新课标备战高考数学理专题强化复习七章 不等式

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新课标备战高考数学理专题强化复习七章 不等式

第七章 不等式 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 ‎  1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.‎ ‎2.一元二次不等式 ‎(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;‎ ‎(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;‎ ‎(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.‎ ‎3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 ‎(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;‎ ‎(2)了解二元一次不等式组的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;‎ ‎(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.‎ ‎4.基本不等式:≥ (a,b≥0)‎ ‎(1)了解基本不等式的证明过程;‎ ‎(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 本章重点:1.用不等式的性质比较大小;2.简单不等式的解法;3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题;4.基本不等式的应用.‎ 本章难点:1.含有参数不等式的解法;2.不等式的应用;3.线性规划的应用.‎ ‎  不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合,将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查.‎ 线性规划是数学应用的重要内容,高考中除考查线性规划问题的求解与应用外,也考查线性规划方法的迁移.‎ 知识网络 ‎ 7.1 不等式的性质 典例精析 题型一 比较大小 ‎【例1】已知a>0,a≠1,P=loga(a3-a+1),Q=loga(a2-a+1),试比较P与Q的大小.‎ ‎【解析】因为a3-a+1-(a2-a+1)=a2(a-1),‎ 当a>1时,a3-a+1>a2-a+1,P>Q;‎ 当0<a<1时,a3-a+1<a2-a+1,P>Q;‎ 综上所述,a>0,a≠1时,P>Q.‎ ‎【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一,其解题步骤为:①作差;‎ ‎②变形;③判断符号;④得出结论.‎ ‎【变式训练1】已知m=a+(a>2),n=x-2(x≥),则m,n之间的大小关系为(  )‎ A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n ‎【解析】选C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递.‎ m=a+=a-2++2≥2+2=4,而n=x-2≤()-2=4.‎ 题型二 确定取值范围 ‎【例2】已知-≤α<β≤,求,的取值范围.‎ ‎【解析】因为-≤α<β≤,所以-≤<,-<≤,‎ 两式相加得-<<.‎ 又-≤<,所以-≤<,‎ 又因为α<β,所以<0,所以-≤<0,‎ 综上-<<,-≤<0为所求范围.‎ ‎【点拨】求含字母的数(式)的取值范围,一定要注意题设的条件,否则易出错,同时在变换过程中,要注意准确利用不等式的性质.‎ ‎【变式训练2】已知函数f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.‎ ‎【解析】由已知-4≤f(1)=a-c≤-1,-1≤f(2)=‎4a-c≤5.‎ 令f(3)=‎9a-c=γ(a-c)+μ(‎4a-c),‎ 所以 故f(3)=-(a-c)+(‎4a-c)∈[-1,20].‎ 题型三 开放性问题 ‎【例3】已知三个不等式:①ab>0;② >;③bc>ad.以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组成多少个正确命题?‎ ‎【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:>⇔>0.‎ ‎(1)由ab>0,bc>ad⇒>0,即①③⇒②;‎ ‎(2)由ab>0,>0⇒bc-ad>0⇒bc>ad,即①②⇒③;‎ ‎(3)由bc-ad>0,>0⇒ab>0,即②③⇒①.‎ 故可组成3个正确命题.‎ ‎【点拨】这是一类开放性问题,要求熟练掌握不等式的相关性质,并能对题目条件进行恰当的等价变形.‎ ‎【变式训练3】a、b、c、d均为实数,使不等式>>0和ad<bc都成立的一组值(a,b,c,d)是_______________(只要写出符合条件的一组即可).‎ ‎【解析】写出一个等比式子,如=>0.此时内项的积和外项的积相等,减小的分子,把上式变成不等式>>0,此时不符合ad<bc的条件,进行变换可得>>0,此时2×‎ ‎(-2)<1×(-3).故(2,1,-3,-2)是符合要求的一组值.‎ 总结提高 ‎1.不等式中有关判断性命题,主要依据是不等式的概念和性质.一般地,要判断一个命题是真命题,必须严格证明.要判断一个命题是假命题,只要举出反例,或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中,关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系,要注意条件的弱化与加强,不可想当然.