全国各地高考理科数学真题与答案
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第 3 页
至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码
中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两
位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图
题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号
所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：
如果事件 A 与 B 互斥；则 ( ) ( ) ( )P A B P A P B
如果事件 A 与 B 相互独立；则 ( ) ( ) ( )P AB P A P B
如果 A 与 B 是事件，且 ( ) 0P B ；则 ( )( ) ( )
P ABP A B P B
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）复数 z 满足： ( )(2 ) 5z i i ；则 z （ ）
( )A 2 2i ( )B 2 2i ( )C i ( )D i
【解析】选 D
5 5(2 )( )(2 ) 5 2 22 (2 )(2 )
iz i i z i z i ii i i
（2）下列函数中，不满足： (2 ) 2 ( )f x f x 的是（ ）
( )A ( )f x x ( )B ( )f x x x ( )C ( )f x x ( )D ( )f x x
【解析】选C
( )f x kx 与 ( )f x k x 均满足： (2 ) 2 ( )f x f x 得： , ,A B D 满足条件
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
( )A 3 ( )B 4 ( )C ( )D
【解析】选 B
x 1 2 4 8
y 1 2 3 4
4.公比为 3 2 等比数列{ }na 的各项都是正数，且 3 11 16a a ，则（ ）
( )A 4 ( )B 5 ( )C ( )D
【解析】选 B
2 9
3 11 7 7 16 7 2 1616 16 4 32 log 5a a a a a a q a
5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
( )A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ( )B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
( )C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ( )D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】选C 1 1(4 5 6 7 8) 6, (5 3 6 9) 65 5x x 乙甲
甲的成绩的方差为 2 21 (2 2 1 2) 25
，乙的成绩的方差为 2 21 (1 3 3 1) 2.45
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（6）设平面 与平面 相交于直线 m ，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且b m
则“ ”是“ a b ”的（ ）
( )A 充分不必要条件 ( )B 必要不充分条件
( )C 充要条件 ( )D 即不充分不必要条件
【解析】选 A
① ,b m b b a ②如果 / /a m ；则 a b 与 b m 条件相同
（7） 2 5
2
1( 2)( 1)x x
的展开式的常数项是（ ）
( )A 3 ( )B 2 ( )C ( )D
【解析】选 D
第一个因式取 2x ，第二个因式取 2
1
x
得： 1 4
51 ( 1) 5C
第一个因式取 2 ，第二个因式取 5( 1) 得： 52 ( 1) 2 展开式的常数项是5 ( 2) 3
（8）在平面直角坐标系中， (0,0), (6,8)O P ，将向量OP
按逆时针旋转 3
4
后，得向量 OQ
则点 Q 的坐标是（ ）
( )A ( 7 2, 2) ( )B ( 7 2, 2) ( )C ( 4 6, 2) ( )D ( 4 6,2)
【解析】选 A
【方法一】设 3 4(10cos ,10sin ) cos ,sin5 5OP
则 3 3(10cos( ),10sin( )) ( 7 2, 2)4 4OQ
【方法二】将向量 (6,8)OP 按逆时针旋转 3
2
后得 (8, 6)OM
则 1 ( ) ( 7 2, 2)
2
OQ OP OM
（9）过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线交抛物线于 ,A B 两点，点O 是原点，若 3AF ；
则 AOB 的面积为（ ）
( )A 2
2 ( )B 2 ( )C 3 2
2 ( )D 2 2
【解析】选C
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
设 (0 )AFx 及 BF m ；则点 A 到准线 : 1l x 的距离为 3
得： 13 2 3cos cos 3
又 2 32 cos( ) 1 cos 2m m m
AOB 的面积为 1 1 3 2 2 3 2sin 1 (3 )2 2 2 3 2S OF AB
（10）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换
的两位同学互赠一份纪念品，已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品
的同学人数为（ ）
( )A 1或3 ( )B 1或 4 ( )C 2 或 3 ( )D 2 或 4
【解析】选 D
2
6 13 15 13 2C
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到 4 份纪念品的同学人数为 2 人
②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到 4 份纪念品的同学人数为 4 人
第 II 卷（非选择题 共 100 分）
考生注意事项：
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．.
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
（11）若 ,x y 满足约束条件：
0
2 3
2 3
x
x y
x y
；则 x y 的取值范围为 _____
【解析】 x y 的取值范围为 _____ [ 3,0]
约束条件对应 ABC 边际及内的区域： 3(0,3), (0, ), (1,1)2A B C
则 [ 3,0]t x y
（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 _____
【解析】表面积是 _____ 92
该几何体是底面是直角梯形，高为 4 的直四棱柱
几何体的表面积是
2 212 (2 5) 4 (2 5 4 4 (5 2) ) 4 922S
（13）在极坐标系中，圆 4sin 的圆心到直线 ( )6 R 的距离是 _____
【解析】距离是 _____ 3
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
圆 2 24sin ( 2) 4x y 的圆心 (0,2)C
直线 : ( ) 3 06l R x y ；点 C 到直线l 的距离是
0 2 3
32
（14）若平面向量 ,a b
满足： 2 3a b ；则 a b
的最小值是 _____
【解析】 a b
的最小值是 _____ 9
8
2 2
2 2
2 3 4 9 4
94 4 4 9 4 4 8
a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
（15）设 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边为 , ,a b c ；则下列命题正确的是 _____
①若 2ab c ；则
3C ②若 2a b c ；则
3C
③若 3 3 3a b c ；则
2C ④若 ( ) 2a b c ab ；则
2C
⑤若 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b ；则
3C
【解析】正确的是 _____ ①②③
①
2 2 2
2 2 1cos 2 2 2 3
a b c ab abab c C Cab ab
②
2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 cos 2 8 2 3
a b c a b a ba b c C Cab ab
③当
2C 时， 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b 与 3 3 3a b c 矛盾
④取 2, 1a b c 满足 ( ) 2a b c ab 得：
2C
⑤取 2, 1a b c 满足 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b 得：
3C
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题
卡的制定区域内.
（16）(本小题满分 12 分)
设函数 22( ) cos(2 ) sin2 4f x x x
（I）求函数 ( )f x 的最小正周期；
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（II）设函数 ( )g x 对任意 x R ，有 ( ) ( )2g x g x ，且当 [0, ]2x 时，
1( ) ( )2g x f x ；
求函数 ( )g x 在[ ,0] 上的解析式。
【解析】 22 1 1 1( ) cos(2 ) sin cos2 sin 2 (1 cos2 )2 4 2 2 2f x x x x x x 1 1 sin 22 2 x
（I）函数 ( )f x 的最小正周期 2
2T
（2）当 [0, ]2x 时， 1 1( ) ( ) sin 22 2g x f x x
当 [ ,0]2x 时， ( ) [0, ]2 2x
1 1( ) ( ) sin 2( ) sin 22 2 2 2g x g x x x
当 [ , )2x 时， ( ) [0, )2x 1 1( ) ( ) sin 2( ) sin 22 2g x g x x x
得：函数 ( )g x 在[ ,0] 上的解析式为
1 sin 2 ( 0)2 2( ) 1 sin 2 ( )2 2
x x
g x
x x
（17）（本小题满分 12 分）
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是 A 类型试题，则使用后
该试题回库，并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用
的是 B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有 n m 道
试题，其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题，以 X 表示两次调题工作完成后，试
题库中 A 类试题的数量。
（Ⅰ）求 2X n 的概率；
（Ⅱ）设 m n ，求 X 的分布列和均值（数学期望）。
【解析】（I） 2X n 表示两次调题均为 A 类型试题，概率为 1
2
n n
m n m n
（Ⅱ） m n 时，每次调用的是 A 类型试题的概率为 1
2p
随机变量 X 可取 , 1, 2n n n
2 1( ) (1 ) 4P X n p ， 1( 1) 2 (1 ) 2P X n p p ， 2 1( 2) 4P X n p
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
X n 1n 2n
P 1
4
1
2
1
4
1 1 1( 1) ( 2) 14 2 4EX n n n n
答：（Ⅰ） 2X n 的概率为 1
2
n n
m n m n
（Ⅱ）求 X 的均值为 1n
（18）（本小题满分 12 分）
平面图形 1 1 1ABB AC C 如图 4 所示，其中 1 1BB C C 是矩形， 12, 4BC BB ， 2AB AC ，
1 1 1 1 5A B AC 。现将该平面图形分别沿 BC 和 1 1B C 折叠，使 ABC 与 1 1 1A B C 所在平面都
与平面 1 1BB C C 垂直，再分别连接 1 1 1, ,AA BA CA ,得到如图 2 所示的空间图形，对此空间图形解答
下列问题。
。
（Ⅰ）证明： 1AA BC ； （Ⅱ）求 1AA 的长；
（Ⅲ）求二面角 1A BC A 的余弦值。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
【解析】（I）取 1 1,BC B C 的中点为点 1,O O ，连接 1 1 1 1, , ,AO OO AO AO
则 AB AC AO BC ，面 ABC 面 1 1BB C C AO 面 1 1BB C C
同理： 1 1AO 面 1 1BB C C 得： 1 1 1 1/ / , , ,AO AO A O A O 共面
又 1 1,OO BC OO AO O BC 面 1 1 1AOO A AA BC
（Ⅱ）延长 1 1AO 到 D ，使 1O D OA 得： 1 1/ / / /O D OA AD OO
1OO BC ，面 1 1 1A B C 面 1 1BB C C 1OO 面 1 1 1A B C AD 面 1 1 1A B C
2 2 2 2
1 4 (2 1) 5AA AD DA
（Ⅲ） 1 1,AO BC AO BC AOA 是二面角 1A BC A 的平面角
在 1 1Rt OO A 中， 2 2 2 2
