真题推荐全国高考数学 试题分类汇编 圆锥曲线

真题推荐全国高考数学 试题分类汇编 圆锥曲线

‎ ‎ ‎2010圆锥曲线 ‎1.（2010·福建高考理科·Ｔ２）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）‎ A. 　B.‎ C. D.‎ ‎【命题立意】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及圆方程的求解.‎ ‎【思路点拨】 的焦点为，求解圆方程时，确定了圆心与半径即可.‎ ‎【规范解答】选D，抛物线的焦点为，又圆过原点，所以，‎ 方程为.‎ ‎【方法技巧】方法一：（设圆的标准方程）抛物线的焦点为，圆心为，设圆的方程为，又圆过原点， ，，所求圆的方程为即为 ；‎ 方法二：（设圆的一般方程）设圆的方程为，抛物线的焦点为，圆心为， ，又圆过原点，，，所求圆的方程为 .‎ ‎2.（2010·陕西高考理科·Ｔ8）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6 x－7=0相切，则p的值为（ ）‎ ‎(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线、圆等的基本概念与性质，属送分题.‎ ‎【思路点拨】y2=2px准线圆心到准线的距离等于半径求出p的值 ‎【规范解答】选C，由y2=2px，得准线，圆x2+y2－6 x－7=0可化为 ‎，由圆心到准线的距离等于半径得：‎ ‎3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ7）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=（ ）‎ ‎ (A) (B)8 (C) (D) 16‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的准线方程，考查两点间的距离公式.‎ ‎【思路点拨】‎ A点坐标 P点坐标 求|PA|‎ ‎|PF|＝|PA|‎ ‎【规范解答】选B.由抛物线方程，可得准线l方程为：设点A坐标为（-2,n）,∴P点纵坐标为4 ‎ 由，∴P点坐标为（6，4），∴|PF|＝|PA|＝|6－（－2）|＝8，故选B.‎ ‎4.（2010·山东高考文科·Ｔ9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ ‎ （A） (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】利用点差法先求出的值，再求抛物线的准线方程.‎ ‎【规范解答】选B，设，，则因为、两点在抛物线上，得 ‎ ① ， ②，① - ②得 ，又线段的中点的纵坐标为2，即，直线的斜率为1，故,因此抛物线的准线方程为 ‎【方法技巧】弦中点问题 ‎1、对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是 ‎2、在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率.‎ ‎3、在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率.‎ ‎4、在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.‎ ‎5.（2010·湖南高考理科·Ｔ5） 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）‎ A. 4 　　 B. ‎6 ‎ 　　 C.8 　　 D.12‎ ‎【命题立意】考查抛物线的定义.‎ ‎【思路点拨】过点P向准线引垂线，连接点P和焦点，联想到抛物线的定义.‎ ‎【规范解答】选B.∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则PQ等于点P到焦点的距离，而PQ=6，‎ ‎【方法技巧】圆锥曲线上的点和焦点发生联系或者和准线发生联系常常联想到定义.‎ ‎6.（2010·安徽高考文科·Ｔ12）抛物线的焦点坐标是 .‎ ‎【命题立意】本题主要考查抛物线方程及其焦点，考查考生对抛物线方程理解认知水平. ‎ ‎【思路点拨】方程化为标准形式确定准焦距P确定焦点坐标.‎ ‎【规范解答】抛物线，所以，所以焦点.‎ ‎【答案】‎ ‎7.（2010·浙江高考理科·Ｔ13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________.‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的相关知识，考查抛物线的定义，准线.‎ ‎【思路点拨】先求出抛物线的焦点F，计算出点B的坐标，代入到抛物线方程，解出，从而可求出抛物线的方程，点B的坐标及准线方程.‎ ‎【规范解答】。抛物线的焦点坐标为F，FA中点在抛物线上，，，，抛物线的准线方程为，‎ 点B到该抛物线准线的距离为.‎ ‎【答案】‎ ‎8．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．‎ ‎【命题立意】以抛物线为载体，考查直线和圆锥曲线的关系，本题还考查了学生的运算能力。‎ ‎【思路点拨】直线和圆锥曲线→第三个方程→韦达定理 ‎【规范解答】设直线方程为y=x+，结合得到x2-2px-p2=0，‎ 而梯形的面积==，∴p=2.‎ ‎【答案】2‎ ‎【方法技巧】关于直线和圆锥曲线的问题，常有三条思路：一是利用定义。‎ 二是点差法。三是利用韦达定理。‎ ‎9.（2010·福建高考文科·Ｔ１9）已知抛物线C：过点A （1 , -2）.‎ ‎（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；‎ ‎（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想. ‎ ‎【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于列出方程，求解出t的值，注意判别式对参数t的限制. ‎ ‎【规范解答】（I）将代入，得，，‎ 故所求的抛物线方程为，其准线方程为；‎ ‎（II）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与抛物线C有公共点，所以，解得。另一方面，由直线OA与直线的距离等于可得，由于，所以符合题意的直线存在，其方程为.‎ ‎【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式的限制.因为抛物与直线有交点，注意应用进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.‎ ‎10.