高考数学第二轮复习数列典型例题

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高考数学第二轮复习数列典型例题

‎1 已知数列的前n项和满足:(a为常数,且). ‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求a的值;‎ ‎(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设,数列的前n项和为Tn 求证:.‎ 解:(Ⅰ)∴ 当时, ,即是等比数列. ∴; ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,若为等比数列,‎ ‎ 则有而 故,解得, ‎ 再将代入得成立, ‎ 所以. ‎ ‎(III)证明:由(Ⅱ)知,所以 , ‎ 由得 所以, ‎ 从而 .‎ 即. ‎ ‎2 数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列。‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)求的通项公式。‎ 解:(I),,,因为,,成等比数列,‎ 所以,解得或.‎ 当时,,不符合题意舍去,故. ‎ ‎(II)当时,由于,, ‎ ,所以。‎ 又,,故.当n=1时,上式也成立,所以 ‎3 已知数列中, ‎(1)求证:数列与都是等比数列;(2)求数列前的和;‎ ‎(3)若数列前的和为,不等式对恒成立,求的最大值。‎ 解:(1)∵,∴ ‎ ‎∴数列是以1为首项,为公比的等比数列;‎ 数列是以为首项,为公比的等比数列。 ‎ ‎(2) ‎ ‎(3) 当且仅当时取等号,所以,即,∴的最大值为-48‎ ‎4 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为,且.‎ ‎ (1) 求数列,的通项公式;‎ ‎ (2) 记,求证:.‎ 解:(Ⅰ)∵a3,a5是方程的两根,且数列的公差d>0,‎ ‎∴a3=5,a5=9,公差 ‎∴ ‎ 又当n=1时,有b1=S1=1- 当 ‎∴数列{bn}是等比数列, ‎∴ ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ‎ ‎∴ ‎∴ ‎ ‎5 已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图像上,且过点的切线的斜率为.‎ ‎ (1)求数列的通项公式.‎ ‎ (2)若,求数列的前项和.‎ ‎ (3)设,等差数列的任一项,其中是中的最小数,,求的通项公式.‎ 解:(1)点都在函数的图像上,,‎ 当时, 当n=1时,满足上式,所以数列的通项公式为 ‎ ‎ (2)由求导可得 过点的切线的斜率为,.‎ .‎ ①‎ 由①×4,得 ②‎ ‎①-②得: ‎ ‎ (3),.‎ 又,其中是中的最小数,.‎ 是公差是4的倍数,.‎ 又,,解得m=27.‎ 所以,‎ 设等差数列的公差为,则 ,所以的通项公式为 ‎6 已知是数列的前项和,,且,其中. ‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求 .‎ 解:① ‎      ‎ 又也满足上式,()‎ 数列是公比为2,首项为的等比数列 ‎ ‎ ‎② ‎② ‎  ‎   ‎ ‎7 函数对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=.‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)数列的通项公式。‎ ‎ (3)令试比较Tn与Sn的大小。‎ 解:(1)令 令 ‎(2) 又,两式相加 是等差数列 ‎(3) ‎8、已知数列中,其前n项和为 满足.‎ ‎(1)试求数列的通项公式.‎ ‎(2)令是数列的前n项和,证明:.‎ ‎(3)证明:对任意的,均存在,使得(2)中的成立.‎ 解:(1)由得 ,,即 又, 故数列的通项公式为. ‎ ‎(2) ‎ ‎(3)证明:由(2)可知 若,则得,化简得 , 当,即 ‎ 当,即 ,取即可,‎ 综上可知,对任意的均存在使得时(2)中的成立 ‎9 已知数列{an}的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).‎ ‎ (1)求数列;‎ ‎ (2)设 解:(1) ‎ ‎ (2) ‎ ‎10 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象顶点坐标是(,-),且f(3)=2‎ ‎ (1)求y=f(x)的表达式,并求出f(1),f(2)的值;‎ ‎ (2)数列,若对任意的实数,其中是定义在实数集R上的一个函数,求数列的通项公式;‎ 解:(1) ‎ ‎ (2)令 ‎11 已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2且n∈N*)‎ ‎ (1)求出所有使数列值,并说明理由;‎ ‎ (2)求数列的通项公式;‎ ‎ (3)求证: 解:(1) ‎ (2) ‎ (3)当时,‎ ‎12 已知数列,满足,数列的前项和为.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求证:;‎ ‎(Ⅲ)求证:当时,.‎ 解:(1)由,得,代入,得,‎ ‎ 整理,得,从而有,,‎ ‎ 是首项为1,公差为1的等差数列,即. ‎ ‎(2), ,‎ ‎ ,‎ ‎ , . ‎ ‎(3),.‎ 由(2)知,,‎ .‎ ‎ ‎ ‎13 已知数列的首项,前项和为,且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标,点B分所成的比为,设 。