高考数学选填压轴题真题含答案

高考数学选填压轴题真题含答案

‎2016年高考数学选填压轴题真题（含答案）‎ ‎　‎ 一．选择题（共23小题）‎ ‎1．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（　　）‎ A．17π B．18π C．20π D．28π ‎3．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　）‎ A．11 B．9 C．7 D．5‎ ‎5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎6．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎7．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）=（　　）‎ A．0 B．m C．2m D．4m ‎8．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]‎ ‎9．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　）‎ A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 ‎10．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）‎ A．4π B． C．6π D．‎ ‎12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．18+36 B．54+18 C．90 D．81‎ ‎13．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（　　）‎ A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=‎ ‎14．函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎15．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（　　）‎ A．0 B．m C．2m D．4m ‎16．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎17．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎18．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）‎ A．+π B．+π C．+π D．1+π ‎19．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+‎ ‎），则实数t的值为（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣‎ ‎20．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3‎ ‎21．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　）‎ A．﹣2 B．1 C．0 D．2‎ ‎22．如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）‎ A．{Sn}是等差数列 B．{Sn2}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{dn2}是等差数列 ‎23．已知实数a，b，c．（　　）‎ A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100‎ B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100‎ C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100‎ D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100‎ ‎　‎ 二．填空题（共17小题）‎ ‎24．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　 　元．‎ ‎25．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题是　 　（填序号）‎ ‎26．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=　 　．‎ ‎27．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为　 　．‎ ‎28．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=　 　．‎ ‎29．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　 　．‎ ‎30．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=　 　．‎ ‎31．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=　 　．‎ ‎32．设函数f（x）=．‎ ‎①若a=0，则f（x）的最大值为　 　；‎ ‎②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎33．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　 　．‎ ‎34．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　 　．‎ ‎35．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　 　．‎ ‎36．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=　 　，b=　 　．‎ ‎37．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3．‎ ‎38．已知a＞b＞1，若logab+logba=，ab=ba，则a=　 　，b=　 　．‎ ‎39．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=　 　，S5=　 　．‎ ‎40．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是　 　．‎ ‎　‎ ‎2016年高考数学选填压轴题真题（含答案）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共23小题）‎ ‎1．（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，‎ ‎|DE|=2，|DN|=，|ON|=，‎ xA==，‎ ‎|OD|=|OA|，‎ ‎=+5，‎ 解得：p=4．‎ C的焦点到准线的距离为：4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（　　）‎ A．17π B．18π C．20π D．28π ‎【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：‎ 可得：=，R=2．‎ 它的表面积是：×4π•22+=17π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，‎ 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．‎ 则m、n所成角的正弦值为：．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　）‎ A．11 B．9 C．7 D．5‎ ‎【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，‎ ‎∴，即，（n∈N）‎ 即ω=2n+1，（n∈N）‎ 即ω为正奇数，‎ ‎∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，‎ 即T=≥，解得：ω≤12，‎ 当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，‎ ‎∵|φ|≤，‎ ‎∴φ=﹣，‎ 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；‎ 当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，‎ ‎∵|φ|≤，‎ ‎∴φ=，‎ 此时f（x）在（，）单调，满足题意；‎ 故ω的最大值为9，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．（2016•新课标Ⅱ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，‎ 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，‎ ‎∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，‎ ‎∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，‎ 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，‎ ‎∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π ‎∴空间组合体的表面积是28π，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（2016•新课标Ⅱ）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，‎ 则丨MF1丨=，丨MF2丨=，‎ ‎∴sin∠MF2F1=，∴=，‎ 可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，‎ 可得e2﹣e﹣=0，‎ e＞1，解得e=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）=（　　）‎ A．0 B．m C．2m D．4m ‎【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），‎ 即为f（x）+f（﹣x）=2，‎ 可得f（x）关于点（0，1）对称，‎ 函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，‎ 即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，‎ ‎（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，‎ ‎…‎ 则有（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）‎ ‎=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]‎ ‎=m．