（2010·浙江高考文科·Ｔ22）已知m是非零实数，抛物线（p>0）的焦点F在直线上. ‎ ‎（I）若m=2，求抛物线C的方程；‎ ‎（II）设直线与抛物线C交于A、B，△A,△的重心分别为G,H 求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.‎ ‎【命题立意】本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】（1）求出抛物线的焦点坐标代入到直线方程中可出求；（2）把点在圆外转化为点到圆心的距离大于半径.‎ ‎【规范解答】(Ⅰ)因为焦点F(,0)在直线l上，得 又m=2,故.所以抛物线C的方程为.‎ ‎（2）设A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y2－2m3y－m4＝0，‎ 由于m≠0，故＝4m6＋4m4＞0，且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4，‎ 设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，由于 可知G（），H（），‎ 所以 ‎ 所以GH的中点M为.‎ 设R是以线段GH为直径的圆的半径，则 设抛物线的准线与x轴交点N，则 ‎＞.‎ 故N在以线段GH为直径的圆外.‎ ‎【方法技巧】（1）设而不求思想在解决圆锥曲线问题时较常用，一般设出后，通过联立方程组，消元，利用韦达定理，得到（或），再整体代入；（2）点与圆的位置关系问题，一是看点到圆心的距离；二是代入到圆的方程中验证.‎ ‎2011圆锥曲线 一、选择题 ‎1.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ4）椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【思路点拨】通过方程确定的值，离心率.‎ ‎【精讲精析】选D 由题意 ‎2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 .‎ ‎【思路点拨】的周长为，求得的值，再由离心率求得的值，可得椭圆的方程.‎ ‎【精讲精析】 由＝16,得，又知离心率为，即，进而，所以，，C的方程为.‎ ‎3.（2011·浙江高考理科·Ｔ17）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 .‎ ‎【思路点拨】设出A点坐标,利用题目条件建立方程即可, 注意把转化为坐标关系.‎ ‎【精讲精析】‎ 解法一：设直线的反向延长线与椭圆交于点，又∵‎ ‎，由椭圆的对称性可得，设，，‎ 又∵， ，‎ 解之得，∴点A的坐标为.‎ 解法二：椭圆的焦点分别为,设A点坐标为,B点坐标为（p,t）则,即，，故，且,由上面两式解得 ‎,即点的坐标是(0,).‎ 二、解答题 ‎4.（2011·天津高考理科·T18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左、右焦点．已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ ‎【思路点拨】由等腰三角形建立等式关系求出离心率；联立直线和椭圆的方程，表示出A、B的坐标，再由向量等式关系化简整理得到轨迹方程。‎ ‎【精讲精析】 （I）【解析】设由题意，可得，即整理得（舍），或所以。‎ ‎（II）【解析】由（I）知可得椭圆方程为直线PF2‎ 方程为A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 解得 得方程组的解 不妨设，设点M的坐标为，‎ 于是，由 即，化简得 将所以 因此，点M的轨迹方程是 ‎5.（2011·天津高考文科·Ｔ18）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.点满足 ‎ （Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎ （Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程.‎ ‎【思路点拨】利用椭圆的几何性质、点到直线、两点间的距离公式，直线于圆的位置关系等知识求解.‎ ‎【精讲精析】 （Ⅰ）【解析】设，因为，‎ 所以，整理得（舍）或 ‎ （Ⅱ）【解析】由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得.解得，得方程组的解 ‎ 不妨设，，‎ ‎ 所以 于是 ‎ 圆心到直线PF2的距离 ‎ ，‎ ‎ 整理得，得（舍），或所以椭圆方程为 ‎2012圆锥曲线 一、选择题 ‎1.（2012·浙江高考文科·Ｔ8）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）‎ A.3 B‎.2 C. D. ‎ ‎【解题指南】分别设出椭圆与双曲线的方程,根据其焦点相同和M，O，N将椭圆长轴四等分得出离心率之间的关系.‎ ‎【解析】选Ｂ.设双曲线的方程为，椭圆的方程为，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以， 又所以.‎ ‎2.（2012·江西高考文科·Ｔ8）椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F‎1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列建立的方程，转化为离心率，解方程得e.‎ ‎【解析】选B. 因为A、B为左右顶点，为左右焦点，所以，，‎ ‎，又因为成等比数列，所以即，所以离心率.‎ ‎3.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ4）与（2012·新课标全国高考文科·Ｔ4）相同 设是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则E的离心率为（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎【解题指南】根据题意画出图形，寻求所满足的数量关系，求得离心率。‎ ‎【解析】选C.设直线与轴交于点，则，在中，，，故，解得，故离心率.‎ 二、填空题 ‎4.（2012·福建高考理科·Ｔ13）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.‎ ‎【解题指南】运用等比数列的基本知识和基本定义和公式设边，运用余弦定理求解三角形．‎ ‎【解析】依次设三边为，则最大边为，最大角的余弦值为 ‎.‎ ‎【答案】.‎ ‎5.（2012·江西高考理科·Ｔ12）设数列都是等差数列.若，则________‎ ‎【解题指南】根据等差数列的性质，整体得到三者所满足的关系，求得的值.