计数原理20122018高考真题

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计数原理20122018高考真题

计数原理高考真题汇总 ‎2017~2018年 一. 排列与组合 ‎1. (2018·新课标2·理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果, 哥德巴赫猜想是 “每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”, 如30=7+23, 在不超过30的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于30的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎[答案与解析].符合题意的素数有: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29共10个, 故不同的取法有=45种 其中和为30的组合有: {7, 23}, {11, 19}, {13, 17}三种, 故P==, 选C.‎ ‎2. (2018·上海9)有编号互不相同的五个砝码, 共中5克, 3克, 1克砝码各一个, 2克砝码两个, 从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_____(结果用最简分数表示)‎ ‎[答案与解析].砝码有5个, 故不同的取法有=10种, 总质量为9克的仅{9, 3, 1}, {9, 2, 2}两种, ‎ 故P==,‎ ‎3. (2018·浙江)从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字, 从0, 2, 4, 6中任取2个数字, ‎ 一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数学作答)‎ ‎[答案与解析].先从两组中各任取2个数作全排列, 减去0为首位的情况.‎ 即=1260个 ‎4. (2018·新课标1·理) 从2位女生, 4位男生中选3人参加科技比赛, 且至少有1位女生入选, 则不同的选法共有______种. (用数字填写答案) ‎ ‎[答案与解析].方法一: 先从两女生中选出1人, 余下2个名额在4男1女中任意选取.‎ 故=20, 但这里包括了2名女生入选的情况, 若2名女生入选再乘就重复了, ‎ 所以, 即不同的选法共有20–=16.‎ 方法二: 在六人中任取三人, 减去作是男生的情况 =16‎ 方法三: 分女生有1人, 2人入选两种情况讨论+=16‎ ‎5.(2017•新课标Ⅱ,6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) ‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 ‎[答案与解析].D 4项工作分成3组,可得: =6,安排3名志愿者完成4项工作,‎ 每人至少完成1项,每项工作由1人完成,可得:6× =36种.故选D. 6.(2017·天津,14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答) ‎ ‎[答案与解析].1 080 根据题意,分2种情况讨论:‎ ‎①、四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,有A54=120种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数;‎ ‎②、四位数中只有一个偶数数字, 在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、6、8中选出1个,有C53•C41=40种取法, 将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序,‎ 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数;‎ 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个;故答案为:1080.‎ ‎7.(2017•浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有____种不同的选法.(用数字作答)‎ ‎[答案与解析]. 660 ‎ 第一类,先选1女3男,有C63C21=40种,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,‎ 故有40×12=480种,‎ 第二类,先选2女2男,有C62C22=15种,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,‎ 故有15×12=180种,根据分类计数原理共有480+180=660种,故答案为:660‎ 二. 二项式定理 ‎1. (2018·全国3·理)的展开式中x4的系数为( )‎ A. 10 B. 20 C. 40 D. 80‎ ‎[答案与解析].Tr+1=, 由10–2r–r=4, 解得r=2, 于是所求系数为=40, 故选C.‎ ‎2. (2018·天津·理10)在的展开式中x2的系数为_______‎ ‎[答案与解析]. Tr+1=,由=2, 解得r=2, 于是所求系数为=‎ ‎3 (2018·上海3)在(1+x)7的二项展开式中, x2项的系数为________ (结果用数值表示)‎ ‎[答案与解析].‎ ‎4. (2018·浙江)二项式的展开式的常数项是______ .‎ ‎[答案与解析].‎ ‎5.(2017•新课标Ⅰ,6)(1+ )(1+x)6展开式中x2的系数为(  ) ‎ A.15 B.20 C.30 D.35‎ ‎[答案与解析].C (2x﹣y)5的展开式的通项公式:‎ Tr+1= (2x)5﹣r(﹣y)r=25﹣r(﹣1)r x5﹣ryr . ‎ 令5﹣r=2,r=3,解得r=3.令5﹣r=3,r=2,解得r=2.‎ ‎∴(x+y)(2x﹣y)5的展开式中的x3y3系数= +23× =40.故选C. 6.(2017•新课标Ⅲ,4)(x+y)(2x﹣y)5的展开式中的x3y3系数为 (    ) ‎ A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.80‎ ‎[答案与解析].C (1+ )(1+x)6展开式中:若(1+ )=(1+x﹣2)提供常数项1,则(1+x)6‎ 提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数:若(1+ )提供x﹣2项,则(1+x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数:由(1+x)6通项公式可得 .