1 1 1 1 4 2 2 5A O OO AO
在 1Rt OAA 中，
2 2 2
1 1
1
1
5cos 2 5
AO AO AAAOA AO AO
得：二面角 1A BC A 的余弦值为 5
5
。
（19）（本小题满分 13 分）K]
设 1( ) ( 0)x
xf x ae b aae
（I）求 ( )f x 在[0, ) 上的最小值；
（II）设曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 的切线方程为 3
2y x ；求 ,a b 的值。
【解析】（I）设 ( 1)xt e t ；则
2 2
2 2
1 1 1a ty at b y aat at at
①当 1a 时， 0y 1y at bat
在 1t 上是增函数
得：当 1( 0)t x 时， ( )f x 的最小值为 1a ba
②当 0 1a 时， 1 2y at b bat
当且仅当 11( , ln )xat t e x aa
时， ( )f x 的最小值为 2b
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（II） 1 1( ) ( )x x
x xf x ae b f x aeae ae
由题意得：
2
2 2
2
2
1 2(2) 3 3
3 1 3 1(2) 2 2 2
f ae b aae e
f ae bae
（20）（本小题满分 13 分）
如图， 1 2( ,0), ( ,0)F c F c 分别是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左，右焦点，过点 1F 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P ，
过点 2F 作直线 2PF 的垂线交直线
2ax c
于点 Q ；
（I）若点 Q 的坐标为 (4,4) ；求椭圆 C 的方程；
（II）证明：直线 PQ 与椭圆C 只有一个交点。
【解析】（I）点 1 1( , )( 0)P c y y 代入
2 2
2 2 1x y
a b
得：
2
1
by a
2
1 2
0 4 0 14
b
aPF QF c c c
①
又
2
4a
c
② 2 2 2 ( , , 0)c a b a b c ③
由①②③得： 2, 1, 3a c b 既椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y
（II）设
2
2( , )aQ yc
；则
2
2
1 2 22
0 0 1 2
b
yaPF QF y aac c cc
得：
2
2
2
PQ
ba cak a acc
2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2
2
1
b xx y b ay b x ya b a bb xa
过点 P 与椭圆C 相切的直线斜率 x c PQ
ck y ka
得：直线 PQ 与椭圆C 只有一个交点。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（21）（本小题满分 13 分）
数列{ }nx 满足： 2 *
1 10, ( )n n nx x x x c n N
（I）证明：数列{ }nx 是单调递减数列的充分必要条件是 0c
（II）求 c 的取值范围，使数列{ }nx 是单调递增数列。
【解析】（I）必要条件
当 0c 时， 2
1n n n nx x x c x 数列{ }nx 是单调递减数列
充分条件
数列{ }nx 是单调递减数列 2 2
1 2 1 1 1 0x x x x c c x
得：数列{ }nx 是单调递减数列的充分必要条件是 0c
（II）由（I）得： 0C
①当 0c 时， 1 0na a ，不合题意
②当 0c 时， 2
2 1 3 2, 2 0 1x c x x c c x c c
2 2
1 10 1 0n n n n nx x c x x c x x c
2 2
2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( 1)n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x
当 1
4c 时， 1 2 1
1 1 02n n n n nx c x x x x 与 1n nx x 同号，
由 2 1 2 10 0n n n nx x c x x x x
2
1lim lim( ) limn n n nn n n
x x x c x c
当 1
4c 时，存在 N ，使 1 2 1
1 12N N N N Nx x x x x 与 1N Nx x 异号
与数列{ }nx 是单调递减数列矛盾
得：当 10 4c 时，数列{ }nx 是单调递增数列.
2012年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 8 小题。每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.
1．已知集合 A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则 A∩B=
A （- ，-1）B （-1，- 2
3
） C （- 2
3
,3）D (3,+ )
【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为
3
2}023|{ xxRxA ，利用二次不等式可得 1|{ xxB 或 }3x 画出数轴易得：
}3|{ xxBA ．故选 D．
【答案】D
2．设不等式组
20
,20
y
x ，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距
离大于 2 的概率是
（A）
4
（B） 2
2
（C）
6
（D） 4
4
【解析】题目中
20
20
y
x 表示的区域如图正方形所示，而动点 D 可以存在的
位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此
4
4
22
24
122 2
P ，故选 D。
【答案】D
3．设 a，b∈R。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当 0a 时，如果 0b 同时等于零，此时 0 bia 是实
数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果 bia 已经为纯虚数，
由定义实部为零，虚部不为零可以得到 0a ，因此想必要条件，故选
B。
【答案】B
4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
A. 2 B .4 C.8 D. 16
【解析】 0k ， 11 ks ， 21 ks ， 22 ks ， 8s ，循环结束，输出的 s
为 8，故选 C。
【答案】
5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则( )
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD ² D.CE·EB=CD ²
【解析】在 ACB 中，∠ACB=90º，CD⊥AB 于点 D，所以 DBADCD 2 ,由切割线定理的
CBCECD 2 ,所以 CE·CB=AD·DB。
【答案】A
6.从 0，2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为
( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第
一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3 种选择)，之后十位(2 种选择)，最后百位(2 种选择)，
共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3 种情况)，十位(2 种情况)，百位(不能是
0，一种情况)，共 6 种，因此总共 12+6=18 种情况。
【答案】B
7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+6 5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 5 D. 60+12 5
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题
目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三
棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得： 10底S ， 10后S ， 10右S ，
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
56左S ，因此该几何体表面积 5630 左右后底 SSSSS ，故选 B。
【答案】B
8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量
最高。m 值为（ ）
A.5 B.7 C.9 D.11
【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选 C。
【答案】C
第二部分(非选择题共 110 分)
二.填空题共 6 小题。每小题 5 分。共 30 分.
9．直线 tty
tx (1
2
为参数)与曲线
(sin3
cos3
y
x 为参数)的交点个数为______。
【解析】直线的普通方程 01 yx ，圆的普通方程为 922 yx ，可以直线圆相交，故有 2 个
交点。
【答案】2
10．已知 }{ na 等差数列 nS 为其前 n 项和。若
2
1
1 a ， 32 aS ，则 2a =_______。
【解析】因为
2
12 111132132 addadaaaaaaS ，
所以 112 daa ， nndnnnaSn 4
1
4
1)1( 2
1 。
【答案】 12 a ， nnSn 4
1
4
1 2
11．在△ABC 中，若 a =2，b+c=7，cosB=
4
1 ，则 b=_______。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
【解析】在△ABC 中，利用余弦定理
c
bcbc
ac
bcaB 4
))((4
4
1
2cos
222
c
bc
4
)(74 ，化简得： 0478 bc ，与题目条件 7 cb 联立，可解得
.2
,4
,3
a
b
c
【答案】4
12．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A
在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60º.则△OAF 的面积为
【解析】由 xy 42 可求得焦点坐标 F(1,0)，因为倾斜角为 60 ，所以直线的斜率为
360tan k ，利用点斜式，直线方程为 33 xy ，将直线和曲线联立
)3
32,3
1(
)32,3(
4
33
2 B
A
xy
xy ，因此 33212
1
2
1 AOAF yOFS ．
【答案】 3
13．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 CBDE 的值为________， DCDE
的最大值为______。
【解析】根据平面向量的数量积公式 DADECBDE cos|||| DADE ，由图可知，
||cos|| DADE ，因此 1|| 2 DACBDE ，
cos|||| DCDEDCDE cos|| DE ，而 cos|| DE
就是向量 DE 在 DC 边上的射影，要想让 DCDE 最大，即让射
影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为 DC ，所以长度为 1．
【答案】1，1
14.已知 )3)(2()( mxmxmxf ， 22)( xxg ，若同时满足条件：
① Rx ， 0)( xf 或 0)( xg ；
② )4,( x , )(xf 0)( xg 。
则 m 的取值范围是_______。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
【解析】根据 022)( xxg ，可解得 1x 。由于题目中第一个条件的限制 Rx ， 0)( xf
或 0)( xg 成立的限制，导致 )(x 在 1x 时必须是 0)( xf 的。当 0m 时， 0)( xf 不能做到
)(xf 在 1x 时 0)( xf ，所以舍掉。因此， )(xf 作为二次函数开口只能向下，故 0m ，且此
时两个根为 mx 21 ， 32 mx 。为保证此条件成立，需要
4
2
1
13
12
2
1
m
m
mx
mx ，和
大前提 0m 取交集结果为 04 m ；又由于条件 2：要求 )4,( x ， )()( xgxf 0 的限
制，可分析得出在 )4,( x 时， )(xf 恒负，因此就需要在这个范围内 )(xg 有得正数的可能，
即 4 应该比 21, xx 两根中小的那个大，当 )0,1(m 时， 43 m ，解得，交集为空，舍。当
1m 时，两个根同为 42 ，舍。当 )1,4( m 时， 42 m ，解得 2m ，综上所述
)2,4( m ．
【答案】 )2,4( m
三、解答题公 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共 13 分）
已知函数
x
xxxxf sin
2sin)cos(sin)( 。
（1）求 )(xf 的定义域及最小正周期；
（2）求 )(xf 的单调递减区间。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
16．（本小题共 14 分）
如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DE∥BC，DE=2，将
△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C⊥CD,如图 2.
