2016年天津市高考数学试卷(文科)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2016年天津市高考数学试卷(文科)

‎2016年天津市高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 ‎1.(5分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则A∩B=(  )‎ A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}‎ ‎2.(5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(  )‎ A.﹣y2=1 B.x2﹣=1‎ C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎5.(5分)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 (  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a﹣1|)>f(﹣),则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,) B.(﹣∞,)∪(,+∞)‎ C.(,) D.(,+∞)‎ ‎7.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则•的值为(  )‎ A.﹣ B. C. D.‎ ‎8.(5分)已知函数f(x)=sin2+sinωx﹣(ω>0),x∈R,若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.(0,]∪[,1) C.(0,] D.(0,]∪[,]‎ ‎ ‎ 二、填空题本大题6小题,每题5分,共30分 ‎9.(5分)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为   .‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为   .‎ ‎11.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为   .‎ ‎12.(5分)已知圆C的圆心在x轴正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x﹣y=0的距离为,则圆C的方程为   .‎ ‎13.(5分)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为   .‎ ‎14.(5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,80分 ‎15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=‎ bsinA.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)已知cosA=,求sinC的值.‎ ‎16.(13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料,生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ 肥料 原料 A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元、分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.‎ ‎17.(13分)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=,∠BAD=60°,G为BC的中点.‎ ‎(1)求证:FG∥平面BED;‎ ‎(2)求证:平面BED⊥平面AED;‎ ‎(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ ‎18.(13分)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且﹣=,S6=63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(﹣1)nb}的前2n项和.‎ ‎19.(14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A,已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.‎ ‎20.(14分)设函数f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;‎ ‎(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于.‎ ‎ ‎ ‎2016年天津市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 ‎1.(5分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则A∩B=(  )‎ A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}‎ ‎【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意,将集合B用列举法表示出来,可得B={1,3,5},由交集的定义计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,集合A={1,2,3},而B={y|y=2x﹣1,x∈A},‎ 则B={1,3,5},‎ 则A∩B={1,3},‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查集合的运算,注意集合B的表示方法.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 ‎【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件.‎ ‎∴根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率P=+=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式,关键是判断出事件的关系,然后选择合适的概率公式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有 ‎【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图,找出所切棱锥的位置,得出答案.‎ ‎【解答】解:由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C,‎ 棱CD1在左侧面的投影为BA1,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了棱锥,棱柱的结构特征,三视图,考查空间想象能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(  )‎ A.