可知r=2时,可得展开式中x2的系数为 .可知r=4时,可得展开式中x2的系数为 .(1+ )(1+x)6展开式中x2的系数为:15+15=30.故选C. ‎ ‎7.(2017•浙江,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 , 则a4=________,a5=________. ‎ ‎[答案与解析].16;4 多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 , (x+1)3中,x的系数是:3,常数是1;(x+2)2中x的系数是4,常数是4,a4=3×4+1×4=16;a5=1×4=4. 故答案为:16;4. ‎ ‎8.(2017•山东,11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2的系数是54,则n=________. ‎ ‎[答案与解析]. (1+3x)n的展开式中通项公式:Tr+1= (3x)r=3r xr .‎ ‎ ∵含有x2的系数是54,∴r=2.‎ ‎∴ =54,可得 =6,∴ =6,n∈N* . 解得n=4.故答案为:4.‎ ‎2015~2016年 一. 排列与组合 ‎1.(2016·全国Ⅱ,5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(  )‎ A.24 B.18 C.12 D.9‎ ‎[答案与解析].B [从E点到F点的最短路径有6种,从F点到G点的最短路径有3种,所以从E点到G点的最短路径为6×3=18种,故选B.]‎ ‎2.(2016·全国Ⅲ,12)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有(  )‎ A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 ‎[答案与解析].C [第一位为0,最后一位为1,中间3个0,3个1,三个1在一起时为000111,001110;只有2个1相邻时,共A种,其中110100;110010;110001,101100不符合题意,三个1都不在一起时有C种,共2+8+4=14.]‎ ‎3.(2016·四川,4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(  )‎ A.24 B.48 C.60 D.72‎ ‎[答案与解析].D [由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5;分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C,再将剩下的4个数字排列得到A,则满足条件的五位数有C·A=72.选D.]‎ ‎4.(2016·北京,8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(  )‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎[答案与解析].B [取两个球往盒子中放有4种情况:①红+红,则乙盒中红球数加1个;‎ ‎②黑+黑,则丙盒中黑球数加1个;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1个;‎ ‎④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1个;因为红球和黑球个数一样,‎ 所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机,③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响,①和②出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]‎ ‎5.(2015·四川,6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(  )‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎[答案与解析].B [由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A=72个;若万位是4,则有2×A个=48个,故40 000大的偶数共有72+48=120个.选B.]‎ ‎6.(2015·广东,12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A=40×39=1 560条毕业留言.]‎ 二. 二项式定理 ‎1.(2016·四川,2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为(  )‎ A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4‎ ‎[答案与解析]. A [由题可知,含x4的项为Cx4i2=-15x4.选A.]‎ ‎2.(2015·新课标全国Ⅰ,10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ ‎[答案与解析].C [Tk+1=C(x2+x)5-kyk,∴k=2.∴C(x2+x)3y2的第r+1项为CCx2(3-r)xry2,‎ ‎∴2(3-r)+r=5,解得r=1,∴x5y2的系数为CC=30.]‎ ‎3.(2015·湖南,6)已知5的展开式中含的项的系数为30,则a=(  )‎ A. B.- C.6 D.-6‎ ‎[答案与解析].D [的展开式通项Tr+1=Cx(-1)rar·x-=(-1)rarCx-r,‎ 令-r=,则r=1,∴T2=-aCx,∴-aC=30,∴a=-6,故选D.]‎ ‎4.(2015·陕西,4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎[答案与解析].C [由题意易得:C=15,C=C=15,即=15,解得n=6.]‎ ‎5.(2016·全国Ⅰ,14)(2x+)5的展开式中,x3的系数是______________(用数字填写答案).‎ ‎[答案与解析].10 [(2x+)5展开式的通项公式Tk+1=C(2x)5-k()k=C25-kx5-,k∈{0,1,2,3,4,5},令5- ‎=3解得k=4,得T5=C25-4x5-=10x3,∴x3的系数是10.]