(I)求证：A1C⊥平面 BCDE；
(II)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；
(III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由
解： （1） CD DE ， 1A E DE
DE 平面 1ACD ，
又 1AC 平面 1ACD ，
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
1AC DE
又 1AC CD ，
1AC 平面 BCDE 。
（2）如图建系 C xyz ，则 2 0 0D ， ， ， 0 0 2 3A ， ， ， 0 3 0B ， ， ， 2 2 0E ， ，
∴ 1 0 3 2 3A B ， ， , 1 2 1 0A E ， ，
设平面 1A BE 法向量为 n x y z ， ，
则 1
1
0
0
A B n
A E n
∴ 3 2 3 0
2 0
y z
x y
∴
3
2
2
z y
yx
∴ 1 2 3n ， ，
又∵ 1 0 3M ， ，
∴ 1 0 3CM ， ，
∴ 1 3 4 2cos 2| | | | 1 4 3 1 3 2 2 2
CM n
CM n
，
∴ CM 与平面 1A BE 所成角的大小 45。
（3）设线段 BC 上存在点 P ，设 P 点坐标为 0 0a， ， ，则 0 3a ，
则 1 0 2 3A P a ， ， ， 2 0DP a ， ，
设平面 1A DP 法向量为 1 1 1 1n x y z ， ， ，
则 1 1
1 1
2 3 0
2 0
ay z
x ay
∴
1 1
1 1
3
6
1
2
z ay
x ay
∴ 1 3 6 3n a a ， ， 。
假设平面 1A DP 与平面 1A BE 垂直，
则 1 0n n ，∴ 3 12 3 0a a ， 6 12a ， 2a ，
∵ 0 3a ，∴不存在线段 BC 上存在点 P ，使平面 1A DP 与平面 1A BE 垂直。
17．（本小题共 13 分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三
类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱
中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 cba ,, 其中 a＞
0， cba =600。当数据 cba ,, 的方差 2s 最大时，写出 cba ,, 的值（结论不要求证明），并求此时
2s 的值。
（注： ])()()[(1 22
2
2
1
2 xxxxxxns n ，其中 x 为数据 nxxx ,,, 21 的平均数）
解：（ ）由题意可知： 400 2=600 3 。
（ ）由题意可知： 200+60+40 3=1000 10 。
（ ）由题意可知： 2 2 2 21 ( 120000)3s a b c ，因此有当 600a ， 0b ， 0c 时，有
2 80000s ．
18．（本小题共 13 分）
解：（ ）由 1 c， 为公共切点可得：
2( ) 1( 0)f x ax a ，则 ( ) 2f x ax ， 1 2k a ，
3( )g x x bx ，则 2( )=3f x x b ， 2 3k b ，
2 3a b ①
又 (1) 1f a ， (1) 1g b ，
1 1a b ，即 a b ，代入①式可得： 3
3
a
b
．
（2） 2 4a b ，设 3 2 21( ) ( ) ( ) 14h x f x g x x ax a x
则 2 21( ) 3 2 4h x x ax a ，令 ( ) 0h x ，解得： 1 2
ax ， 2 6
ax ；
0a ，
2 6
a a ，
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
原函数在
2
a
， 单调递增，在
2 6
a a
， 单调递减，在
6
a
， 上单调递增
①若 1 2
a ≤ ，即 2a≤ 时，最大值为
2
(1) 4
ah a ；
②若 12 6
a a ，即 2 6a 时，最大值为 12
ah
③若 1 6
a ≥ 时，即 6a≥ 时，最大值为 12
ah
．
综上所述：
当 0 2a ， 时，最大值为
2
(1) 4
ah a ；当 2 ,a 时，最大值为 12
ah
．
19．（本小题共 14 分）
解：（1）原曲线方程可化简得：
2 2
18 8
5 2
x y
m m
由题意可得：
8 8
5 2
8 05
8 02
m m
m
m
，解得： 7 52 m
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得： 2 2(2 1) 16 24 0k x kx ，
2=32(2 3)k ，解得： 2 3
2k
由韦达定理得： 2
16
2 1M N
kx x k
①， 2
24
2 1M Nx x k
，②
设 ( , 4)N NN x k x ， ( , 4)M MM x kx ， ( 1)GG x ，
MB 方程为： 6 2M
M
kxy xx
，则 3 16
M
M
xG kx
， ，
3 16
M
M
xAG x k
， ， 2N NAN x x k ， ，
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
欲证 A G N， ， 三点共线，只需证 AG
， AN
共线
即 3 ( 2)6
M
N N
M
x x k xx k
成立，化简得： (3 ) 6( )M N M Nk k x x x x
将①②代入易知等式成立，则 A G N， ， 三点共线得证。
20．（本小题共 13 分）
解：（1）由题意可知 1 1.2r A ， 2 1.2r A ， 1 1.1c A ， 2 0.7c A ， 3 1.8c A
∴ 0.7k A
（2）先用反证法证明 1k A ≤ ：
若 1k A
则 1| | | 1| 1 1c A a a ，∴ 0a
同理可知 0b ，∴ 0a b
由题目所有数和为 0
即 1a b c
∴ 1 1c a b
与题目条件矛盾
∴ 1k A ≤ ．
易知当 0a b 时， 1k A 存在
∴ k A 的最大值为 1
（3） k A 的最大值为 2 1
2
t
t
.
首先构造满足 2 1( ) 2
tk A t
的 ,{ }( 1,2, 1,2,...,2 1)i jA a i j t ：
1,1 1,2 1, 1, 1 1, 2 1,2 1
1... 1, ... 2t t t t
ta a a a a a t
，
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
2
2,1 2,2 2, 2, 1 2, 2 2,2 1
1... , ... 1( 2)t t t t
t ta a a a a at t
.
经计算知， A 中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为 0，且
1 2
2 1| ( ) | | ( ) | 2
tr A r A t
，
2
1 2
1 1 2 1| ( ) | | ( ) | ... | ( ) | 1 1( 2) 2 2t
t t t tc A c A c A t t t t
，
1 2 2 1
1 2 1| ( ) | | ( ) | ... | ( ) | 1 2 2t t t
t tc A c A c A t t
.
下面证明 2 1
2
t
t
是最大值. 若不然，则存在一个数表 (2,2 1)A S t ，使得 2 1( ) 2
tk A x t
.
由 ( )k A 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ，而两个绝对值不超过 1 的数的
和，其绝对值不超过 2，故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[ ,2]x 中. 由于 1x ，故 A 的
每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 1x .
设 A 中有 g 列的列和为正，有 h 列的列和为负，由对称性不妨设 g h ，则 , 1g t h t . 另
外，由对称性不妨设 A 的第一行行和为正，第二行行和为负.