﹣y2=1 B.x2﹣=1‎ C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 ‎【分析】利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,求出几何量a,b,c,即可求出双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2,‎ ‎∴c=,‎ ‎∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,‎ ‎∴=,‎ ‎∴a=2b,‎ ‎∵c2=a2+b2,‎ ‎∴a=2,b=1,‎ ‎∴双曲线的方程为=1.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查待定系数法的运用,确定双曲线的几何量是关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 (  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有 ‎【分析】直接根据必要性和充分判断即可.‎ ‎【解答】解:设x>0,y∈R,当x>0,y=﹣1时,满足x>y但不满足x>|y|,故由x>0,y∈R,则“x>y”推不出“x>|y|”,‎ 而“x>|y|”⇒“x>y”,‎ 故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a﹣1|)>f(﹣),则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,) B.(﹣∞,)∪(,+∞)‎ C.(,) D.(,+∞)‎ ‎【考点】3E:函数单调性的性质与判断.菁优网版权所有 ‎【分析】根据函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)递减,故只需令2|a﹣1|<即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.‎ ‎∵2|a﹣1|>0,f(﹣)=f(),‎ ‎∴2|a﹣1|<=2.‎ ‎∴|a﹣1|,‎ 解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性的性质,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)已知△‎ ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则•的值为(  )‎ A.﹣ B. C. D.‎ ‎【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有 ‎【分析】由题意画出图形,把、都用表示,然后代入数量积公式得答案.‎ ‎【解答】解:如图,‎ ‎∵D、E分别是边AB、BC的中点,且DE=2EF,‎ ‎∴•==‎ ‎==‎ ‎===‎ ‎=.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量加减法的三角形法则,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)已知函数f(x)=sin2+sinωx﹣(ω>0),x∈R,若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.(0,]∪[,1) C.(0,] D.(0,]∪[,]‎ ‎【考点】52:函数零点的判定定理.菁优网版权所有 ‎【分析】函数f(x)=,由f(x)=0,可得=0,解得x=∉(π,2π),因此ω∉∪∪∪…=∪,即可得出.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=+sinωx﹣=+sinωx=,‎ 由f(x)=0,可得=0,‎ 解得x=∉(π,2π),‎ ‎∴ω∉∪∪∪…=∪,‎ ‎∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,‎ ‎∴ω∈∪.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题本大题6小题,每题5分,共30分 ‎9.(5分)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为 1 .‎ ‎【考点】A1:虚数单位i、复数.菁优网版权所有 ‎【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ ‎【解答】解:由(1+i)z=2,‎ 得,‎ ‎∴z的实部为1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为 3 .‎ ‎【考点】63:导数的运算.菁优网版权所有 ‎【分析】先求导,再带值计算.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=(2x+1)ex,‎ ‎∴f′(x)=2ex+(2x+1)ex,‎ ‎∴f′(0)=2e0+(2×0+1)e0=2+1=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为 4 .‎ ‎【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有 ‎【分析】根据循环结构,结合循环的条件,求出最后输出S的值.‎ ‎【解答】解:第一次循环:S=8,n=2;‎ 第二次循环:S=2,n=3;‎ 第三次循环:S=4,n=4,‎ 结束循环,输出S=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题主要考查程序框图,循环结构,注意循环的条件,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知圆C的圆心在x轴正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x﹣y=0的距离为,则圆C的方程为 (x﹣2)2+y2=9 .‎ ‎【考点】J1:圆的标准方程.菁优网版权所有 ‎【分析】由题意设出圆的方程,把点M的坐标代入圆的方程,结合圆心到直线的距离列式求解.‎ ‎【解答】解:由题意设圆的方程为(x﹣a)2+y2=r2(a>0),‎ 由点M(0,)在圆上,且圆心到直线2x﹣y=0的距离为,‎ 得,解得a=2,r=3.‎ ‎∴圆C的方程为:(x﹣2)2+y2=9.‎ 故答案为:(x﹣2)2+y2=9.‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为  .‎ ‎【考点】NC:与圆有关的比例线段.菁优网版权所有 ‎【分析】由BD=ED,可得△BDE为等腰三角形,过D作DH⊥‎ AB于H,由相交弦定理求得DH,在Rt△DHE中求出DE,再由相交弦定理求得CE.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 过D作DH⊥AB于H,‎ ‎∵BE=2AE=2,BD=ED,‎ ‎∴BH=HE=1,则AH=2,BH=1,‎ ‎∴DH2=AH•BH=2,则DH=,‎ 在Rt△DHE中,则,‎ 由相交弦定理可得:CE•DE=AE•EB,‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查相交弦定理的应用,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 [,) .‎ ‎【考点】5B:分段函数的应用.