‎ ‎【解析】均是等差数列，根据等差数列的性质，，，即，，＝35.‎ ‎【答案】35.‎ ‎6.（2012·江西高考理科·Ｔ13）椭圆 的左、右顶点分别是A、B，左右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为_______‎ ‎【解题指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列建立的方程，转化为关于离心率的方程，解方程得e.‎ ‎【解析】为左右顶点，为左右焦点，所以，，，又因为成等比数列，所以，即，所以离心率 ‎【答案】.‎ 三、解答题 ‎7.（2012·广东高考理科·Ｔ20）（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解题指南】 (1)根据题意可知从而可解出a,b的值。问题得解.（2）先求出原点到直线的距离，再利用圆的弦长公式，求出|AB|的长，进而求出 ‎,再根据在椭圆上，因而,从而确定出m的值，n的值。问题得解.‎ ‎【解析】（1）由题意得,‎ 椭圆C的方程为.‎ ‎(2)假设存在，设原点到直线的距离为d,‎ 则 ‎ ‎,‎ 在椭圆上，‎ 当且仅当,即 此时.‎ 显然存在这点的点或,使的最大，最大值为.‎ ‎8.（2012·广东高考文科·Ｔ20）在平面直角坐标系中，已知椭圆:（）的左焦点为,且点在.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 设直线同时与椭圆和抛物线:相切，求直线的方程.‎ ‎【解题指南】 (1)根据题意可知从而可解出a的值，问题得解.‎ ‎（2）由题意得直线的斜率一定存在且不为0，设出直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，根据直线与椭圆和抛物线相切时满足判别式等于0，可求得直线的方程. ‎ ‎【解析】（1）由题意得,‎ 椭圆的方程为.‎ ‎(2) 由题意得：直线的斜率一定存在且不为0，设直线方程 因为椭圆C的方程为 ‎ 消去得 直线与椭圆相切，.即 直线与抛物线:相切，则消去得 ‎ 即 由（1）（2）解得 所以直线的方程.‎ ‎9.（2012·陕西高考文科·Ｔ20）与（2012·陕西高考理科·Ｔ19）相同 已知椭圆:，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程.‎ ‎【解题指南】（1）根据已知椭圆方程求出长轴、短轴、焦距等值即可求C2的方程；（2）设而不求的方法表示A、B的坐标，分析向量的关系，确定直线AB的特殊性，然后求直线AB的斜率是关键.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆C2的方程为（），其离心率为，‎ 故，则，故椭圆C2的方程为.‎ ‎（Ⅱ）（解法一）A，B两点的坐标分别记为，，由及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在轴上，因此可设直线AB的方程为，‎ 将代入椭圆方程得，所以，‎ 将代入中，得，所以，‎ 又由得，即，解得，‎ 故直线AB的方程为或.‎ ‎（解法二）A，B两点的坐标分别记为，，由及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在轴上，因此可设直线AB的方程为，‎ 将代入椭圆方程得，所以，‎ 由得，，‎ 将代入椭圆C2的方程中，得，即，‎ 解得，‎ 故直线AB的方程为或. ‎ ‎2013圆锥曲线 一、选择题 错误！未指定书签。 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线与曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线的斜率等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖北卷（理））已知,则双曲线与的 （　　）‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 ‎【答案】D ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是 O x y A B F1‎ F2‎ ‎（第9题图）‎ ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = （　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 （　　）‎ A．y=±2x B．y= C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为 （　　）‎ A．或 B．或 ‎ C．或 D．或 ‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是 （　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））双曲线的两条渐近线的方程为_____________.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则_____________‎ ‎【答案】6 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为___.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））设AB是椭圆的长轴,点C在上,且,若AB=4,,则的两个焦点之间的距离为________‎ ‎【答案】. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为___ _____.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部与边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_______.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））椭圆的左.右焦点分别为,焦距为‎2c,若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于__________‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））双曲线的离心率为, 则m等于___9_____.‎ ‎【答案】9 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于 两点,连接,若,则的离心率______.