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，‎ 由题意可得f′（x）≥0恒成立，‎ 即为1﹣cos2x+acosx≥0，‎ 即有﹣cos2x+acosx≥0，‎ 设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，‎ 当t=0时，不等式显然成立；‎ 当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，‎ 由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，‎ 可得3a≥﹣1，即a≥﹣；‎ 当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，‎ 由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，‎ 可得3a≤1，即a≤．‎ 综上可得a的范围是[﹣，]．‎ 另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，‎ 由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，‎ 解得a的范围是[﹣，]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　）‎ A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 ‎【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：‎ ‎0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；‎ ‎0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；‎ ‎0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，‎ 可得P（﹣c，±），‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，‎ 即为=，‎ 化简可得=，即为a=3c，‎ 可得e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）‎ A．4π B． C．6π D．‎ ‎【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，‎ ‎∴AC=10．‎ 故三角形ABC的内切圆半径r==2，‎ 又由AA1=3，‎ 故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，‎ 此时V的最大值=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．（2016•新课标Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．18+36 B．54+18 C．90 D．81‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，‎ 其底面面积为：3×6=18，‎ 前后侧面的面积为：3×6×2=36，‎ 左右侧面的面积为：3××2=18，‎ 故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（　　）‎ A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=‎ ‎【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），‎ 函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；‎ 函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；‎ 函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；‎ 函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；‎ 故选：D ‎　‎ ‎14．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）‎ ‎=1﹣2sin2x+6sinx，‎ 令t=sinx（﹣1≤t≤1），‎ 可得函数y=﹣2t2+6t+1‎ ‎=﹣2（t﹣）2+，‎ 由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，‎ 即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（　　）‎ A．0 B．m C．2m D．4m ‎【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），‎ 故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，‎ 函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，‎ 故函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称，‎ 故xi=×2=m，‎ 故选：B ‎　‎ ‎16．（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎【解答】解：取两个球共有4种情况：‎ ‎①红+红，则乙盒中红球数加1个；‎ ‎②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；‎ ‎③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；‎ ‎④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．‎ 设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．‎ 则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；‎ 丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；‎ 黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j 由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎17．（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，‎ 棱锥的底面面积S=×1×1=，‎ 高为1，‎ 故棱锥的体积V==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎18．（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）‎ A．+π B．+π C．+π D．1+π ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，‎ 半球的直径为棱锥的底面对角线，‎ 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．‎ 故R=，故半球的体积为：=π，‎ 棱锥的底面面积为：1，高为1，‎ 故棱锥的体积V=，‎ 故组合体的体积为：+π，‎ 故选：C ‎　‎ ‎19．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣‎ ‎【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），‎ ‎∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，‎ 解得：t=﹣4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎20．（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3‎ ‎【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，‎ 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，‎ 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；‎ 当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；‎ 当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；‎ 当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；‎ 故选：A ‎　‎ ‎21．（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　）‎ A．﹣2 B．1 C．0 D．2‎ ‎【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），‎ ‎∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．‎ ‎∴f（6）=f（1），‎ ‎∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∴f（1）=﹣f（﹣1），‎ ‎∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，‎ ‎∴f（﹣1）=﹣2，‎ ‎∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，‎ ‎∴f（6）=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎22．（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）‎ A．{Sn}是等差数列 B．{Sn2}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{dn2}是等差数列 ‎【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，‎ ‎|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，‎ 由于a，c不确定，则{dn}不一定是等差数列，‎ ‎{dn2}不一定是等差数列，‎ 设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，‎ 由三角形的相似可得==，‎ ‎==，‎ 两式相加可得，==2，‎ 即有hn+hn+2=2hn+1，‎ 由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，‎ 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，‎ 则数列{Sn}为等差数列．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎23．（2016•浙江）已知实数a，b，c．