菁优网版权所有 ‎【分析】由减函数可知f(x)在两段上均为减函数,且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值,作出|f(x)|和y=2﹣的图象,根据交点个数判断3a与2的大小关系,列出不等式组解出.‎ ‎【解答】解:∵f(x)是R上的单调递减函数,‎ ‎∴y=x2+(4a﹣3)x+3a在(﹣∞.,0)上单调递减,y=loga(x+1)+1在(0,+∞)上单调递减,‎ 且f(x)在(﹣∞,0)上的最小值大于或等于f(0).‎ ‎∴,解得≤a≤.‎ 作出y=|f(x)|和y=2﹣的函数草图如图所示:‎ 由图象可知|f(x)|=2﹣在[0,+∞)上有且只有一解,‎ ‎∵|f(x)|=2﹣恰有两个不相等的实数解,‎ ‎∴x2+(4a﹣3)x+3a=2﹣在(﹣∞,0)上只有1解,‎ 即x2+(4a﹣)x+3a﹣2=0在(﹣∞,0)上只有1解,‎ ‎∴或,‎ 解得a=或a<,‎ 又≤a≤,∴.‎ 故答案为[,).‎ ‎【点评】本题考查了分段函数的单调性,函数零点的个数判断,结合函数函数图象判断端点值的大小是关键,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,80分 ‎15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=‎ bsinA.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)已知cosA=,求sinC的值.‎ ‎【考点】HU:解三角形.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)利用正弦定理将边化角即可得出cosB;‎ ‎(2)求出sinA,利用两角和的正弦函数公式计算.‎ ‎【解答】解:(1)∵asin2B=bsinA,‎ ‎∴2sinAsinBcosB=sinBsinA,‎ ‎∴cosB=,∴B=.‎ ‎(2)∵cosA=,∴sinA=,‎ ‎∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==.‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理解三角形,两角和的正弦函数,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎16.(13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料,生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ 肥料 原料 A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元、分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.‎ ‎【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 ‎【分析】(Ⅰ)设出变量,建立不等式关系,即可作出可行域.‎ ‎(Ⅱ)设出目标函数,利用平移直线法进行求解即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由已知x,y满足不等式,则不等式对应的平面区域为,‎ ‎(Ⅱ)设年利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y,即y=﹣x+,‎ 平移直线y=﹣x+,由图象得当直线经过点M时,直线的截距最大,此时z最大,‎ 由得,即M(20,24),‎ 此时z=40+72=112,‎ 即分别生产甲肥料20车皮,乙肥料24车皮,能够产生最大的利润,最大利润为112万元.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件建立约束条件,作出可行域,利用平移法是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=,∠BAD=60°,G为BC的中点.‎ ‎(1)求证:FG∥平面BED;‎ ‎(2)求证:平面BED⊥平面AED;‎ ‎(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ ‎【考点】LS:直线与平面平行;LY:平面与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)利用中位线定理,和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形,再根据线面平行的判定定理即可证明;‎ ‎(2)根据余弦定理求出BD=,继而得到BD⊥AD,再根据面面垂直的判定定理即可证明;‎ ‎(3)先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角,再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案.‎ ‎【解答】证明:(1)BD的中点为O,连接OE,OG,在△BCD中,‎ ‎∵G是BC的中点,‎ ‎∴OG∥DC,且OG=DC=1,‎ 又∵EF∥AB,AB∥DC,‎ ‎∴EF∥OG,且EF=OG,‎ 即四边形OGEF是平行四边形,‎ ‎∴FG∥OE,‎ ‎∵FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,‎ ‎∴FG∥平面BED;‎ ‎(2)证明:在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,‎ 由余弦定理可得BD=,仅而∠ADB=90°,‎ 即BD⊥AD,‎ 又∵平面AED⊥平面ABCD,‎ BD⊂平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,‎ ‎∴BD⊥平面AED,‎ ‎∵BD⊂平面BED,‎ ‎∴平面BED⊥平面AED.‎ ‎(Ⅲ)∵EF∥AB,‎ ‎∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角,‎ 过点A作AH⊥DE于点H,连接BH,‎ 又平面BED∩平面AED=ED,‎ 由(2)知AH⊥平面BED,‎ ‎∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH,‎ 在△ADE,AD=1,DE=3,AE=,由余弦定理得cos∠ADE=,‎ ‎∴sin∠ADE=,‎ ‎∴AH=AD•,‎ 在Rt△AHB中,sin∠ABH==,‎ ‎∴直线EF与平面BED所成角的正弦值 ‎【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直,平面与平面的垂直,直线与平面所成的角,考查了空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且﹣=,S6=63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(﹣1)‎ nb}的前2n项和.‎ ‎【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比q,利用求和公式解出a1,得出通项公式;‎ ‎(2)利用对数的运算性质求出bn,使用分项求和法和平方差公式计算.‎ ‎【解答】解:(1)设{an}的公比为q,则﹣=,即1﹣=,‎ 解得q=2或q=﹣1.‎ 若q=﹣1,则S6=0,与S6=63矛盾,不符合题意.∴q=2,‎ ‎∴S6==63,∴a1=1.