考虑 A 的第一行，由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 1t 个负数，每个正数
的绝对值不超过 1（即每个正数均不超过 1），每个负数的绝对值不小于 1x （即每个负数均不超过
1 x ）. 因此
1 1| ( ) | ( ) 1 ( 1)(1 ) 2 1 ( 1) 2 1 ( 2)r A r A t t x t t x x t t x x ，
故 A 的第一行行和的绝对值小于 x ，与假设矛盾. 因此 k A 的最大值为
2
12
t
t 。
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（理工农医类）
第 I 卷（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1. 若复数 z 满足 izi 1 ，则 z 等于（ ）
A． i1 B． i1 C． i1 D． i1
2. 等差数列 }{ na 中， 7,10 451 aaa ，则数列 }{ na 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
3. 下列命题中，真命题是（ ）
A． 0, 0
0 xeRx B． 22, xRx x
C． 0 ba 的充要条件是 1
b
a D． 1,1 ba 是 1ab 的充分条件
4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
5. 下列不等式一定成立的是（ ）
A． )0(lg)4
1lg( 2 xxx B． ),(2sin
1sin Zkkxxx
C． )(||212 Rxxx D． )(11
1
2 Rxx
6. 如图所示，在边长为 1 的正方形OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为
（ ）
A．
4
1 B．
5
1 C．
6
1 D．
7
1
7. 设函数
为无理数
为有理数
x
xxD
,0
,1)( ，则下列结论错误的是（ ）
A． )(xD 的值域为 }1,0{ B． )(xD 是偶函数
C． )(xD 不是周期函数 D． )(xD 不是单调函数
8. 双曲线
2 2
2 14
x y
b
的右焦点与抛物线 xy 122 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的
距离等于（ ）
A． 5 B． 24 C．3 D．5
9. 若直线 xy 2 上存在点 ),( yx 满足约束条件
mx
yx
yx
032
03
，则实数 m 的最大值为（ ）
A．
2
1 B．1 C．
2
3 D．2
10. 函数 )(xf 在 ],[ ba 上有定义，若对任意 ],[, 21 baxx ，有
)]()([2
1)2( 21
21 xfxfxxf ，则称 )(xf 在 ],[ ba 上具有性质 P 。设 )(xf 在[1,3]上具有
性质 P ，现给出如下命题：
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
① )(xf 在 ]3,1[ 上的图像时连续不断的；
② )( 2xf 在 ]3,1[ 上具有性质 P ；
③若 )(xf 在 2x 处取得最大值 1，则 1)( xf ， ]3,1[x ；
④对任意 ]3,1[,,, 4321 xxxx ，有
)]()()()([4
1)2( 4321
4321 xfxfxfxfxxxxf 。
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。
11. 4)( xa 的展开式中 3x 的系数等于 8，则实数 a _________。
12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的 s 值等于_____________________。
13. 已知 ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列，则其最大角的余弦值为_________。
14. 数列 }{ na 的通项公式 12cos nnan ，前 n 项和为 nS ，则 2012S ___________。
15. 对于实数 ba, ，定义运算“ ”：
baabb
baababa
,
,
2
2
，设 )1()12()( xxxf ，且关
于 x 的方程为 )()( Rmmxf 恰有三个互不相等的实数根 321 ,, xxx ，则 321 xxx 的取值范围
是_______________。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分 13 分）
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时
间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品
牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 1X ，生产一辆乙品牌轿
车的利润为 2X ，分别求 1X ， 2X 的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若
从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
17. （本小题满分 13 分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） 000202 17cos13sin17cos13sin ；
（2） 000202 15cos15sin15cos15sin ；
（3） 000202 12cos18sin12cos18sin ；
（4） 000202 48cos)18sin(48cos)13(sin ；
（5） 000202 55cos)25sin(55cos)25(sin 。
（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
18. （本小题满分 13 分）
如图，在长方体 1111 DCBAABCD 中， 11 ADAA ， E 为CD 中点。
（Ⅰ）求证： 11 ADEB ；
（Ⅱ）在棱 1AA 上是否存在一点 P ，使得 //DP 平面 AEB1 ？若存在，求 AP 的长；若不存
在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角 11 AABA 的大小为 030 ，求 AB 的长。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
19. （本小题满分 13 分）
如图，椭圆 )0(1: 2
2
2
2
bab
y
a
xE 的左焦点为 1F ，右焦点为 2F ，离心率
2
1e 。过
1F 的直线交椭圆于 BA, 两点，且 2ABF 的周长为 8。
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程。
（Ⅱ）设动直线 mkxyl : 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 4x 相较于点Q 。
试探究：在坐标平面内是否存在定点 M ，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ？若存在，
求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由。
20. （本小题满分 14 分）
已知函数 Raexaxexf x ,)( 2
（Ⅰ）若曲线 )(xfy 在点 ))1(,1( f 处的切线平行于 x 轴，求函数 )(xf 的单调区间；
（Ⅱ）试确定 a 的取值范围，使得曲线 )(xfy 上存在唯一的点 P ，曲线在该点处的切线与曲
线只有一个公共点 P 。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分。如果
多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方
框图黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换
设曲线 122 22 yxyx 在矩阵
b
aA )1(1
0
a 对应的变换作用下得到的曲线为
122 yx 。
（Ⅰ）求实数 ba, 的值。
（Ⅱ）求 2A 的逆矩阵。
（2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线
l 上两点 NM, 的极坐标分别为 )2,3
32(),0,2( ，圆 C 的参数方程
(
sin23
cos22
y
x 为参数）。
（Ⅰ）设 P 为线段 MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线 l 与圆 C 的位置关系。
（3）（本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 Rmxmxf |,2|)( ，且 0)2( xf 的解集为 ]1,1[ 。
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）若 Rcba ,, ，且 mcba
3
1
2
11 ，求证： 932 cba
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东 A 卷）
数学（理科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
1．设 i 为虚数单位，则复数 5 6i
i
A． 6 5i B． 6 5i C． 6 5i D． 6 5i
2．设集合 U {1,2 3,4,5,6} ， ， M {1,2,4} 则 MU ð
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
3．若向量 (2,3)BA ， (4,7)CA ，则 BC
A． ( 2, 4) B． (3,4) C． (6,10) D． ( 6, 10)
4．下列函数中，在区间 (0, ) 上为增函数的是
A． ln( 2)y x B 1y x C． 1( )2
xy D．
1y x x
5．已知变量 ,x y 满足约束条件
2
1
1
y
x y
x y
，则 3z x y 的最大值为
A．12 B．11 C．3 D．-1
6．某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为
A．12 B． 45 C．57 D．81
7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为 0 的概率是
A． 4
9 B． 1
3 C． 2
9 D． 1
9
8．对任意两个非零的平面向量 , ，定义
．若平面向量 ,a b
满足 0a b
， a
与
b
的夹角 0, 4
，且 和 都在集合 |2
n n Z
中，则 a b
A． 1
2 B．1 C． 3
2 D． 5
2
二、填空题：本大题共 7 小题．考生 作答 6 小题．每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9～13 题）
9．不等式| 2 | | | 1x x 的解集为___________．
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
10． 2 61( )x x
的展开式中 3x 的系数为__________．（用数字作答）
11．已知递增的等差数列{ }na 满足 1 1a ， 2
3 2 4a a ，则
na ________．
12．曲线 3 3y x x 在点 (1,3) 处的切线方程为__________．
13．执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出 s 的值
为_______．
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 xoy 中，曲
线 1C 和曲线 2C 的
参数方程分别为
ty
tx （t 为参数）和
sin2
cos2
y
x （ 为参数），则曲线 1C 和曲线 2C 的交点
坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆 O 的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足 30ABC ，
过点A做圆 O 的切线与OC的延长线交与点P，则PA= ．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
已知函数 )6cos(2)( xxf （其中 Rx ,0 ）的最小正周期为 10 ．
（1） 求 的值；
（2） 设 ,5
6)3
55(,2,0,
f 17
16)6
55( f ，求 )cos( 的值．
A
B
C
PO
图 3
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
17．（本小题满分 13 分）
某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：
[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100],
(1)求图中 x 的值;
(2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 ，
求 的数学期望．
18．（本小题满分 13 分）
如图 5 所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，
PA 平面 ABCD ，点 E 在线段 PC 上， PC 平面 BDE ．
（1）证明： BD 平面 PAC ；
（2）若 1PA ， 2AD ，求二面角 B PC A 的正切值．
19．（本小题满分 14 分）
设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，满足 1
12 2 1n
n nS a
， *n N ，且 1 2 3, 5,a a a 成等差数列．
（1）求 1a 的值；
（2）求数列{ }na 的通项公式；
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（3）证明：对一切正整数 n ，有
1 2
1 1 1 3
2na a a
．
20．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率 2
3e ，且椭圆 C 上的
点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3．
（1） 求椭圆 C 的方程
（2） 在椭圆 C 上，是否存在点 ( , )M m n ，使得直线 : 1l mx ny 与圆 2 2: 1O x y 相交于不同
的两点 A、B，且 OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 OAB 的面积；若
不存在，请说明理由．
）
21．（本小题满分 14 分）
设 1a ，集合 2{ 0}, { 2 3(1 ) 6 0}A x R x B x R x a x a ， D A B ．
（1） 求集合 D（用区间表示）；
（2） 求函数 3 2( ) 2 3(1 ) 6f x x a x ax 在 D 内的极值点．
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
参考答案
选择题答案：1-8： DCAAB CDC
填空题答案：
9. 1, 2
10. 20
11. 2 1n
12. 2 1y x
13. 8
14. 1,1
15. 3
解答题答案
16.
（1） 1
5
（2）代入得 62cos 2 5
3sin 5
162cos 17
8cos 17
∵ , 0, 2
∴ 4 15cos ,sin5 17
∴ 4 8 3 15 13cos cos cos sin sin 5 17 5 17 85
17.
（1）由30 0.006 10 0.01 10 0.054 10 1x 得 0.018x
（2）由题意知道：不低于 80 分的学生有 12 人，90 分以上的学生有 3 人
随机变量 的可能取值有 0,1,2
2
9
2
12
60 11
CP C
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
1 1
9 3
2
12
91 22
C CP C
2
3
2
12
12 22
CP C
∴ 6 9 1 10 1 211 22 22 2E
18.
（1）∵ PA ABCD 平面
∴ PA BD
∵ PC BDE 平面
∴ PC BD
∴ BD PAC 平面
（2）设 AC 与 BD 交点为 O，连OE
∵ PC BDE 平面
∴ PC OE
又∵ BO PAC 平面
∴ PC BO
∴ PC BOE 平面
∴ PC BE
∴ BEO 为二面角 B PC A 的平面角
∵ BD PAC 平面
∴ BD AC
∴ ABCD四边形 为正方形
∴ 2BO
在 PAC 中， 1 2
3 32
OE PA OE OEOC AC
∴ tan 3BOBEO OE
∴ 二面角 B PC A 的平面角的正切值为 3
19.