‎ ‎6.(2016·北京,10)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________.‎ ‎[答案与解析]. 60 [展开式的通项Tr+1=C·16-r·(-2x)r=C(-2x)r.令r=2得T3=C·4x2=60x2,即x2的系数为60.]‎ ‎7.(2015·北京,9)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为________(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].40 [展开式通项为:Tr+1=C25-rxr,∴当r=3时,系数为C·25-3=40.]‎ ‎8.(2015·天津,12)在6的展开式中,x2的系数为________.‎ ‎[答案与解析]. [的展开式的通项Tr+1=Cx6-r=Cx6-2r;‎ 当6-2r=2时,r=2,所以x2的系数为C=.]‎ ‎2014年 一. 计数原理 ‎1.(2014·大纲全国,5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(  )‎ A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 ‎[答案与解析].C [从中选出2名男医生的选法有C=15种,从中选出1名女医生的选法有C=5种,所以不同的选法共有15×5=75种,故选C.]‎ ‎2.(2014·辽宁,6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(  )‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ ‎[答案与解析].D [3人中每两人之间恰有一个空座位,有A×2=12种坐法,3人中某两人之间有两个空座位,有A×A=12种坐法,所以共有12+12=24种坐法.]‎ ‎3.(2014·四川,6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(  )‎ A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 ‎[答案与解析].B [当最左端排甲时,不同的排法共有A种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四个位置之一,则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有A+CA=9×24=216种.]‎ ‎4 (2014·重庆,9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(  )‎ A.72 B.120 C.144 D.168‎ ‎[答案与解析].B [依题意,先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA=144,其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA=24,因此满足题意的排法种数为144-24=120,选B.]‎ ‎5.(2014·安徽,8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有(  )‎ A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 ‎[答案与解析].C [法一 直接法:如图,在上底面中选B1D1,四个侧面中的面对角线都与它成60°,共8对,同样A1C1对应的也有8对,下底面也有16对,这共有32对;左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.‎ 法二 间接法:正方体的12条面对角线中,任意两条垂直、平行或成角为60°,所以成角为60°的共有C-12-6=48对.]‎ ‎6.(2014·福建,10)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(  )‎ A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5‎ C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)‎ ‎[答案与解析].A [分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1+a+a2+a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球中任取0个,1个,…,5个,有(1+c)5种不同的取法,所以所求的取法种数为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,故选A.]‎ ‎7.(2014·广东,8)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为(  )‎ A.60 B.90 C.120 D.130‎ ‎[答案与解析].D [易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1或2或3,下面分三种情况讨论.其一:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取一个让其等于1或-1,其余等于0,于是有CC=10种情况;其二:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1、另一个等于-1,其余等于0,于是有2C+CC=40种情况;其三:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1,其余等于0,于是有2C+CC+CC=80种情况.由于10+40+80=130,故答案为D.]‎ ‎8.(2014·北京,13)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.‎ ‎[答案与解析].36 [将A、B捆绑在一起,有A种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有A种摆法,共有AA=48种摆法,而A、B、C 3件在一起,且A、B相邻,A、C相邻有CAB、BAC两种情况,将这3件与剩下2件全排列,有2×A=12种摆法,故A、B相邻,A、C不相邻的摆法有48-12=36种.]