如在应用ab>0,a>b⇒<这一性质时,不可弱化为a>b⇒<,也不可强化为a>b>0⇒<.‎ ‎2.题设条件含有字母,而结论唯一确定的选择题,采用赋值法解答可事半功倍.‎ ‎3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法,变形是关键.‎ ‎ 7.2 简单不等式的解法 典例精析 题型一 一元二次不等式的解法 ‎【例1】解下列不等式:‎ ‎(1)x2-2x-3>0;‎ ‎(2)已知A={x|3x2-7x+2<0},B={x|-2x2+x+1≤0},求A∪B,(∁RA)∩B.‎ ‎【解析】(1)方程两根为x1=-1,x2=3,‎ 所以原不等式解集为{x|x<-1或x>3}.‎ ‎(2)因为A={x|<x<2},∁RA={x|x≤或x≥2},B={x|x≤-或x≥1},‎ 所以A∪B={x|x≤-或x>},(∁RA)∩B={x|x≤-或x≥2}.‎ ‎【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密,要注意转化,同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ>0的不等式解集简称“大于取两端,小于取中间”.‎ ‎【变式训练1】设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(  )‎ A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1]‎ C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞)‎ ‎【解析】选C.由已知对x≤0时f(x)=x2+bx+c,且f(-4)=f(0),知其对称轴为x=-2,故-=-2⇒b=4.‎ 又f(-2)=0,代入得c=4,故f(x)=‎ 分别解之取并集即得不等式解集为[-3,-1]∪(0,+∞).‎ 题型二 解含参数的一元二次不等式问题 ‎【例2】解关于x的不等式mx2+(m-2)x-2>0 (m∈R).‎ ‎【解析】当m=0时,原不等式可化为-2x-2>0,即x<-1;‎ 当m≠0时,可分为两种情况:‎ ‎(1)m>0 时,方程mx2+(m-2)x-2=0有两个根,x1=-1,x2=.‎ 所以不等式的解集为{x|x<-1或x>};‎ ‎(2)m<0时,原不等式可化为-mx2+(2-m)x+2<0,‎ 其对应方程两根为x1=-1,x2=,x2-x1=-(-1)=.‎ ‎①m<-2时,m+2<0,m<0,所以x2-x1>0,x2>x1,‎ 不等式的解集为{x|-1<x<};‎ ‎②m=-2时,x2=x1=-1,‎ 原不等式可化为(x+1)2<0,解集为∅;‎ ‎③-2<m<0时,x2-x1<0,即x2<x1,‎ 不等式解集为{x|<x<-1}.‎ 综上所述:‎ 当m<-2时,解集为{x|-1<x<};‎ 当m=-2时,解集为∅;‎ 当-2<m<0时,解集为{x|<x<-1};‎ 当m=0时,解集为{x|x<-1};‎ 当m>0时,解集为{x|x<-1或x>}.‎ ‎【点拨】解含参数的一元二次不等式,首先要判断二次项系数的符号,其次讨论根的情况,然后讨论根的大小,最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.‎ ‎【变式训练2】解关于x的不等式>0.‎ ‎【解析】原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0.‎ 当a=0时,不等式的解集为{x|x<-1};‎ 当a>0时,不等式的解集为{x|x>或x<-1};‎ 当-1<a<0时,不等式的解集为{x|<x<-1};‎ 当a=-1时,不等式的解集为∅;‎ 当a<-1时,不等式的解集为{x|-1<x<}.‎ 题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系 ‎【例3】已知ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<3},求不等式cx2+bx+a<0的解集.‎ ‎【解析】由于ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<3},因此a<0,‎ 且ax2+bx+c=0的两根为1、3,则-=1+3,=1×3,即=-4,=3.‎ 又a<0,不等式cx2+bx+a<0可以化为x2+x+1>0,即3x2-4x+1>0,‎ 解得x<或x>1.‎ ‎【点拨】解一元二次不等式时,要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数,明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.‎ ‎【变式训练3】(2009江西)若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=   .‎ ‎【解析】.作出函数y=和y=k(x+2)-的图象,函数y=的图象是一个半圆,函数y=k(x+2)-的图象是过定点(-2,-)的一条动直线.依题意,半圆在直线下方的区间长度为2,则必有a=1,即 ‎1是方程=k(x+2)-的根,代入得k=.‎ 总结提高 ‎1.解一元二次不等式的一般步骤:‎ ‎(1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零;‎ ‎(2)计算相应的判别式;‎ ‎(3)当Δ>0时,求出相应的一元二次方程的两根;‎ ‎(4)根据一元二次不等式的结构,写出其解集.‎ ‎2.