（1）在 1
12 2 1n
n nS a
中
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
令 1n 得： 2
1 22 2 1S a
令 2n 得： 3
2 32 2 1S a
解得： 2 12 3a a ， 3 16 13a a
又 2 1 32 5a a a
解得 1 1a
（2）由 1
12 2 1n
n nS a
2
1 22 2 1n
n nS a
得
1
2 13 2n
n na a
又 1 21, 5a a 也满足 1
2 13 2a a
所以 1 3 2n
n na a n N
对 成立
∴ 1
1+2 3 2n n
n na a
∴ 2 3n n
na
∴ 3 2n n
na
（3）
（法一）∵ 1 2 3 2 1 13 2 3 2 3 3 2 3 2 ... 2 3n n n n n n n
na
∴ 1
1 1
3n
na
∴ 2 1
1 2 3
11 1 31 1 1 1 1 1 1 3... 1 ... 13 3 3 21 3
n
n
na a a a
（法二）∵ 1 1 1
1 3 2 2 3 2 2n n n n
n na a
∴
1
1 1 1
2n na a
当 2n 时，
3 2
1 1 1
2a a
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
4 3
1 1 1
2a a
5 4
1 1 1
2a a
………
1
1 1 1
2n na a
累乘得：
2
2
1 1 1
2
n
na a
∴
2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 3... 1 ...5 2 5 2 5 5 2
n
na a a a
20.
（1）由 2
3e 得 2 23a b ，椭圆方程为 2 2 23 3x y b
椭圆上的点到点 Q 的距离 2 22 2 22 3 3 2d x y b y y
2 22 4 4 3y y b b y b
当① 1b 即 1b , 2
max 6 3 3d b 得 1b
当② 1b 即 1b , 2
max 4 4 3d b b 得 1b （舍）
∴ 1b
∴ 椭圆方程为
2
2 13
x y
（2） 1 1sin sin2 2AOBS OA OB AOB AOB
当 90AOB ， AOBS 取最大值 1
2
，
点 O 到直线l 距离
2 2
1 2
2d
m n
∴ 2 2 2m n
又∵
2
2 13
m n
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
解得： 2 23 1,2 2m n
所以点 M 的坐标为 6 2 6 2 6 2 6 2, , , ,2 2 2 2 2 2 2 2
或 或 或
AOB 的面积为 1
2
21.
（1）记 22 3 1 6 1h x x a x a a
29 1 48 3 1 3 9a a a a
1 当 0 ，即 1 13 a ， 0,D
2 当 10 3a ，
2 23 3 9 30 9 3 3 9 30 90, ,4 4
a a a a a aD
3 当 0a ，
23 3 9 30 9 ,4
a a aD
（2）由 26 6 1 6 0 =1f x x a x a x a 得 ， 得
① 当 1 13 a ， Df x a在 内有一个极大值点 ，有一个极小值点1
2 当 10 3a ，∵ 1 2 3 1 6 =3 1 0h a a a
2 22 3 1 6 =3 0h a a a a a a a
∴ 1 ,D a D
∴ Df x a在 内有一个极大值点
3 当 0a ，则 a D
又∵ 1 2 3 1 6 =3 1 0h a a a
∴ Df x 在 内有无极值点
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
试卷类型 A
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）
本试卷共 5 页，共 22 题，其中第 15、16 题为选考题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
1. 方程 2x +6x +13 =0 的一个根是
A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i
2 命题“ x0∈CRQ， 3
0x ∈Q ”的否定是
A x0∉CRQ， 3
0x ∈Q B x0∈CRQ ， 3
0x ∉Q
C x0∉CRQ ， 3
0x ∈Q D x0∈CRQ ， 3
0x ∉Q
3 已知二次函数 y =f(x)的图像如图所示 ，则它与 X 轴所围图形的面积为
A. 2
5
B. 4
3
C. 3
2
D.
2
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为
A. 8
3
B.3π C. 10
3
D.6π
5.设 a∈Z，且 0≤a≤13，若 512012+a 能被 13 整除，则 a=
A.0 B.1 C.11 D.12
6.设 a,b,c,x,y,z 是正数，且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则 a b c
x y z
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D, 3
4
7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数 f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是
等比数列，则称 f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f
（x）=x²；②f（x）=2x；③ ；④f（x）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的 f（x）的序号为
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
8.如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机
取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
9.函数 f（x）=xcosx²在区间[0,4]上的零点个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除
之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 。人
们还用过一些类似的近似公式。根据 =3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是
二、填空题：本大题共 6 小题，考试共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡．．．
对应题号．．．．的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
（一）必考题（11-14 题）
11.设△ABC 的内角 A，B，C，所对的边分别是 a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab，
则角 C=______________。
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 s=___________.
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如 22，,121,3443,94249 等。显然 2 位回文数
有 9 个：11,22,33…，99.3 位回文数有 90 个：101,111,121，…，191,202，…，999。则
（Ⅰ）4 位回文数有______个；
（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。
14.如图，双曲线 ),(1x
2
2
2
2
oba
b
y
a
的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 2BB， ，，两焦点为
F1，F2。若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A，B，C，D。则
（Ⅰ）双曲线的离心率 e=______；
（Ⅱ）菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值
2
1
S
S __________。
（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序
号后的方框用 2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第 15 题作答结果计分。）
15.（选修 4-1：几何证明选讲）
如图，点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动，AB=4，连接 OD，过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C，则 CD 的
最大值为_____________。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
16.（选修 4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线
4
与曲
线
2)1(
1x
ty
t （t 为参数）相较于 A，B 来两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为_________。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 12 分）
已知向量 a= )sinsin(cos xxx ， ，b= )cos32sincos( xxx ， ，设函数 f（x）=a·
b+ )( Rx 的图像关于直线 x=π对称，其中 ， 为常数，且 ）（ 1,2
1
（1） 求函数 f（x）的最小正周期；
（2） 若 y=f（x）的图像经过点 ）（ 0,4
求函数 f（x）在区间
5
30 ， 上的取值范围。
18.（本小题满分 12 分）
已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为 8.
（1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）若 a2,a3,a1 成等比数列，求数列 na 的前 n 项的和。
19.（本小题满分 12 分）
如图 1，∠ACB=45°，BC=3，过动点 A 作 AD⊥BC，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿
AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图 2 所示），
（1）当 BD 的长为多少时，三棱锥 A-BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥 A-BCD 的体积最大时，设点 E，M 分别为棱 BC，AC 的中点，试在棱 CD 上确定一
点 N，使得 EN⊥BM，并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
20．（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，
求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。
21.（本小题满分13分）
设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直
线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点
N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不
存在，请说明理由。
22.(本小题满分 14 分)
（I）已知函数 f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中 r 为有理数，且 0
0
B. 当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0
C.当 a>0 时，x1+x2<0, y1+y2<0
D. 当 a>0 时，x1+x2>0, y1+y2>0
解析:令 bxaxx
21 ，则 )0(1 23 xbxax ，设 23)( bxaxxF ， bxaxxF 23)( 2
令 023)( 2 bxaxxF ，则
a
bx 3
2 ，要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公
共点只需 1)3
2()3
2()3
2( 23
a
bba
baa
bF ，整理得 23 274 ab ，于是可取 3,2 ba 来研
究，当 3,2 ba 时， 132 23 xx ，解得
2
1,1 21 xx ，此时 2,1 21 yy ，此时
0,0 2121 yyxx ；当 3,2 ba 时， 132 23 xx ，解得
2
1,1 21 xx ，此时
2,1 21 yy ，此时 0,0 2121 yyxx .答案应选 B。
另解：令 )()( xgxf 可得 bax
x
2
1 。
设 baxy
x
y ,1
2
不妨设 21 xx ，结合图形可知，
当 0a 时如右图，此时 21 xx ，
即 021 xx ，此时 021 xx ， 1
12
2
11 yxxy ，即 021 yy ；同理可由图形经
过推理可得当 0a 时 0,0 2121 yyxx .答案应选 B。
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
（13）若不等式 的解集为 ，则实数 k=__________。
解析：由 可得 242 kx ，即 62 kx ，而 31 x ，所以 2k .
)0(
a
baxy
)0(
a
baxy
y y
x x21 xx21 xx
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
另解：由题意可知 3,1 xx 是 24 kx 的两根，则
243
24
k
k ，解得 2k .
（14）如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点，则三棱锥 D1-
EDF 的体积为____________。
解析：
6
1112
113
1
11
DEDFEDFD VV .
（15）设 a＞0.若曲线 与直线 x＝a，y=0 所围成封闭图形的面积为 a，则 a=______。
解析： aaxdxxS aa
2
3
0
2
3
0 3
2
3
2 ，解得
4
9a .
（16）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点 P 的
位置在（0,0），圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时， 的坐标为
______________。
解析：根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长，点 P 旋转
了 21
2 弧度，此时点 P 的坐标为
)2cos1,2sin2(
,2cos1)22sin(1
,2sin2)22cos(2
OP
y
x
P
P
.
另解 1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为
sin1
cos2
y
x ，且
22
3,2 PCD ，则点 P 的坐标为
2cos1)22
3sin(1
2sin2)22
3cos(2
y
x
，即
)2cos1,2sin2( OP .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。
C
D
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（17）（本小题满分 12 分）
已知向量 m=（sinx，1） ，函数 f（x）=m·n 的最大值为 6.