‎ ‎∴an=2n﹣1.‎ ‎(2)∵bn是log2an和log2an+1的等差中项,‎ ‎∴bn=(log2an+log2an+1)=(log22n﹣1+log22n)=n﹣.‎ ‎∴bn+1﹣bn=1.‎ ‎∴{bn}是以为首项,以1为公差的等差数列.‎ 设{(﹣1)nbn2}的前2n项和为Tn,则 Tn=(﹣b12+b22)+(﹣b32+b42)+…+(﹣b2n﹣12+b2n2)‎ ‎=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n ‎==‎ ‎=2n2.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列,等比数列的性质,分项求和的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A,已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.‎ ‎【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入+=,转化为关于a的方程,解方程求得a值,则椭圆方程可求;‎ ‎(2)由已知设直线l的方程为y=k(x﹣2),(k≠0),联立直线方程和椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求得B的坐标,再写出MH所在直线方程,求出H的坐标,由BF⊥HF,得,整理得到M的坐标与k的关系,由∠MOA=∠MAO,得到x0=1,转化为关于k的等式求得k的值.‎ ‎【解答】解:(1)由+=,‎ 得+=,‎ 即=,‎ ‎∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3),解得a=2.‎ ‎∴椭圆方程为;‎ ‎(2)由已知设直线l的方程为y=k(x﹣2),(k≠0),‎ 设B(x1,y1),M(x0,k(x0﹣2)),‎ ‎∵∠MOA=∠MAO,‎ ‎∴x0=1,‎ 再设H(0,yH),‎ 联立,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.‎ ‎△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2)(16k2﹣12)=144>0.‎ 由根与系数的关系得,‎ ‎∴,,‎ MH所在直线方程为y﹣k(x0﹣2)=﹣(x﹣x0),‎ 令x=0,得yH=(k+)x0﹣2k,‎ ‎∵BF⊥HF,‎ ‎∴,‎ 即1﹣x1+y1yH=1﹣[(k+)x0﹣2k]=0,‎ 整理得:=1,即8k2=3.‎ ‎∴k=﹣或k=.‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)设函数f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;‎ ‎(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于.‎ ‎【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)求出f(x)的导数,讨论a≤0时f′(x)≥0,f(x)在R上递增;当a>0时,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间;‎ ‎(2)由条件判断出a>0,且x0≠0,由f′(x0)=0求出x0,分别代入解析式化简f(x0),f(﹣2x0),化简整理后可得证;‎ ‎(3)设g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值M,根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论,运用f(x)单调性和前两问的结论,求出g(x)在区间上的取值范围,利用a的范围化简整理后求出M,再利用不等式的性质证明结论成立.‎ ‎【解答】解:(1)若f(x)=x3﹣ax﹣b,则f′(x)=3x2﹣a,‎ 分两种情况讨论:‎ ‎①、当a≤0时,有f′(x)=3x2﹣a≥0恒成立,‎ 此时f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞),‎ ‎②、当a>0时,令f′(x)=3x2﹣a=0,解得x=或x=,‎ 当x>或x<﹣时,f′(x)=3x2﹣a>0,f(x)为增函数,‎ 当﹣<x<时,f′(x)=3x2﹣a<0,f(x)为减函数,‎ 故f(x)的增区间为(﹣∞,﹣),(,+∞),减区间为(﹣,);‎ ‎(2)若f(x)存在极值点x0,则必有a>0,且x0≠0,‎ 由题意可得,f′(x)=3x2﹣a,则x02=,‎ 进而f(x0)=x03﹣ax0﹣b=﹣x0﹣b,‎ 又f(﹣2x0)=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣x0+2ax0﹣b=f(x0),‎ 由题意及(Ⅰ)可得:存在唯一的实数x1,满足f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,‎ 则有x1=﹣2x0,故有x1+2x0=0;‎ ‎(Ⅲ)设g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值M,max{x,y}‎ 表示x、y两个数的最大值,‎ 下面分三种情况讨论:‎ ‎①当a≥3时,﹣≤﹣1<1≤,‎ 由(I)知f(x)在区间[﹣1,1]上单调递减,‎ 所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(1),f(﹣1)],‎ 因此M=max{|f(1)|,|f(﹣1)|}=max{|1﹣a﹣b|,|﹣1+a﹣b|}‎ ‎=max{|a﹣1+b|,|a﹣1﹣b|}=,‎ 所以M=a﹣1+|b|≥2‎ ‎②当a<3时,,‎ 由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)≥=f(),f(1)≤=,‎ 所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(),f(﹣)],‎ 因此M=max{|f()|,|f(﹣)|}=max{||,||}‎ ‎=max{||,||}=,‎ ‎③当0<a<时,,‎ 由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)<=f(),f(1)>=,‎ 所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(﹣1),f(1)],‎ 因此M=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=max{|﹣1+a﹣b|,|1﹣a﹣b|}‎ ‎=max{|1﹣a+b|,|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|>,‎ 综上所述,当a>0时,g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于.‎ ‎【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和最值,不等式的证明,注意运用分类讨论的思想方法和转化思想,考查分析法在证明中的应用,以及化简整理、运算能力,属于难题.‎ ‎ ‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档