（　　）‎ A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100‎ B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100‎ C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100‎ D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100‎ ‎【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；‎ B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；‎ C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|=0≤1，a2+b2+c2＞100；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共17小题）‎ ‎24．（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　216000　元．‎ ‎【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．‎ 由题意，得，z=2100x+900y．‎ 不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），‎ 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．‎ 故答案为：216000．‎ ‎　‎ ‎25．（2016•新课标Ⅱ）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题是　②③④　（填序号）‎ ‎【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；‎ ‎②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确 ‎④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；‎ 故答案为：②③④‎ ‎　‎ ‎26．（2016•新课标Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=　1﹣ln2　．‎ ‎【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；‎ 由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1‎ 再由切点也在各自的曲线上，可得 联立上述式子解得；‎ 从而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2．‎ ‎　‎ ‎27．（2016•新课标Ⅰ）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为　4π　．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，‎ ‎∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，‎ ‎∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，‎ 即+3=a2+2，‎ 解得：a2=2，‎ 故圆的半径r=2．‎ 故圆的面积S=4π，‎ 故答案为：4π ‎　‎ ‎28．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=　4　．‎ ‎【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴m=﹣‎ ‎∴直线l的倾斜角为30°，‎ ‎∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，‎ ‎∴|CD|==4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎29．（2016•新课标Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　1和3　．‎ ‎【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；‎ ‎（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；‎ ‎∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；‎ ‎（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；‎ 又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；‎ ‎∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；‎ ‎∴甲的卡片上的数字是1和3．‎ 故答案为：1和3．‎ ‎　‎ ‎30．（2016•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=　　．‎ ‎【解答】解：由cosA=，cosC=，可得 sinA===，‎ sinC===，‎ sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，‎ 由正弦定理可得b=‎ ‎==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎31．（2016•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=　2　．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，‎ ‎∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，‎ 即a=b，‎ ‎∵正方形OABC的边长为2，‎ ‎∴OB=2，即c=2，‎ 则a2+b2=c2=8，‎ 即2a2=8，‎ 则a2=4，a=2，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎32．（2016•北京）设函数f（x）=．‎ ‎①若a=0，则f（x）的最大值为　2　；‎ ‎②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1）　．‎ ‎【解答】解：①若a=0，则f（x）=，‎ 则f′（x）=，‎ 当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，‎ 当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，‎ 故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；‎ ‎②f′（x）=，‎ 令f′（x）=0，则x=±1，‎ 若f（x）无最大值，则，或，‎ 解得：a∈（﹣∞，﹣1）．‎ 故答案为：2，（﹣∞，﹣1）‎ ‎　‎ ‎33．（2016•山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　2　．‎ ‎【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，‎ 由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），‎ 由2|AB|=3|BC|，可得 ‎2•=3•2c，即为2b2=3ac，‎ 由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，‎ 解得e=2（负的舍去）．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎34．（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　　．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．‎ 圆心到直线y=kx的距离为，‎ 要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．‎ ‎∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎35．（2016•山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　（3，+∞）　．‎ ‎【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：‎ ‎∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，‎ ‎∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，‎ 必须4m﹣m2＜m（m＞0），‎ 即m2＞3m（m＞0），‎ 解得m＞3，‎ ‎∴m的取值范围是（3，+∞），‎ 故答案为：（3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎36．（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=　　，b=　1　．‎ ‎【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x ‎=1+（cos2x+sin2x）‎ ‎=sin（2x+）+1，‎ ‎∴A=，b=1，‎ 故答案为：；1．‎ ‎　‎ ‎37．（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是　72　cm2，体积是　32　cm3．‎ ‎【解答】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，‎ 则其表面积为22×（24﹣6）=72cm2，‎ 其体积为4×23=32，‎ 故答案为：72，32‎ ‎　‎ ‎38．（2016•浙江）已知a＞b＞1，若logab+logba=，ab=ba，则a=　4　，b=　2　．‎ ‎【解答】解：设t=logba，由a＞b＞1知t＞1，‎ 代入logab+logba=得，‎ 即2t2﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），‎ 所以logba=2，即a=b2，‎ 因为ab=ba，所以b2b=ba，则a=2b=b2，‎ 解得b=2，a=4，‎ 故答案为：4；2．‎ ‎　‎ ‎39．（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=　1　，S5=　121　．‎ ‎【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，‎ 又S2=4，即a1+a2=4，‎ 即有3a1+1=4，解得a1=1；‎ 由an+1=Sn+1﹣Sn，可得 Sn+1=3Sn+1，‎ 由S2=4，可得S3=3×4+1=13，‎ S4=3×13+1=40，‎ S5=3×40+1=121．‎ 故答案为：1，121．‎ ‎　‎ ‎40．（2016•浙江）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是　　．‎ ‎【解答】解：如图，M是AC的中点．‎ ‎①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，‎ DM=﹣t，由△ADE∽△BDM，可得，∴h=，‎ V==，t∈（0，）‎ ‎②当AD=t＞AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，‎ DM=t﹣，由等面积，可得，∴，‎ ‎∴h=，‎ ‎∴V==，t∈（，2）‎ 综上所述，V=，t∈（0，2）‎ 令m=∈[1，2），则V=，∴m=1时，Vmax=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