（Ⅰ）求 A；
（Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象像左平移
12
个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 1
2
倍，
纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象。求 g（x）在 上的值域。
解析：（Ⅰ）
62sin2cos22sin2
32cos2sincos3)( xAxAxAxAxxAnmxf ，
则 6A ;
（Ⅱ）函数 y=f（x）的图象像左平移
12
个单位得到函数 ]6)12(2sin[6 xy 的图象，
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 1
2
倍，纵坐标不变，得到函数 )34sin(6)( xxg .
当 ]24
5,0[ x 时， ]1,2
1[)34sin(],6
7,3[34 xx ， ]6,3[)( xg .
故函数 g（x）在 上的值域为 ]6,3[ .
另解：由 )34sin(6)( xxg 可得 )34cos(24)( xxg ，令 0)( xg ，
则 )(234 Zkkx ，而 ]24
5,0[ x ，则
24
x ，
于是 36
7sin6)24
5(,62sin6)24(,333sin6)0( ggg ，
故 6)(3 xg ，即函数 g（x）在 上的值域为 ]6,3[ .
（18）（本小题满分 12 分）
在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面 ABCD，AE
⊥BD，CB=CD=CF。
（Ⅰ）求证：BD⊥平面 AED；
（Ⅱ）求二面角 F-BD-C 的余弦值。
解析：（Ⅰ）在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,
由余弦定理可知 20222 3)180cos(2 CDDABCBCDCBCDBD ,
z
x y
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
即 ADCDBD 33 ,在 ABD 中，∠DAB=60°， ADBD 3 ，则 ABD 为直角三角形，
且 DBAD 。又 AE⊥BD， AD 平面 AED， AE 平面 AED，且 AAEAD ，故 BD⊥平
面 AED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 CBAC ，设 1CB ，则 3 BDCA ,建立如图所示的空间直角坐标
系， )0,2
1,2
3(),0,1,0(),01,0( DBF ，向量 )1,0,0(n 为平面 BDC 的一个法向量.
设向量 ),,( zyxm 为平面 BDF 的法向量，则
0
0
FBm
BDm ,即
0
02
3
2
3
zy
yx ，
取 1y ，则 1,3 zx ，则 )1,1,3(m 为平面 BDF 的一个法向量.
5
5
5
1,cos
nm
nmnm ，而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角，则
二面角 F-BD-C 的余弦值为
5
5 。
（19）（本小题满分 12 分）
现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向
乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分。该射手每次射击的结果
相互独立。假设该射手完成以上三次射击。
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX
解析：（Ⅰ）
36
7
3
2
3
1
4
1)3
1(4
3 1
2
2 CP ；
（Ⅱ） 5,4,3,2,1,0X
9
1
3
2
3
1
4
1)2(,12
1)3
1(4
3)1(.36
1)3
1(4
1)0( 1
2
22 CXPXPXP ,
3
1)3
2(4
3)5(,9
1)3
2(4
1)4(,3
1
3
2
3
1
4
3)3( 221
2 XPXPCXP
X 0 1 2 3 4 5
P
36
1
12
1
9
1
3
1
9
1
3
1
EX=0×
36
1 +1×
12
1 +2×
9
1 +3×
3
1 +4×
9
1 +5×
3
1 =
12
5312
41 .
（20）（本小题满分 12 分）
在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对任意 m∈N﹡，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为 bm，求数列{bm}的前
m 项和 Sm。
解析：（Ⅰ）由 a3+a4+a5=84，a5=73 可得 ,28,843 44 aa 而 a9=73，则
9,455 49 daad ， 12728341 daa ，于是 899)1(1 nnan ，即
89 nan .
（Ⅱ）对任意 m∈N﹡， mm n 29899 ，则 89989 2 mm n ，
即
9
899
89 121 mm n ，而 *Nn ，由题意可知 112 99 mm
mb ，
于是 )999(999 1101231
21
mm
mm bbbS
8
9
80
19
80
19109
8
19
80
99
91
91
91
99 121212
2
12 mmmmmmmm
，
即
8
9
80
19 12 mm
mS
.
（21）（本小题满分 13 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点，M 是抛物线 C 上位于第一象限内
的任意一点，过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 3
4
。
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存
在，说明理由；
（Ⅲ）若点 M 的横坐标为 2 ，直线 l：y=kx+ 1
4
与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，l 与圆 Q 有两
个不同的交点 D，E，求当 1
2
≤k≤2 时， 的最小值。
解析：（Ⅰ）F 抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点 F )2,0( p ，设 M )0)(2,( 0
2
0
0 xp
xx ， ),( baQ ，由
题意可知
4
pb ，则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 ppppb 4
3
242
3
4
，解得 1p ，于
是抛物线 C 的方程为 yx 22 .
（Ⅱ）假设存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M，
而 )2,(),0,0(),2
1,0(
2
0
0
xxMOF ， )4
1,(aQ ， QFOQMQ ，
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
16
1)4
1
2()( 22
2
02
0 axax ， 0
3
0
8
3
8 xxa ，
由 yx 22 可得 xy ，
0
3
0
2
0
0
8
3
8
24
1
xx
x
xk
，则 2
0
2
0
4
0 2
1
4
1
8
3
8
1 xxx ，
即 022
0
4
0 xx ，解得 10 x ，点 M 的坐标为 )2
1,1( .
（Ⅲ）若点 M 的横坐标为 2 ，则点 M )1,2( ， )4
1,8
2(Q 。
由
4
1
22
kxy
yx
可得 02
122 kxx ，设 ),(),,( 2211 yxByxA ，
]4))[(1( 21
2
21
22 xxxxkAB )24)(1( 22 kk
圆
32
3
16
1
64
2)2
1()8
2(: 22 yxQ ，
22 18
2
1
8
2
k
k
k
k
D
)1(8
23]
)1(3232
3[4 2
2
2
2
2
k
k
k
kDE
，
于是
)1(8
23)24)(1( 2
2
2222
k
kkkDEAB
，令 ]5,4
5[1 2 tk
4
1
8
1248
12)24(
)1(8
23)24)(1( 2
2
2
2222
tttt
ttt
k
kkkDEAB ，
设
4
1
8
124)( 2
ttttg ， 28
128)(
t
ttg ，
当 ]5,4
5[t 时， 0
8
128)( 2
t
ttg ，
即当
2
1,4
5 kt 时
10
144
1
4
58
1
4
5216
254)( min
tg .
故当
2
1k 时，
10
14)( min
22 DEAB .
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
22(本小题满分 13 分)
已知函数 f(x) = xe
kx ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线 y= f(x)在点（1，
f(1)）处的切线与 x 轴平行。
（Ⅰ）求 k 的值；
（Ⅱ）求 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设 g(x)=(x2+x) '( )f x ,其中 '( )f x 为 f(x)的导函数，证明：对任意 x＞0， 21)( exg 。
解析：由 f(x) = xe
kx ln 可得 )(xf xe
xkx ln1
，而 0)1( f ，即 01
e
k ，解得 1k ；
（Ⅱ） )(xf xe
xx ln11
，令 0)( xf 可得 1x ，
当 10 x 时， 0ln11)( xxxf ；当 1x 时， 0ln11)( xxxf 。
于是 )(xf 在区间 )1,0( 内为增函数；在 ),1( 内为减函数。
简证（Ⅲ） xx e
xxxx
e
xxxxxg ln)(1ln11
)()(
22
2
，
当 1x 时， 0,0,0ln,01 22 xexxxx ， 210)( exg .
