高考数学复习点拨几类常见排列组合问题解题策略

高考数学复习点拨几类常见排列组合问题解题策略

几类常见排列组合问题解题策略 江苏 张圣官 ‎ 排列组合问题是高中数学中的一个难点，也是高考的必考内容。其思考方法独特，解题思路新颖。如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。在初学阶段，提高学生解排列组合题的有效途径之一是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题。这样有利于学生认别模式，并进而熟练运用。本文列举了八种常见的排列组合典型问题的解题策略，希望能对大家有所帮助。‎ ‎1 重复排列“住店法”‎ ‎ 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。‎ 例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 （ ）‎ ‎ A B C D ‎ ‎ [解析] 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有种不同的结果。选（A）。‎ ‎ [评述]类似问题较多。如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有种结果。要注意这两个问题的区别。‎ ‎2 特色元素“优先法”‎ 某个（或几个）元素要排在指定位置，可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。‎ ‎ 例2乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。‎ ‎[解析]3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有种排法。因此结果为=252种。‎ 例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？‎ ‎[解析]按一定次序排列的一列数叫做数列。由于7个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“‎2”‎，剩下的位置填“‎1”‎（也可先填“‎1”‎再填“‎2”‎）。因此，一共可以组成=21个不同的数列。‎ ‎3 相邻问题“捆绑法”‎ ‎ 把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其余普通元素全排列，是为“捆绑法”，又称为“大元素法”。不过要注意“大元素”内部还需要进行排列。‎ ‎ 例4有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。‎ ‎[解析]将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有 种排法，再将3本数学书之间交换有种，2本外文书之间交换有种，故共有=1440种排法。‎ ‎ [评述]这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。如：7个人排成一排，要求其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”，但甲乙两人位置可对调，而且中间一人可从其余5人中任取，故共有种排法。‎ ‎4 相间问题“插空法”‎ ‎ 元素不相邻问题，先安排好其他元素，然后将不相邻的元素按要求插入排好的元素之间的空位和两端即可。‎ 例5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ）‎ A 6 B ‎12 C 15 D 30‎ ‎[解析]原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有种排法，选（D）。‎ ‎[评述]本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意。请练习以下这道题：马路上有编号为1、2、3、···10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为=20种。你能很快求解吗？‎ ‎5 多元问题“分类法”‎ ‎ 对于多个元素问题，有时有多种情况需要进行分类讨论，然后根据分类计数原理将各种可能性相加即得。需要注意的是，分类时要不重复不遗漏。‎ ‎ 例6 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有____________种（用数字作答）。‎ ‎ [解析]先考虑A种在左边的情况，有三类：A种植在最左边第一垄上时，B有三种不同的种植方法；A种植在左边第二垄上时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄上时，B只有一种种植方法。又B在左边种植的情况与A在左边时相同。故共有=12种不同的选垄方法。‎ ‎ 例7 有11名翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另2人英语、日语都精通。从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出多少张？‎ ‎ [解析]假设先安排英文翻译，后安排日文翻译。第一类，从5名只能翻译英文的人员中选4人任英文翻译，其余6人中选4人任日文翻译（若“多面手”被选中也翻译日文），则有；第二类，从5名只能翻译英文的人员中选3人任英文翻译，另从“多面手”中选1人任英文翻译，其余剩下5人中选4人任日文翻译，有；第三类，从5名只能翻译英文的人员中选2人任英文翻译，另外安排2名“多面手”也任英文翻译，其余剩下4人全部任日文翻译，有。三种情形相加即得结果185（张）。‎ ‎ [评述]本题当然也可以先安排日文翻译再安排英文翻译，请大家自己列式看看。‎ ‎6 分球问题“隔板法”‎ ‎ 计数问题中有一类“分球问题”，说的是将相同的球分到不同的盒中。如：将10个相同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，要求每个盒中至少一个球，问有多少种不同的放法？这时可以用“隔板法”解题。即将10个相同的球排成一排，中间看作有9个空，从中选出3个不同的空插入3个“隔板”，则每一种插法对应一种球的放法，因此共有=84种不同的放法。用“隔板法”可很快地解决以下问题。‎ 例8 已知两个实数集合与，若从A到B的映射f使得B中每一个元素都有原象，且，则这样的映射共有 （ ）‎ ‎ A B C D ‎ ‎ [解析]本题可以将A中的100个元素按的顺序排成一排，中间有99个空，从中选出49个插上隔板就是结果，即，选（D）。‎ ‎7 正难则反“排除法”‎ ‎ 有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果。‎ ‎ 例9 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 （ ）‎ ‎ A 70个 B 64个 C 58个 D 52个 ‎ [解析]直接统计较繁，可从反面入手。从8个顶点中任取4个有种取法，而四点共面的情况有6个表面和6个对角面，因此结果为个，选（C）。‎ 例10 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有 （ ）‎ A 150种 B 147种 C 144种 D 141种 ‎ [解析]10个点任取4个有种取法。其中同一个面内6个点中任意4点共面，有种；又每条棱上3点与对棱中点四点共面，有6种；且各棱中点中4点共面的情形有3种。故10点中取4点，不共面的取法有种，选（D）。‎ ‎8先选后排“综合法”‎ ‎“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。一般地，在排列组合综合问题中，我们总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。‎ 例11 对某产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第5次时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？‎ ‎ [解析]第5次必测出一个次品，其余3个次品在前4次中被测出。从4个中确定最后一个次品有种可能；前4次中应有1个正品3个次品，有 种；前4次测试中的顺序有种。由分步计数原理得种。‎ 例12 四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有___________种（用数字作答）。‎ ‎ [解析]先从4个盒中选1个成为空盒有种。再把4个球分成3组每组至少1个，即分为2，1，1的三组，有种。最后将三组球放入三个盒中，进行全排列有种。因此，放法共有种。‎ ‎ [评述]本题涉及到了“分组问题”，这是组合中一种重要的题型，它有三种情况：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组。以“将6本不同的书分成3组”为例，一是分为1、2、3，是不均匀分组，结果为；一是分为2、2、2，是均匀分组，结果为；一是分为4、1、1，是部分均匀分组，结果为 。‎