‎ ‎9 (2014·浙江,14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].60 [分情况:一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人,种数为CCA=36;另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为A=24,则获奖情况总共有36+24=60(种).]‎ 二. 二项式定理 ‎1.(2014·湖北,2)若二项式7的展开式中的系数是84,则实数a=(  )‎ A.2 B. C.1 D. ‎[答案与解析].C [Tr+1=C·(2x)7-r·=27-rCar·.令2r-7=3,则r=5.由22·Ca5=84得a=1,故选C.]‎ ‎2.(2014·浙江,5)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(  )‎ A.45 B.60 C.120 D.210‎ ‎[答案与解析].C [在(1+x)6的展开式中,xm的系数为C,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为C,故f(m,n)=C·C.从而f(3,0)=C=20,f(2,1)=C·C=60,f(1,2)=C·C=36,f(0,3)=C=4,故选C.]‎ ‎3.(2014·四川,2)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(  )‎ A.30 B.20 C.15 D.10‎ ‎[答案与解析].C [只需求(1+x)6的展开式中含x2项的系数即可,而含x2项的系数为C=15,故选C.]‎ ‎4.(2014·湖南,4)5的展开式中x2y3的系数是(  )‎ A.-20 B.-5 C.5 D.20‎ ‎[答案与解析].A [展开式的通项为Tk+1=C(x)5-k·(-2y)k=(-1)k·22k-5Cx5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的系数为(-1)3·22×3-5C=-20,故选A.]‎ ‎5.(2014·新课标全国Ⅰ,13)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字填写答案).‎ ‎[答案与解析].-20 [由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·Cxy7-y·Cx2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为C-C=C-C=8-28=-20.]‎ ‎6.(2014·新课标全国Ⅱ,13)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________(用数字作答).‎ ‎[答案与解析]. [Tr+1=Cx10-rar,令10-r=7,得r=3,∴Ca3=15,即a3=15,∴a3=,∴a=.]‎ ‎7.(2014·安徽,13)设a≠0,n是大于1的自然数,n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=________.‎ ‎[答案与解析].3 [根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,‎ 结合二项式定理得即解得a=3.]‎ ‎8.(2014·山东,14)若6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________.‎ ‎[答案与解析].2 [Tr+1=C(ax2)6-r=Ca6-rbrx12-3r,令12-3r=3,则r=3.‎ ‎∴Ca3b3=20,即ab=1.∴a2+b2≥2ab=2,即a2+b2的最小值为2.]‎ ‎9.(2014·大纲全国,13)8的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].70 [Tr+1=C··=(-1)r·C·x·y,‎ 令得r=4.所以展开式中x2y2的系数为(-1)4·C=70.]‎ a1·,≥, ≤, {an}=, n∈N*,± (n∈N*), x∈R, x∈(–∞,+∞) ⋃ y=f (x)=ax2+bx+c(a≠0). f '(x)= ‎ ‎∵ ∴⇔ ⇒∩⋃△∠°⊥α, π, x≠0 ①②③④ x1–x2, , , , , A (x1, y1), B(x2, y2) ‎ ‎2013年 一. 计数原理 ‎1. (2013·四川8). 从1, 3, 5, 7, 9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a, b,共可得到的不同值的个数是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案C 解析:=lg ,=有4×5−2 =18种,2为情况 所以选C ‎2. (2013·福建5).满足a, b∈{–1, 0, 1, 2},且关于的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为( )‎ A. 14 B. ‎13 C. 12 D. 10 ‎ ‎[答案与解析]. B 方程ax2+2x+b=0有实数解. 分类讨论.‎ ‎① 当a=0时, 2x+b=0有实数解, 此时b可以取4个值, 故有4个有序数对.‎ ‎② 当a≠0时, 方程ax2+2x+b=0有实数解. 则△=4–4ab≥0, 即ab≤1, ‎ 此时(2. 1), (1, 2), (2, 2)三个不符合题意, 故有3×4–3=9个 综上, 有9+4=13个.‎ ‎3. (2013·山东10). 用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ‎(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279‎ ‎[答案与解析]. B 有重复数字的三位数有9×10×10=900. 没有重复数字的三位数有=648.‎ 所以有重复数字的三位数的个数为900–648=252.‎ ‎4. (2013·新课标II 14)). 从n个正整数1, 2, 3, 4, 5, ... , n中任意取出两个不同的数,若其和为5的概率是,则n=_________。‎ ‎[答案与解析].8 , 取出的两数之和等于5的概率为,n=8。