当 10 x 时，要证 2
22
2 1ln)(1ln11
)()(
e
e
xxxx
e
xxxxxg xx 。
只需证 2 2 21 ( )ln (1 )xx x x x e e ，然后构造函数即可证明。
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24S Rp=
如果事件相互独立，那么 其中 R 表示球的半径
( ) ( ) ( )P A B P A P B× = 球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34
3V Rp=
在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
( ) (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k
n nP k C p p k n…-= - =
第一部分 （选择题 共 60 分）
注意事项：
1、选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 7(1 )x 的展开式中 2x 的系数是（ ）
A、 42 B、 35 C、 28 D、 21
2、复数
2(1 )
2
i
i
（ ）
A、1 B、 1 C、 i D、 i
3、函数
2 9 , 3( ) 3
ln( 2), 3
x xf x x
x x
在 3x 处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于 6 C、等于3 D、等于 0
4、如图，正方形 ABCD 的边长为1，延长 BA 至 E ，使 1AE ，连接
EC 、 ED ，则 sin CED （ ）
A、 3 10
10
B、 10
10
C、 5
10
D、 5
15
5、函数 1 ( 0, 1)xy a a aa
的图象可能是（ ）
A B C D
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设 a
、 b
都是非零向量，下列四个条件中，使
| | | |
a b
a b
成立的充分条件是（ ）
A、 a b
B、 //a b
C、 2a b
D、 //a b
且| | | |a b
8、已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 0(2, )M y 。若点 M 到该抛物线
焦点的距离为3 ，则| |OM （ ）
A、 2 2 B、 2 3 C、 4 D、 2 5
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产
乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原 料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利
润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。通
过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元
10、如图，半径为 R 的半球O 的底面圆 O 在平面 内，过点
O 作平面 的垂线交半球面于点 A ，过圆O 的直径CD 作平
面 成 45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 的
距离最大的点为 B ，该交线上的一点 P 满足 60BOP ，
则 A 、 P 两点间的球面距离为（ ）
A、 2arccos 4R B、
4
R
C、 3arccos 3R D、
3
R
11、方程 2 2ay b x c 中的 , , { 3, 2,0,1,2,3}a b c ，且 , ,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示
的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60 条 B、62 条 C、71 条 D、80 条
12、设函数 ( ) 2 cosf x x x ，{ }na 是公差为
8
的等差数列， 1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a ，则
2
3 1 3[ ( )]f a a a （ ）
A、 0 B、 21
16
C、 21
8
D、 213
16
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
第二部分 （非选择题 共 90 分）
注意事项：
（1）必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘
出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共 10 个小题，共 9 0 分。
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集 { , , , }U a b c d ，集合 { , }A a b ， { , , }B b c d ，则
( ) ( )U UA B ___________。
14、如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 、 N 分别是CD 、 1CC 的中
点，则异面直线 1A M 与 DN 所成角的大小是____________。
15、椭圆
2 2
14 3
x y 的左焦点为 F ，直线 x m 与椭圆相交于点 A 、 B ，当
FAB 的周长最大时， FAB 的面积是____________。
16、记[ ]x 为不超过实数 x 的最大整数，例如，[2] 2 ，[1.5] 1 ，[ 0.3] 1 。设 a 为正整数，
数列{ }nx 满足 1x a ， 1
[ ]
( )2
n
n
n
ax xx n N
，现有下列命题：
①当 5a 时，数列{ }nx 的前 3 项依次为 5,3,2；
②对数列{ }nx 都存在正整数 k ，当 n k 时总有 n kx x ；
③当 1n 时， 1nx a ；
④对某个正整数 k ，若 1k kx x ，则 [ ]nx a 。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分 12 分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） A 和 B ，系统 A 和 B 在任意时刻
发生故障的概率分别为 1
10
和 p 。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49
50
，求 p 的值；
（Ⅱ）设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数学
期望 E 。
18、(本小题满分 12 分)
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
函数 2( ) 6cos 3 cos 3( 0)2
xf x x 在一个周期内的图象如图所示， A 为图象的
最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC 为正三角形。
（Ⅰ）求 的值及函数 ( )f x 的值域；
（Ⅱ）若 0
8 3( ) 5f x ，且 0
10 2( , )3 3x ，求 0( 1)f x 的值。
19、(本小题满分 12 分)
如图，在三棱锥 P ABC 中， 90APB ，
60PAB ， AB BC CA ，平面 PAB 平面
ABC 。
（Ⅰ）求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角 B AP C 的大小。
20、(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2 2n na a S S 对一切正整数 n 都成
立。
（Ⅰ）求 1a ， 2a 的值；
（Ⅱ）设 1 0a ，数列 110{lg }
n
a
a
的前 n 项和为 nT ，当 n 为何值时， nT 最大？并求出 nT 的最大值。
21、(本小题满分 12 分)
如图，动点 M 到两定点 ( 1,0)A 、 (2,0)B 构成 MAB ，且
2MBA MAB ，设动点 M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 2y x m 与 y 轴交于点 P ，与轨迹C 相交于点
Q R、 ，且| | | |PQ PR ，求 | |
| |
PR
PQ
的取值范围。
22、(本小题满分 14 分)
已知 a 为正实数， n 为自然数，抛物线 2
2
nay x 与 x 轴正半轴相交于点 A ，设 ( )f n 为
该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。
（Ⅰ）用 a 和 n 表示 ( )f n ；
（Ⅱ）求对所有 n 都有
3
3
( ) 1
( ) 1 1
f n n
f n n
成立的 a 的最小值；
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（Ⅲ）当 0 1a 时，比较
1
1
( ) (2 )
n
k f k f k 与 27 (1) ( )
4 (0) (1)
f f n
f f
的大小，并说明理由。
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。
1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C
7. C 8. B 9. C 10. A 11. B 12. D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。
13. { , , }a c d
14. 90
15. 3
16. ①③④
三、解答题
17. 本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念
及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。
解：（I）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么
1 491 ( ) 1 10 50P C p
解得 1
5p …………………………………………………………………………4 分
（II）由题意， 0 3
3
1 1( 0) ( )10 1000P C
1 2
3
1 1 27( 1) ( ) (1 )10 10 1000P C
2 2
3
1 1 243( 2) (1 )10 10 1000P C
3 3
3
1 729( 3) (1 )10 1000P C
所 以，随机变量 的概率分布列为 0 1 2 3
P 1
1000
27
1000
243
1000
729
1000
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
故随机变量 的数学期望：
1 27 243 729 270 1 2 31000 1000 1000 1000 10E …………………………..12 分
18．本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍
角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。
解：（I）由已知可得， ( ) 3cos 3sin 2 3sin( )3f x x x x
又正三角形 ABC 的高为 2 3 ，从而 4BC
所以函数 ( )f x 的周期 4 2 8T ，即 2 8, 4
函数 ( )f x 的值域为[ 2 3,2 3] ………………………………………………..6 分
（II）因为 0
8 3( ) 5f x ，由（I）有
0
0
8 3( ) 2 3sin( )4 3 5
xf x ，即 0 4sin( )4 3 5
x
由 0
10 2( , )3 3x ，知 0 ( , )4 3 2 2
x
所以 20 4 3cos( ) 1 ( )4 3 5 5
x
故
0 0
0
0 0
( 1) 2 3sin( ) 2 3sin[( ) ]4 4 3 4 3 4
2 3[sin( )cos cos( )sin ]4 3 4 4 3 4
4 2 3 2 7 62 3( )5 2 5 2 5
x xf x
x x
……………………………………………………………………………………12 分
19. 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象
能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一：
（I）设 AB 的中点为 D ， AD 的中点为 O ，连接
PO CO CD、 、 ，
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
由已知， PAD 为等边三角形，
所以 PO AD
又平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面 ABC AD ，
所以 PO 平面 ABC
所以 OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角
不妨设 4AB ，则 2, 2 3, 1, 3PD CD OD PO
在 Rt OCD 中， 2 2 13CO OD CD
所以，在 Rt POC 中， 3 39tan 1313
POOCP CO
故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 39arctan 13
………………………….6 分
（II）过 D 作 DE AP 于 E ，连接 CE
由已知可得，CD 平面 PAB
根据三垂线定理知，CD PA
所以 CED 为二面角 B AP C 的平面角
由（I）知， 3DE
在 Rt CDE 中， 2 3tan 2
3
CDCED DE
故二面角 B AP C 的大小为 arctan 2 …………………………………………12 分
解法二：
（I）设 AB 的中点为 D，作 PO AB 于点O ，连结 CD
因为平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面 ABC = AD ，
所以 PO 平面 ABC
所以 PO CD
由 AB BC CA ，知 CD AB
设 E 为 AC 中点，则 //EO CD ，从而 ,OE PO OE AB
如图，以O 为坐标原点，OB OE OP、 、 所在直线分别为 x y z、 、 轴建立空间直角坐标系
O xyz ，不妨设 2PA ，由已知可得， 4, 1, 3, 2 3AB OA OD OP CD
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
所以 (0,0,0), ( 1,0,0), (1,2 3,0), (0,0, 3)O A C P
所以 ( 1, 2 3, 3)CP ，而 (0,0, 3)OP 为平面 ABC 的一个法向量
设 a 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角，
则 0 0 3 3sin | | | | 416 3
CP OPa
CP OP
故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 3arcsin 4
…………………………….6 分
（II）由（I）有， (1,0, 3), (2,2 3,0)AP AC
设平面 APC 的一个法向量为 1 1 1( , , )n x y z ，则