当含有参数时,需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如:是一元一次不等式还是一元二次不等式;开口方向如何;根的判别式的正负;根的大小等.‎ ‎3.要注意三个“二次”之间的联系,重视数形结合思想的应用.‎ ‎7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 典例精析 题型一 平面区域 ‎【例1】已知函数f(x)的定义域为[-2,+∞),且f(4)=f(-2)=1,f′(x)为f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象如图所示,则平面区域所围成的面积是(  ) ‎ A.2 B‎.4 ‎ C.5 D.8‎ ‎【解析】选B.由f′(x)的图象可知,f(x)在[-2,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.‎ 因为f(-2)=f(4)=1,所以当且仅当x∈(-2,4)时,有f(x)<f(-2)=f(4)=1.‎ 作出可行域如图所示,其围成的图形面积为4.‎ ‎【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.‎ ‎【变式训练1】若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是( )                  ‎ A. B. C.1 D. ‎【解析】选C.当a=b=1时,满足x+y≤1,且可知0≤a≤1,0≤b≤1,所以点P(a,b)所形成的平面区域为边长为1的正方形,所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.‎ 题型二 利用线性规划求最值 ‎(1)z=x+2y-4的最大值;‎ ‎(2)z=x2+y2-10y+25的最小值;‎ ‎(3)z=的取值范围.‎ ‎【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).‎ ‎(1)易知直线x+2y-4=z过点C时,z最大.‎ 所以x=7,y=9时,z取最大值21.‎ ‎(2)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,‎ 过点M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,‎ 故z的最小值是()2=.‎ ‎(3)z=2·表示可行域内任一点(x,y)与定点Q(-1,-)连线斜率的2倍.‎ 因为kQA=,kQB=,所以z的取值范围为[,].‎ ‎【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得,充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.‎ ‎【变式训练2】已知函数f(x)=x3+ax2-bx+1(a,b∈R)在区间[-1,3]上是减函数,求 a+b的最小值.‎ ‎【解析】因为f′(x)=x2+2ax-b,f(x)在区间[-1,3]上是减函数.‎ 所以f′(x)≤0在[-1,3]上恒成立.则 作出点(a,b)表示的平面区域.‎ 令z=a+b,求出直线-‎2a-b+1=0与‎6a-b+9=0的交点A的坐标为(-1,3).‎ 当直线z=a+b过点A(-1,3)时,z=a+b取最小值2.‎ 题型三 线性规划的实际应用 ‎【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有‎72 m3‎,第二种有‎56 m3‎.假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌需要用第一种木料‎0.18 m3‎,第二种木料‎0.08m3‎,可获利润6元,生产一个衣柜需要用第一种木料‎0.09 m3‎,第二种木料‎0.28 m3‎,可获利润10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大?最大利润是多少?‎ ‎【解析】设圆桌生产的张数为x,衣柜生产的个数为y,所获利润为z,则z=6x+10y,‎ 当直线l:6x+10y=0平移到经过点M(350,100)时,z=6x+10y最大.‎ zmax=6×350+10×100=3 100,‎ 所以生产圆桌350张,衣柜100个可获得最大利润3 100元.‎ ‎【点拨】解实际线性规划问题,首先设出变量,建立不等式模型表示出约束条件,一定要注意问题的实际意义(如本题中x≥0,y≥0),然后画出可行域,利用图形求解.‎ ‎【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少‎106千克,现在市场上该原料有两种包装:一种是每袋‎35千克,价格为140元;另一种是每袋‎24千克,价格为120元.在满足需要的条件下,最少要花费   元.‎ ‎【解析】500.设需‎35千克的x袋,‎24千克的y袋,则目标函数z=140x+120y,约束条件为当x=1时,y≥,即y=3,这时zmin=140+120×3=500.‎ 总结提高 ‎1.用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知,找出约束条件和目标函数是关键.‎ ‎2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域,可行域可以是封闭的多边形,亦可是一侧开放的无限大的平面区域.‎ ‎3.若可行域是一个多边形,那么一般在顶点处,使目标函数值取得最值,最优解一般是多边形的某个顶点.‎ ‎4.实际问题的最优解要求是整数解时,这时要对最优解(非整数解)进行适当调整,其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点,而不要在最优解的附近寻找.