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线的准线方程是_______________‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为_______.‎ ‎【答案】或 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于________.‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.‎ 已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为 ‎(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.‎ ‎[解](1)‎ ‎(2)‎ ‎【答案】[解](1)设椭圆的方程为. ‎ 根据题意知, 解得, ‎ 故椭圆的方程为. ‎ ‎(2)容易求得椭圆的方程为. ‎ 当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; ‎ 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. ‎ 由 得. ‎ 设,则 ‎ ‎ ‎ 因为,所以,即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 解得,即. ‎ 故直线的方程为或. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】解: ‎ 所以,. ‎ 又由已知,, ‎ 所以椭圆C的离心率 ‎ 由知椭圆C的方程为. ‎ 设点Q的坐标为(x,y). ‎ ‎(1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点坐标为 ‎ ‎(2) 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为. ‎ 因为在直线上,可设点的坐标分别为,则 ‎ ‎. 又 ‎ 由,得 ‎ ‎,即 ‎ ‎ ① ‎ 将代入中,得 ‎ ‎ ② ‎ 由得. ‎ 由②可知 ‎ 代入①中并化简,得 ③ ‎ 因为点在直线上,所以,代入③中并化简,得. ‎ 由③及,可知,即. ‎ 又满足,故. ‎ 由题意,在椭圆内部,所以, ‎ 又由有 ‎ 且,则. ‎ 所以点的轨迹方程是,其中,, ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得 ‎ 由题意知,即 又 ‎ 所以, 所以椭圆方程为 ‎ ‎(Ⅱ)由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为, ‎ 所以,而,所以 ‎ ‎(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: ‎ ‎,所以,而,代入中得 ‎ 为定值. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.‎ ‎(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);‎ ‎(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;‎ ‎(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.‎ ‎【答案】:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为; ‎ ‎(2)直线与C2有交点,则 ‎ ‎,若方程组有解,则必须; ‎ 直线与C2有交点,则 ‎ ‎,若方程组有解,则必须 ‎ 故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. ‎ ‎(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在; ‎ 根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则 ‎ ‎ ‎ 直线与圆内部有交点,故 ‎ 化简得,............① ‎ 若直线与曲线C1有交点,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 化简得,.....② ‎ 由①②得, ‎ 但此时,因为,即①式不成立; ‎ 当时,①式也不成立 ‎ 综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点, ‎ 即圆内的点都不是“C1-C2型点” . ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.‎ ‎(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;‎ ‎(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)依题意,过且与x轴垂直的直线方程为 ‎ ‎,直线的方程为 ‎ 设坐标为,由得:,即, ‎ 都在同一条抛物线上,且抛物线方程为 ‎ ‎(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 ‎ 由得 ‎ 此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点 ‎ 设:,则 ‎ ‎ ‎ 又, ‎ 分别带入,解得 ‎ 直线的方程为,即或 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为.‎ ‎(I)若,证明;;‎ ‎(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 所以,成立. (证毕) ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎ ‎ 则, ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点 ‎(1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程.‎ x O y B l1‎ l2‎ P D A ‎（第21题图）‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是; ‎ ‎(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线 ‎,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦; ‎ 由,所以 ‎ ‎,所以 ‎ ‎, ‎ 当时等号成立,此时直线 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆的焦点在轴上 ‎(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ). ‎ ‎(Ⅱ) . ‎ 由. