ‎(1)证明：AB⊥平面PFE；‎ ‎(2)若四棱锥P DFBC的体积为7，求线段BC的长．‎ 图14‎ ‎19．G12[2015·安徽卷] 如图15，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.‎ ‎(1)求三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．‎ 图15‎ ‎19．G1、G4[2016·全国卷Ⅲ] 如图15，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体N BCM的体积．‎ 图15‎ ‎18．G4，G5[2016·北京卷] 如图14，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎18．G4，G5[2016·山东卷] 在如图15所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.‎ ‎(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；‎ ‎(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.‎ 图15‎ ‎17．G7、G4、G5[2016·四川卷] 如图14，在四棱锥P ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.‎ 图14‎ ‎18．G5[2016·全国卷Ⅰ] 如图14，已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎(1)证明：G是AB的中点；‎ ‎(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．‎ 图14‎ ‎19．G5[2016·全国卷Ⅱ] 如图14，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．‎ ‎(1)证明：AC⊥HD′；‎ ‎(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．‎ 图14‎ ‎11.【2017课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎12.【2017课标II，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , ‎ ‎（1）证明：直线平面;‎ ‎（2）若△面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎13.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． ‎ ‎14.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面B1CD1;‎ ‎（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1. ‎ ‎ ‎ ‎15.【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.‎ ‎（I）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（II）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎16.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．‎ ‎ ‎