高考数学第二轮复习数列典型例题

高考数学第二轮复习数列典型例题

‎1 已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）． ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；‎ ‎（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn 求证：．‎ 解：（Ⅰ）∴ 当时， ，即是等比数列． ∴； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，‎ ‎ 则有而 故，解得， ‎ 再将代入得成立， ‎ 所以． ‎ ‎（III）证明：由（Ⅱ）知，所以 ， ‎ 由得 所以， ‎ 从而 ．‎ 即． ‎ ‎2 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的通项公式。‎ 解：（I），，，因为，，成等比数列，‎ 所以，解得或．‎ 当时，，不符合题意舍去，故． ‎ ‎（II）当时，由于，， ‎ ，所以。‎ 又，，故．当n=1时，上式也成立，所以 ‎3 已知数列中， ‎（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；‎ ‎（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。‎ 解：（1）∵，∴ ‎ ‎∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列。 ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） 当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－48‎ ‎4 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.‎ ‎ （1） 求数列，的通项公式；‎ ‎ （2） 记,求证：.‎ 解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程的两根，且数列的公差d>0，‎ ‎∴a3=5，a5=9，公差 ‎∴ ‎ 又当n=1时，有b1=S1=1－ 当 ‎∴数列{bn}是等比数列， ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎∴ ‎∴ ‎ ‎5 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．‎ ‎ （1）求数列的通项公式．‎ ‎ （2）若，求数列的前项和．‎ ‎ （3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.‎ 解：（1）点都在函数的图像上，,‎ 当时， 当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为 ‎ ‎ （2）由求导可得 过点的切线的斜率为，.‎ .‎ ①‎ 由①×4，得 ②‎ ‎①-②得： ‎ ‎ （3）,.‎ 又，其中是中的最小数，.‎ 是公差是4的倍数，.‎ 又，,解得ｍ＝27.‎ 所以，‎ 设等差数列的公差为，则 ，所以的通项公式为 ‎6 已知是数列的前项和，，且，其中. ‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求 .‎ 解：① ‎　　　　　 ‎ 又也满足上式，（）‎ 数列是公比为2，首项为的等比数列 ‎ ‎ ‎② ‎② ‎　 ‎　　 ‎ ‎7 函数对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）数列的通项公式。‎ ‎ （3）令试比较Tn与Sn的大小。‎ 解：（1）令 令 ‎（2） 又，两式相加 是等差数列 ‎（3） ‎8、已知数列中，其前n项和为 满足．‎ ‎（1）试求数列的通项公式．‎ ‎（2）令是数列的前n项和，证明：．‎ ‎（3）证明:对任意的，均存在，使得（2）中的成立．‎ 解：（1）由得 ，，即 又， 故数列的通项公式为． ‎ ‎（2） ‎ ‎（3）证明：由（2）可知 若,则得,化简得 ， 当，即 ‎ 当，即 ，取即可,‎ 综上可知,对任意的均存在使得时（2）中的成立 ‎9 已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1＝2,nan＋1＝Sn＋n(n＋1).‎ ‎ （1）求数列；‎ ‎ （2）设 解：（1） ‎ ‎ （2） ‎ ‎10 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标是(，－)，且f(3)＝2‎ ‎ （1）求y＝f(x)的表达式，并求出f(1),f(2)的值；‎ ‎ （2）数列，若对任意的实数，其中是定义在实数集R上的一个函数，求数列的通项公式；‎ 解：（1） ‎ ‎ （2）令 ‎11 已知数列{an}满足a1＝5,a2＝5,an＋1＝an＋6an－1(n≥2且n∈N*)‎ ‎ （1）求出所有使数列值，并说明理由；‎ ‎ （2）求数列的通项公式；‎ ‎ （3）求证： 解：（1） ‎ （2） ‎ （3）当时，‎ ‎12 已知数列，满足，数列的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：当时，．‎ 解：（1）由，得，代入，得，‎ ‎ 整理，得,从而有，，‎ ‎ 是首项为1，公差为1的等差数列，即. ‎ ‎（2）， ，‎ ‎ ，‎ ‎ ， . ‎ ‎（3），.‎ 由（2）知，，‎ .‎ ‎ ‎ ‎13 已知数列的首项，前项和为，且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，点B分所成的比为，设 。