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以动点P过定直线. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. ‎ ‎【答案】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3. ‎ 设动圆的圆心为(,),半径为R.‎ ‎(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4, ‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为. ‎ ‎(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2, ‎ 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ‎ ‎∴当圆P的半径最长时,其方程为, ‎ 当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=. ‎ 当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得. ‎ 当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==. ‎ 当=-时,由图形的对称性可知|AB|=, ‎ 综上,|AB|=或|AB|=. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记 的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)由在椭圆上得, ① ‎ 依题设知,则 ② ‎ ②代入①解得. ‎ 故椭圆的方程为. ‎ ‎(2)方法一:由题意可设的斜率为, ‎ 则直线的方程为 ③ ‎ 代入椭圆方程并整理,得, ‎ 设,则有 ‎ ‎ ④ ‎ 在方程③中令得,的坐标为. ‎ 从而. ‎ 注意到共线,则有,即有. ‎ 所以 ‎ ‎ ⑤ ‎ ④代入⑤得, ‎ 又,所以.故存在常数符合题意. ‎ 方法二:设,则直线的方程为:, ‎ 令,求得, ‎ 从而直线的斜率为, ‎ 联立 ,得, ‎ 则直线的斜率为:,直线的斜率为:, ‎ 所以, ‎ 故存在常数符合题意. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:‎ 的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ ‎(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. ‎ 所以抛物线的方程为. ‎ ‎(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 ‎ 设,(其中),则切线的斜率分别为,, ‎ 所以切线的方程为,即,即 ‎ 同理可得切线的方程为 ‎ 因为切线均过点,所以, ‎ 所以为方程的两组解. ‎ 所以直线的方程为. ‎ ‎(Ⅲ) 由抛物线定义可知,, ‎ 所以 ‎ 联立方程,消去整理得 ‎ 由一元二次方程根与系数的关系可得, ‎ 所以 ‎ 又点在直线上,所以, ‎ 所以 ‎ 所以当时, 取得最小值,且最小值为. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与 轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.‎ ‎(I)当直线与轴重合时,若,求的值;‎ ‎(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.‎ 第21题图 ‎【答案】解:(I), ‎ 解得:(舍去小于1的根) ‎ ‎(II)设椭圆,,直线: ‎ ‎ ‎ 同理可得, ‎ 又和的的高相等 ‎ ‎ ‎ 如果存在非零实数使得,则有, ‎ 即:,解得 ‎ 当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.‎ ‎【答案】解:(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即. 所以菱形OABC的面积是. ‎ ‎(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为. ‎ 由消去并整理得. ‎ 设A,C,则,. ‎ 所以AC的中点为M(,). ‎ 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为. ‎ 因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. ‎ 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. ‎ ‎(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C ‎ ‎(Ⅱ) 点B(-1,0), . ‎ 直线PQ方程为: ‎ ‎ ‎ 所以,直线PQ过定点(1,0) ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知双曲线的左、右焦点分别为 ‎,离心率为直线与的两个交点间的距离为.‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)设过的直线与的左、右两支分别相交于两点,且,证明:成等比数列.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.‎ 已知抛物线 的焦点为.‎ ‎(1)点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)在轴上是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上?如果存在,求所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)设动点的坐标为,点的坐标为,则, ‎ 因为的坐标为,所以, ‎ 由得. ‎ 即 解得 ‎ 代入,得到动点的轨迹方程为. ‎ ‎(2)设点的坐标为.点关于直线的对称点为, ‎ 则 解得 ‎ 若在上,将的坐标代入,得,即或. ‎ 所以存在满足题意的点,其坐标为和. ‎