‎ ‎ 7.4 基本不等式及应用 典例精析 题型一 利用基本不等式比较大小 ‎【例1】(1)设x,y∈R+,且xy-(x+y)=1,则(  )‎ A.x+y≥2(+1) B.x+y≤2(+1)‎ C.x+y≤2(+1)2 D.x+y≥(+1)2‎ ‎(2)已知a,b∈R+,则,,,的大小顺序是         .‎ ‎【解析】(1)选A.由已知得xy=1+(x+y),又xy≤()2,所以()2≥1+(x+y).‎ 解得x+y≥2(+1)或x+y≤2(1-).‎ 因为x+y>0,所以x+y≥2(+1).‎ ‎(2)由≥有a+b≥2,即a+b≥,所以≥.‎ 又=≤,所以≥,‎ 所以≥≥≥.‎ ‎【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来,可作为结论使用.‎ ‎【变式训练1】设a>b>c,不等式+>恒成立,则λ的取值范围是    .‎ ‎【解析】(-∞,4).因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0.‎ 而(a-c)(+)=[(a-b)+(b-c)](+)≥4,所以λ<4.‎ 题型二 利用基本不等式求最值 ‎【例2】(1)已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为    ;‎ ‎(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数f′(x),f′(0)>0,对任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为(  )‎ A.3 B. C.2 D. ‎【解析】(1)因为x<,所以5-4x>0.‎ 所以y=4x-2+=-(5-4x+)+3≤-2+3=1.‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.‎ 所以x=1时,ymax=1.‎ ‎(2)选C.因为f(x)≥0,所以 所以c≥.又f′(x)=2ax+b,所以f′(0)=b>0,‎ ==1+≥1+≥1+=2,‎ 当且仅当c=且‎4a2=b2时等号成立.‎ ‎【点拨】应用基本不等式求最值时,常见的技巧是“拆或凑”,同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件,避免出现错误.‎ ‎【变式训练2】已知x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,求的取值范围.‎ ‎【解析】由等差数列、等比数列的性质得a+b=x+y,‎ cd=xy,所以==2++,‎ 当>0时,≥4;当<0时,≤0,‎ 故的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞).‎ 题型三 应用基本不等式解实际应用问题 ‎【例3】某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.‎ ‎(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用);‎ ‎(2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否可以利用此优惠条件?请说明理由.‎ ‎【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉,其购买量为6x吨,面粉的保管等其他费用为3[6x+6(x-1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1).‎ 设平均每天所支付的总费用为y1,则 y1=[9x(x+1)+900]+6×1 800=+9x+10 809≥2+10 809=10 989,‎ 当且仅当9x=,即x=10时,取等号.‎ 即该厂应10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.‎ ‎(2)若厂家利用此优惠条件,则至少应35天购买一次面粉,设该厂利用此优惠条件后,每x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y2,则 y2=[9x(x+1)+900]+6×1 800×0.9=+9x+9 729(x≥35).‎ 因为y2′=9-,当x≥35时,y2′>0.‎ 所以y2=+9x+9 729在[35,+∞)上是增函数.‎ 所以x=35时,y2取最小值.‎ 由<10 989知,该厂可以利用此优惠条件.‎ ‎【点拨】解决这类应用题,首先要依题意构造出相应的数学模型,并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构,再求最值.当等号不能成立时,常利用函数的单调性来处理.‎ ‎【变式训练3】已知a>0,b>0,且‎2a+b=1,求S=2-‎4a2-b2的最大值.‎ ‎【解析】因为a>0,b>0,‎2a+b=1,‎ 所以‎4a2+b2=(‎2a+b)2-4ab=1-4ab,‎ 且1=‎2a+b≥2,即≤,ab≤.‎ 所以S=2-‎4a2-b2=2-(1-4ab)=2+4ab-1≤,‎ 当且仅当a=,b=时,等号成立.‎ 总结提高 ‎1.基本不等式的几种常见变形公式:‎ ab≤()2≤(a,b∈R);‎ ≤≤≤(a>0,b>0).‎ 注意不等式成立的条件及等号成立的条件.‎ ‎2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧,配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值,且等号能够成立.‎ ‎3.多次使用基本不等式求最值时,要特别注意等号能否同时成立.‎ ‎7.5 不等式的综合应用 典例精析 题型一 含参数的不等式问题 ‎【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有-2,求k的取值范围.