2018年江苏数学高考试卷含答案和解析

2018年江苏数学高考试卷含答案和解析

‎2018年江苏数学高考试卷 参考公式：‎ 锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，那么 ▲ ．‎ ‎2．若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 ▲ ．‎ ‎3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．‎ ‎4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ▲ ．‎ ‎5．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ‎ ▲ ．‎ ‎7．已知函数的图象关于直线对称，则的值是 ▲ ．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ▲ ．‎ ‎9．函数满足，且在区间上， 则的值为 ‎ ▲ ．‎ ‎10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．‎ ‎11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ▲ ．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ▲ ．‎ ‎13．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在平行六面体中，．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知为锐角，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．‎ ‎（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；‎ ‎（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，‎ 求直线l的方程．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”． ‎ ‎（1）证明：函数与不存在“S点”；‎ ‎（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；‎ ‎（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．‎ ‎（1）设，若对均成立，求d的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若，求 BC 的长．‎ B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵．‎ ‎（1）求的逆矩阵；‎ ‎（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．‎ C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)‎ 若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．‎ ‎（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．‎ ‎23．(本小题满分10分)‎ 设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s0），‎ 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）‎ ‎=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．‎ 设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），‎ 则．‎ 令，得θ=，‎ 当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；‎ 当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，‎ 因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．‎ 答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ ‎18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．‎ 解：（1）因为椭圆C的焦点为，‎ 可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，‎ 所以，解得 因此，椭圆C的方程为．‎ 因为圆O的直径为，所以其方程为．‎ ‎（2）①设直线l与圆O相切于，则，‎ 所以直线l的方程为，即．‎ 由，消去y，得 ‎．（*）‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ 因此，点P的坐标为．‎ ‎②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．‎ 设，‎ 由（*）得，‎ 所以 ‎．‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 解得舍去），则，因此P的坐标为．‎ 综上，直线l的方程为． ‎ ‎19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．‎ 解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．‎ 由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得 ‎，此方程组无解，‎ 因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．‎ ‎（2）函数，，‎ 则．‎ 设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得 ‎，即，（*）‎ 得，即，则．‎ 当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．‎ 因此，a的值为．‎ ‎（3）对任意a>0，设．‎ 因为，且h（x）的图象是不间断的，‎ 所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．‎ 函数，‎ 则．‎ 由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得 ‎，即（**）‎ 此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．‎ 因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．‎ ‎20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．‎ 解：（1）由条件知：．‎ 因为对n=1，2，3，4均成立，‎ 即对n=1，2，3，4均成立，‎ 即11，1d3，32d5，73d9，得．‎ 因此，d的取值范围为． ‎ ‎（2）由条件知：．‎ 若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，‎ 即，‎ 即当时，d满足． 因为，则，‎ 从而，，对均成立．‎ 因此，取d=0时，对均成立．‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．‎ ‎①当时，， 当时，有，从而．‎ 因此，当时，数列单调递增，‎ 故数列的最大值为．‎ ‎②设，当x>0时，，‎ 所以单调递减，从而

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