‎ ‎⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎⑵ 设，证明：。‎ ‎⑴由题意得 ‎ 数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 ‎ ‎[则（）]‎ ‎⑵由及得 ‎ 则 ‎ ‎ ‎14 已知各项均为正数的数列满足且是、的等差中项 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求使成立的正整数的最小值。‎ 解： ‎ 数列的各项均为正数，，‎ ‎ 即 数列是以2为公比的等比数列。‎ ‎ 是的等差中项， ‎ ‎ 数列的通项公式为 ‎ （2）由（1）及，得，（6分）‎ ‎ ①‎ ②‎ ‎②-①得， 要使成立，只需成立，即 成立的正整数n的最小值为5。‎ ‎15 已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，。‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2）若对一切都有，求的取值范围。‎ 解：（1） ‎ 当时，.　　　 ‎ 当≥2时，=，‎ 　　　　　　　　　　　　　 ‎ 此时·=·，‎ ……= ‎ 设……+，‎ ……＋，‎ 　 ‎ ‎（2）由可得 当时，由 可得， ‎ 对一切都成立，此时的解为. ‎ 当时，由 可得 ≥ 对一切都成立，‎ 此时的解为.　　　　　　　　　　　　 ‎ 由，可知，对一切都有的的取值范围是或.‎ ‎16 设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 ‎ （1）求数列和的通项公式；‎ ‎ （2）设，求数列的前n项和。‎ 解：（1）：当 故{an}的通项公式为的等差数列.‎ 设{bn}的通项公式为 故 ‎ ‎（2） 两式相减得 ‎17 设不等式所表示的平面区域为，记内的格点（，）（、∈z）的个数为（∈）.‎ ‎ （Ⅰ） 求，的值及的表达式；‎ ‎（Ⅱ）记，若对于任意∈，总有≤m成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ） 设为数列｛｝的前项和，其中＝，问是否存在正整数、t，使 ＜成立？若存在，求出正整数，t；若不存在，请说明理由.‎ 解：（Ⅰ）＝3，＝6. ‎ 由＞0，0＜≤，得0＜＜3，又∈，∴＝1，或＝2.‎ 当＝1，0＜≤2时，共有2个格点；‎ 当＝2，0＜≤时，共有个格点. ‎ 故　. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知＝，则－＝.‎ ‎∴当≥3时，＜.‎ 又＝9＜＝＝，所以≤，故≥. ‎ ‎（Ⅲ）假设存在满足题意的和，‎ 由（1）知＝＝，故. ‎ 则＜.‎ 变形得＜，即＜0.‎ ‎∴1＜（8－）＜15.‎ 由于、均为正整数，所以＝＝1. ‎ 附:, .‎ 当时, 由,得,.‎ 当时, ,由,得,不存在.‎ 所以＝＝1.‎ ‎18 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为数列{}的前n项和为，点均在函数的图像上.‎ ‎ （I）求数列{}的通项公式；‎ ‎ （II）设，的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.‎ 解：（I）设这二次函数，‎ 由于，得 ‎ 又因为点的图像上，‎ 所以 当 ‎ ‎ （II）由（I）得知 ‎ 故 ‎ 因此，要使，必须且仅须满足 即， ‎ 所以满足要求的最小正整数m为10。 ‎ ‎19 数列，由下列条件确定：①a1＜0，b1＜0.②当k≥2时，ak和bk满足下列条件：当.‎ ‎ （1）若，，分别写出{an}、{bn}的前四项. ‎ ‎ （2）证明数列{ak－bk}是等比数列.‎ ‎ （3）设是满足b1＞b2＞…＞bn的最大整数时，用a1、b1表示n满足的条件.‎ 解：（1） ‎（2）当时， 当时， 又，∴数列是等比数列.‎ ‎（3）当b1＞b2＞…＞bn（n≥2）时，bk≠bk-1(2≤k≤n).‎ 由（2）知：不成立，.‎ 从而对于2≤k≤n有ak=ak-1,bk= 于是 若，则 这与是满足b1＞b2＞…＞bn（n≥2）的最大整数矛盾.‎ ‎∴n是满足的最小整数.‎ n是满足大于的最小整数 ‎20 已知函数的定义域为，且同时满足：对任意，总有，； 若，且，则有．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）试求的最大值；‎ ‎（3）设数列的前项和为，且满足，‎ ‎ 求证：．‎ 解：（1）令，则，又由题意，有 ‎ ‎ ‎ （2）任取 且，则0< ‎ ‎ 的最大值为 ‎ ‎ （3）由 ‎ 又由 ‎ 数列为首项为1，公比为的等比数列， ‎ ‎ 当时，，不等式成立，‎ ‎ 当时， ‎ ， ‎ 不等式成立 ‎ 假设时，不等式成立。‎ ‎ 即 ‎ 则 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 时，不等式成立 ‎ 故 对 ，原不等式成立。 ‎ ‎17 已知数列的前n项和为且，数列满足且．‎ ‎（１）求的通项公式；‎ ‎（２）求证：数列为等比数列;‎ ‎（３）求前n项和的最小值．‎ 解： (1)由得, ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)∵,∴,‎ ‎∴;‎ ‎ ∴由上面两式得,又 ‎∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列. ‎ ‎(3)由(2)得，∴‎ ‎= ，∴是递增数列 ‎ 当n=1时, <0；当n=2时, <0；当n=3时, <0；当n=4时, >0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.‎ 且 ‎