‎ ‎【解析】由x2-x-2>0有x<-1或x>2,‎ 由2x2+(5+2k)x+5k<0有(2x+5)(x+k)<0.‎ 因为-2是原不等式组的解,所以k<2.‎ 由(2x+5)(x+k)<0有-<x<-k.‎ 因为原不等式组的整数解只有-2,所以-2<-k≤3,即-3≤k<2,‎ 故k的取值范围是[-3,2).‎ ‎【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时,借助数轴分析,往往直观、简洁.‎ ‎【变式训练1】不等式(-1)na<2+对任意n∈N*恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【解析】当n为奇数时,-a<2+,即a>-(2+).‎ 而-(2+)<-2,则a≥-2;‎ 当n为偶数时,a<2-,而2-≥2-=,所以a<.‎ 综上可得-2≤a<.‎ ‎【点拨】不等式中出现了(-1)n的时候,常常分n为奇数和偶数进行分类讨论.‎ 题型二 不等式在函数中的应用 ‎【例2】已知函数f(x)=在区间[-1,1]上是增函数.‎ ‎(1)求实数a的值组成的集合A;‎ ‎(2)设x1,x2是关于x的方程f(x)=的两个相异实根,若对任意a∈A及t∈[-1,1],不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】(1)f′(x)=,‎ 因为f(x)在[-1,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f′(x)≥0恒成立,‎ 令φ(x)=x2-ax-2,即x2-ax-2≤0恒成立.‎ 所以A={a|-1≤a≤1}.‎ ‎(2)由f(x)=得x2-ax-2=0.‎ 设x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个根,所以x1+x2=a,x1x2=-2.‎ 从而|x1-x2|==,‎ 因为a∈[-1,1],所以≤3,即|x1-x2|max=3.‎ 不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]不等式恒成立,即m2+tm-2≥0恒成立.‎ 设g(t)=m2+tm-2=mt+m2-2,则 解得m≥2或m≤-2.‎ 故m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).‎ ‎【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题,通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零),亦可分离变量或者利用数形结合的方法,分离变量和数形结合更加简单明了.‎ ‎【变式训练2】设a,b>0,且ab=1,不等式+≤λ恒成立,则λ的取值范围是    .‎ ‎【解析】[1,+∞).因为ab=1,所以+=≤=1,所以λ≥1.‎ 题型三 不等式在实际问题中的应用 ‎【例3】某森林出现火灾,火势正以‎100 m2‎/分钟的速度顺风蔓延,消防站接到报警立即派消防队员前去,在火灾发生后5分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人灭火 ‎50 m2‎‎/分钟,所消耗的灭火材料,劳务津贴等费用为人均125元/分钟,另附加每次救火所耗损的车辆,器械和装备等费用人均100元,而烧毁森林的损失费60元/m2,问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少?‎ ‎【解析】设派x名消防队员前去救火,用t分钟将火扑灭,总损失为y,则 t==,‎ y=灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费 ‎=125xt+100x+60(500+100t)‎ ‎=125x×+100x+30 000+ ‎=100(x-2)++31 450‎ ‎≥2+31 450=36 450,‎ 当且仅当100(x-2)=,即x=27时,y有最小值36 450,故应派27人前去救火才能使总损失最少,最少损失36 450元.‎ ‎【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题,建立不等式模型,利用基本不等式求最值,基本不等式是历年高考考查的重要内容.‎ ‎【变式训练3】某学校拟建一块周长为‎400 m的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽?‎ ‎【解析】设中间矩形区域的长,宽分别为x m,y m,中间的矩形区域面积为S,‎ 则半圆的周长为,‎ 因为操场周长为400,所以2x+2×=400,‎ 即2x+πy=400(0<x<200,0<y<),‎ 所以S=xy=·(2x)·(πy)≤·2=,‎ 由解得 所以当且仅当时等号成立,‎ 即把矩形的长和宽分别设计为‎100 m和m时,矩形区域面积最大.‎ 总结提高 ‎1.不等式应用大致可分为两类:一类是建立不等式求参数的取值范围,或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,利用基本不等式求最值问题.‎ 不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系,充分利用数学思想和数学方法解题.‎ ‎2.建立不等式的主要途径有:利用基本不等式;利用问题的几何意义;利用判别式;利用函数的有界性;利用函数的单调性等.‎ ‎3.解答不等式的实际应用问题一般分四步,即审题、建模、求解、检验.‎
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