‎ ‎⑴ 判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;‎ ‎⑵ 设,证明:。‎ ‎⑴由题意得 ‎ 数列是以为首项,以2为公比的等比数列。 ‎ ‎[则()]‎ ‎⑵由及得 ‎ 则 ‎ ‎ ‎14 已知各项均为正数的数列满足且是、的等差中项 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求使成立的正整数的最小值。‎ 解: ‎ 数列的各项均为正数,,‎ ‎ 即 数列是以2为公比的等比数列。‎ ‎ 是的等差中项, ‎ ‎ 数列的通项公式为 ‎ (2)由(1)及,得,(6分)‎ ‎ ①‎ ②‎ ‎②-①得, 要使成立,只需成立,即 成立的正整数n的最小值为5。‎ ‎15 已知,且,数列的前项和为,它满足条件.数列中,。‎ ‎(1)求数列的前项和;‎ ‎(2)若对一切都有,求的取值范围。‎ 解:(1) ‎ 当时,.    ‎ 当≥2时,=,‎               ‎ 此时·=·,‎ ……= ‎ 设……+,‎ ……+,‎   ‎ ‎(2)由可得 当时,由 可得, ‎ 对一切都成立,此时的解为. ‎ 当时,由 可得 ≥ 对一切都成立,‎ 此时的解为.             ‎ 由,可知,对一切都有的的取值范围是或.‎ ‎16 设数列的前n项和为Sn=2n2,为等比数列,且 ‎ (1)求数列和的通项公式;‎ ‎ (2)设,求数列的前n项和。‎ 解:(1):当 故{an}的通项公式为的等差数列.‎ 设{bn}的通项公式为 故 ‎ ‎(2) 两式相减得 ‎17 设不等式所表示的平面区域为,记内的格点(,)(、∈z)的个数为(∈).‎ ‎ (Ⅰ) 求,的值及的表达式;‎ ‎(Ⅱ)记,若对于任意∈,总有≤m成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(Ⅲ) 设为数列{}的前项和,其中=,问是否存在正整数、t,使 <成立?若存在,求出正整数,t;若不存在,请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)=3,=6. ‎ 由>0,0<≤,得0<<3,又∈,∴=1,或=2.‎ 当=1,0<≤2时,共有2个格点;‎ 当=2,0<≤时,共有个格点. ‎ 故 . ‎ ‎(Ⅱ)由(1)知=,则-=.‎ ‎∴当≥3时,<.‎ 又=9<==,所以≤,故≥. ‎ ‎(Ⅲ)假设存在满足题意的和,‎ 由(1)知==,故. ‎ 则<.‎ 变形得<,即<0.‎ ‎∴1<(8-)<15.‎ 由于、均为正整数,所以==1. ‎ 附:, .‎ 当时, 由,得,.‎ 当时, ,由,得,不存在.‎ 所以==1.‎ ‎18 已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为数列{}的前n项和为,点均在函数的图像上.‎ ‎ (I)求数列{}的通项公式;‎ ‎ (II)设,的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m.‎ 解:(I)设这二次函数,‎ 由于,得 ‎ 又因为点的图像上,‎ 所以 当 ‎ ‎ (II)由(I)得知 ‎ 故 ‎ 因此,要使,必须且仅须满足 即, ‎ 所以满足要求的最小正整数m为10。 ‎ ‎19 数列,由下列条件确定:①a1<0,b1<0.②当k≥2时,ak和bk满足下列条件:当.‎ ‎ (1)若,,分别写出{an}、{bn}的前四项. ‎ ‎ (2)证明数列{ak-bk}是等比数列.‎ ‎ (3)设是满足b1>b2>…>bn的最大整数时,用a1、b1表示n满足的条件.‎ 解:(1) ‎(2)当时, 当时, 又,∴数列是等比数列.‎ ‎(3)当b1>b2>…>bn(n≥2)时,bk≠bk-1(2≤k≤n).‎ 由(2)知:不成立,.‎ 从而对于2≤k≤n有ak=ak-1,bk= 于是 若,则 这与是满足b1>b2>…>bn(n≥2)的最大整数矛盾.‎ ‎∴n是满足的最小整数.‎ n是满足大于的最小整数 ‎20 已知函数的定义域为,且同时满足:对任意,总有,; 若,且,则有.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)试求的最大值;‎ ‎(3)设数列的前项和为,且满足,‎ ‎ 求证:.‎ 解:(1)令,则,又由题意,有 ‎ ‎ ‎ (2)任取 且,则0< ‎ ‎ 的最大值为 ‎ ‎ (3)由 ‎ 又由 ‎ 数列为首项为1,公比为的等比数列, ‎ ‎ 当时,,不等式成立,‎ ‎ 当时, ‎ , ‎ 不等式成立 ‎ 假设时,不等式成立。‎ ‎ 即 ‎ 则 当时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 时,不等式成立 ‎ 故 对 ,原不等式成立。 ‎ ‎17 已知数列的前n项和为且,数列满足且.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求证:数列为等比数列;‎ ‎(3)求前n项和的最小值.‎ 解: (1)由得, ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)∵,∴,‎ ‎∴;‎ ‎ ∴由上面两式得,又 ‎∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列. ‎ ‎(3)由(2)得,∴‎ ‎= ,∴是递增数列 ‎ 当n=1时, <0;当n=2时, <0;当n=3时, <0;当n=4时, >0,所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.‎ 且 ‎
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