‎ ‎5. (2013·全国(14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答)‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】 先排除甲、乙外的4人,方法有再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有 的排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有=480‎ ‎6. (2013·北京12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少一张,如果分给同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 ____‎ ‎7. (2013·广东13.给定区域D:,令点集是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定 条不同的直线。‎ 解析:目标函数的最大值点有五个点 都在同一直线上,最小值点为.‎ 故中的点共确定不同直线的条数为 ‎ 6 .‎ ‎8. (2013·重庆13、从名骨科、名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)‎ ‎【答案】:590‎ ‎9. (2013·浙江14)将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排, 且A, B均在C的同侧, 则不同的排法有_____种(用数字作答)‎ 二. 二项式定理 ‎1. (2013·浙江11)设二项式的展开式中常数项为A, 则A=________‎ 答案: -10‎ ‎2. (2013·安徽理(11)若的展开式中的系数为7,则实数______。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 通项 所以 ‎3. (2013·上海5.设常数,若的二项展开式中项的系数为,则.‎ 答案−2‎ 解析:⟹且⟹a=−2‎ ‎4. (2013·陕西8. 设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为 ‎ (A) -20 (B) 20 (C) -15 (D) 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】当的展开式中,常数项为。所以选A ‎5. (2013·新课标I,9、设m为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若13=7,则= ( )‎ A、5 B、6 C、7 D、8‎ ‎【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想,是容易题.‎ ‎【解析】由题知=,=,∴13=7,即=,‎ 解得=6,故选B.‎ ‎6. (2013·新课标II 5、已知的展开式中的系数是5,则=(  )‎ ‎(A) -4 (B) -3 (C)-2 (D)-1‎ ‎【答案】D ‎7. (2013·江西1). (x2-)5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-40‎ ‎8. (2013·辽宁(7)使得 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】通项,常数项满足条件,所以时最小 ‎9. (2013·[全国] (7)的展开式中的系数是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎[答案]D ‎[解析]=‎ ‎10. (2013·天津(10) 的二项展开式中的常数项为 .‎ 答案15‎ 解析:,,r=4, ‎11. (2013·四川11.二项式的展开式中,含的项的系数是____________.(用数字作答)‎ 答案:10‎ 解析:由⟹r=2,含的项的系数是 ‎2012年 一、排列组合 ‎1 .(2012年高考(新课标理))将名教师,名学生分成个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,‎ 每个小组由名教师和名学生组成,不同的安排方案共有 (  ) ‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎ 【解析】选 甲地由名教师和名学生:种 ‎ ‎2.(2012年高考(浙江理))若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 (  )‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 ‎ 【答案】D ‎ ‎【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:种;4个都是奇数:种.∴不同的取法共有66种. ‎ ‎3.(2012年高考(四川理))方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 (  )‎ A.60条 B.62条 C.71条 D.80条 ‎ [答案]B ‎ ‎[解析]方程变形得,若表示抛物线,则 ‎ 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况: ‎ ‎(1)若b=-3, ; (2)若b=3, ‎ 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条; ‎ 同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. ‎ 综上,共有23+23+16=62种 ‎ ‎[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. ‎ ‎4 .(2012年高考(陕西理))两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 (  )‎ A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 ‎ 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有种情形;当比分为3:2时,共有种情形;总共有种,选D. ‎ ‎5.(2012年高考(山东理))现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 (  )‎ A.232 B.‎252 ‎C.472 D.484‎ ‎ 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有种,若2色相同,则有;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有种,如同色则有,所以共有,故选C. ‎ ‎6 .(2012年高考(辽宁理))一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 (  )‎ A.3×3! B.3×(3!)‎3 ‎C.(3!)4 D.9!‎ ‎ 【答案】C ‎ ‎【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有种排法,三个家庭共有种排法;再把三个家庭进行全排列有种排法.因此不同的坐法种数为,答案为C ‎ ‎【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题. ‎ ‎7.(2012年高考(大纲理))将字母排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (  )‎ A.12种 B.18种 C. 24种 D.36种 答案A ‎ ‎【命题意图】本试题考查了排列组合的用用. ‎ ‎【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有. ‎ ‎8.(2012年高考(北京理))从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 (  )‎ A.24 B.‎18 ‎C.12 D.6‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共种,选B. ‎ ‎【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解. ‎ ‎9.(2012年高考(安徽理))6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到份纪念品的同学人数为 (  )‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎ ‎【解析】选 ‎ ①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到份纪念品的同学人数为人 ‎ ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到份纪念品的同学人数为人 ‎ ‎10.(2012年高考(重庆理))某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为. ‎ ‎【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义. ‎ 二项式定理 ‎1 .(2012年高考(天津理))在的二项展开式中,的系数为 (  )‎ A.10 B. C.40 D.‎ ‎ 【答案】D ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数. ‎ ‎【解析】∵=,∴,即,∴的系数为. ‎ ‎2.(2012年高考(重庆理))的展开式中常数项为 (  ) ‎ A. B. C. D.105‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】,令,故展开式中的常数项为. ‎ ‎【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. ‎ ‎3 .(2012年高考(四川理))的展开式中的系数是 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ [答案]D ‎ ‎[解析]二项式展开式的通项公式为=,令k=2,则 ‎ ‎ ‎ ‎[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. ‎ ‎4.(2012年高考(湖北理))设,且,若能被13整除,则 (  )‎ A.0 B.‎1 ‎C.11 D.12‎ 考点分析:本题考察二项展开式的系数. ‎ 解析:由于51=52-1,, ‎ 又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D. ‎ ‎5.(2012年高考(安徽理))的展开式的常数项是 (  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 【解析】选 ‎ 第一个因式取,第二个因式取得: ‎ 第一个因式取,第二个因式取得: 展开式的常数项是 ‎ ‎6.(2012年高考(浙江理))若将函数表示为 其中,,,,为实数,则=______________.‎ ‎【答案】10 ‎ ‎【解析】法一:由等式两边对应项系数相等. ‎ 即:. ‎ 法二:对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用赋值法,令得:,即.‎ ‎6.(2012年高考(上海理))在的二项展开式中,常数项等于 _________ .‎ ‎[解析] 展开式通项,令6-2r=0,得r=3, ‎ 故常数项为. ‎ ‎7.(2012年高考(上海春))若 则___.‎ ‎ 【答案】1 ‎ ‎8.(2012年高考(陕西理))展开式中的系数为10, 则实数a的值为__________.‎ 解析:展开式中第k项为,令k=2, x2的系数为,解得a=1. ‎ ‎9.(2012年高考(湖南理))( -)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)‎ ‎【答案】-160 ‎ ‎【解析】( -)6的展开式项公式是.由题意知,所以二项展开式中的常数项为. ‎ ‎10.(2012年高考(广东理))(二项式定理)的展开式中的系数为_____.(用数字作答).‎ 解析:20.的展开式通项为,令,解得,所以的展开式中的系数为. ‎ ‎11.(2012年高考(福建理))的展开式中的系数等于8,则实数_________.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】时, ‎ ‎12.(2012年高考(大纲理))若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为___________‎ 答案:56 ‎ ‎【解析】根据已知条件可知, ‎ 所以的展开式的通项为,令 ‎ 所以所求系数为. ‎
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