1 1 1
1 1 1
( , , ) (1,0, 3) 00
0 ( , , ) (2,2 3,0) 0
x y zn AP n AP
n AC n AC x y z
从而 1 1
1 1
3 0
2 2 3 0
x z
x y
取 1 3x ，则 1 11, 1y z ，所以 ( 3,1,1)n
设二面角 B AP C 的平面角为 ，易知 为锐角
而面 ABP 的一个法向量为 (0,1,0)m ，则
1 5cos | | | || | | | 53 1 1
n m
n m
故二面角 B AP C 的大小为 5arccos 5
………………………………………….12 分
20. 本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与
解决问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想
解：
（I）取 1n ，得 2 1 2 1 1 22a a S S a a ①
取 2n ，得 2
2 1 22 2a a a ②
由② ①，得 2 2 1 2( )a a a a ③
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（1）若 2 0a ，由①知 1 0a
（2）若 2 0a ，由③知 2 1 1a a ④
由①、④解得， 1 22 1, 2 2a a ；或 1 21 2, 2 2a a
综上可得， 1 20, 0a a ；或 1 22 1, 2 2a a ；或 1 21 2, 2 2a a ……5
分
（II）当 1 0a 时，由（I）知 1 22 1, 2 2a a
当 2n 时，有 2 1 2 1(2 2) ,(2 2)n n n na S S a S S ，
所以 1(1 2) (2 2)n na a ，即 12 ( 2)n na a n ，
所以 1 1
1 2 ( 2 1) ( 2)n n
na a
令 110lgn
n
ab a
，则 1
1
1 1 1001 lg( 2) 1 ( 1)lg 2 lg2 2 2
n
n nb n
所以数列{ }nb 是单调递减的等差数列（公差为 1 lg 22
），从而
1 2 7
10... lg lg1 08b b b
当 8n 时， 8
1 100 1lg lg1 02 128 2nb b ，
故 7n 时， nT 取得最大值，且 nT 的最大值为
1 7
7
7( ) 7(1 1 3lg 2) 217 lg 22 2 2
b bT ……………………………………….12 分
21. 本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函
数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。
解：
（I）设 M 的坐标为 ( , )x y ，显然有 0x ，且 0y
当 90MBA 时，点 M 的坐标为 (2, 3)
当 90MBA 时， 2x ，由 2MBA MAB ，有
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
2
2tantan 1 tan
MABMBA MAB
，即
2
| |2| | 1
| |2 1 ( )1
y
y x
yx
x
化简可得， 2 23 3 0x y
而点 (2, 3) 在曲线 2 23 3 0x y 上
综上可知，轨迹C 的方程为 2 23 3 0( 1)x y x …………………………………5 分
（II）由 2 2
2 ,
3 3 0
y x m
x y
消去 y ，可得
2 24 3 0x mx m （*）
由题意，方程（*）有两根且均在 (1, ) 内，设 2 2( ) 4 3f x x mx m
所以 2 2
2 2
4 12
(1) 1 4 3 0
( 4 ) 4( 3) 0
m
f m m
m m
解得， 1m ，且 2m
设Q R、 的坐标分别为 ( , ),( , )Q Q R Rx y x y ，由| | | |PQ PR 有
2 22 3( 1), 2 3( 1)R Qx m m x m m
所以
2 2
2
2 2
12 3(1 )2 3( 1)| | 41| | 1 12 3( 1) 2 3(1 ) 2 3(1 )
R
Q
m mxPR m
PQ x m m
m m
由 1m ，且 2m ，有
2
41 1 7 4 3
12 3(1 )m
且
2
41 7
12 3(1 )m
所以 | |
| |
PR
PQ
的取值范围是 (1,7) (7,7 4 3) ………………………………………..12 分
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
22. 本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与
解决问题的能力和创新意识，考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法。
解：
（I）由已知得，交点 A 的坐标为 ( ,0)2
na ，对 2 1
2
ny x a 求导得 2y x ，则抛物线在点 A
处的切线方程为 2 ( )2
n
n ay a x ，即 2 n ny a x a ，则 ( ) nf n a ……………3 分
（II）由（I）知 ( ) nf n a ，则
3
3
( ) 1
( ) 1 1
f n n
f n n
成立的充要条件是 32 1na n
即知， 32 1na n 对所有 n 成立，特别地，取 2n 得到 17a
当 17a ， 3n 时，
1 2 2 3 34 (1 3) 1 3 3 3 ...n n n
n n na C C C
1 2 2 3 31 3 3 3n n nC C C
3 211 2 [5( 2) (2 5)]2n n n n
32 1n
当 0,1,2n 时，显然 3( 17) 2 1n n
故 17a 时，
3
3
( ) 1
( ) 1 1
f n n
f n n
对所有自然数 n 都成立
所以满足条件的 a 的最小值为 17 …………………………………………………..8 分
（III）由（I）知 ( ) kf k a ，则 2
1 1
1 1 (1) ( ),( ) (2 ) (0) (1) 1
nn n
k k
k k
f f n a a
f k f k a a f f a
下面证明：
1
1 27 (1) ( )
( ) (2 ) 4 (0) (1)
n
k
f f n
f k f k f f
首先证明：当 0 1x 时， 2
1 27
4 xx x
设函数 227( ) ( ) 1,0 14g x x x x x
则 81 2( ) ( )4 3g x x x
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
当 20 3x 时， ( ) 0g x ；当 2 13 x 时， ( ) 0g x
故 ( )g x 在区间 (0,1) 上的最小值 min
2( ) ( ) 03g x g
所以，当 0 1x 时， ( ) 0g x ，即得 2
1 27
4 xx x
由 0 1a 知 *0 1( )ka k N ，因此 2
1 27
4
k
k k aa a
，从而
2
1 1
1 1
( ) (2 )
n n
k k
k kf k f k a a
1
27
4
n
k
k
a
127
4 1
na a
a
27
4 1
na a
a
27 (1) ( )
4 (0) (1)
f f n
f f
…………………………………………………14 分
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第 I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分,考试用时 120 分钟
第 I 卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）i 是虚数单位，复数 7= 3
iz i
=
（A） 2 i （Ｂ） 2 i （Ｃ） 2 i （Ｄ） 2 i
１．B
【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.
【解析】 7= 3
iz i
= (7 )(3 )
(3 )(3 )
i i
i i
= 21 7 3 1
10
i i
= 2 i
（２）设 R ，则“ =0 ”是“ ( )=cos( + )f x x ( )x R 为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件
（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
2．A
【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.
【解析】∵ =0 ( )=cos( + )f x x ( )x R 为偶函数，反之不成立，∴“ =0 ”是
“ ( )=cos( + )f x x ( )x R 为偶函数”的充分而不必要条件.
（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为 25 时，输出 x 的
值为
（A） 1 （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9
3．C
【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运
算.
【解析】根据图给的算法程序可知：第一次 =4x ，第二次 =1x ，则输出
=2 1+1=3x .
（4）函数 3( )=2 + 2xf x x 在区间 (0,1) 内的零点个数是
（A）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3
4．B
【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图
的数学能力.
【解析】解法 1：因为 (0)=1+0 2= 1f ， 3(1)=2+2 2=8f ，即 (0) (1)<0f f 且函数 ( )f x 在
(0,1) 内连续不断，故 ( )f x 在 (0,1) 内的零点个数是 1.
解法 2：设 1=2xy ， 3
2 =2y x ，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知 B 正确.
（5）在 2 51(2 )x x
的二项展开式中， x 的系数为
（A）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40
5．D
【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.
【解析】∵ 2 5- 1
+1 5= (2 ) ( )r r r
rT C x x = 5- 10-3
52 ( 1)r r r rC x ，∴10 3 =1r ，即 =3r ，∴ x 的系数为
40 .
（6）在△ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 , ,a b c ，已知8 =5b c ， =2C B ，则 cosC=
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（A） 7
25
（Ｂ） 7
25
（Ｃ） 7
25
（Ｄ） 24
25
6．A
【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等
能力.
【解析】∵8 =5b c ，由正弦定理得8sin =5sinB C ，又∵ =2C B ，∴8sin =5sin 2B B ，所以
8sin =10sin cosB B B ，易知sin 0B ，∴ 4cos = 5B ， 2cos =cos2 =2cos 1C B B = 7
25
.
（7）已知△ABC 为等边三角形， =2AB ，设点 P，Q 满足 =AP AB ， =(1 )AQ AC ，
R ，若 3= 2BQ CP ，则 =
（A） 1
2
（Ｂ）1 2
2
（Ｃ）1 10
2
（Ｄ） 3 2 2
2
7．A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，
共线向量定理及其数量积的综合运用.
【解析】∵ =BQ AQ AB
= (1 )AC AB ， =CP AP AC
= AB AC ，
又∵ 3= 2BQ CP ，且| |=| |=2AB AC
， 0< , >=60AB AC
， 0=| || |cos60 =2AB AC AB AC ，∴
3[(1 ) ]( )= 2AC AB AB AC ， 2 2 2 3| | +( 1) +(1 )| | = 2AB AB AC AC ，所以
2 34 +2( 1)+4(1 )= 2
，解得 1= 2
.
（8）设 m ， n R ，若直线 ( 1) +( 1) 2=0m x n y 与圆 2 2( 1) +(y 1) =1x 相切，则 +m n 的取
值范围是
（A）[1 3,1+ 3] （Ｂ） ( ,1 3] [1+ 3,+ )
（Ｃ）[2 2 2,2+2 2] （Ｄ） ( ,2 2 2] [2+2 2,+ )
8．D
【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次
不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
【解析】∵直线 ( 1) +( 1) 2=0m x n y 与圆 2 2( 1) +(y 1) =1x 相切，∴圆心 (1,1) 到直线的距离
为
2 2
|( 1)+( 1) 2|= =1
( 1) +( 1)
m nd
m n
，所以 21 ( )2
m nmn m n ，设 =t m n ，
则 21 +14 t t ，解得 ( ,2 2 2] [2+2 2,+ )t .
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
（9）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所
学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.
9．18，9
【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.
【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为 250 所，
所以应从小学中抽取 150 30=18250
，中学中抽取 75 30=9250
.
（10）―个几何体的三视图如图所示(单位： m )，则该几何体的体积为 3m .
10．18+9
【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.
【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：
34 3=3 6 1+2 ( )3 2V =18+9 3m .
（11）已知集合 ={ || +2|<3}A x R x ，集合 ={ |( )( 2)<0}B x R x m x ,且 =( 1, )A B n ，则
=m , =n .
11． 1 ，1
【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次
不等式的解法以及分类讨论思想.
【解析】∵ ={ || +2|<3}A x R x ={ || 5< <1}x x ,又∵ =( 1, )A B n ，画数轴可知 = 1m ， =1n .
（12）己知抛物线的参数方程为
2=2 ,
=2 ,
x pt
y pt
（t 为参数），其中 >0p ，焦点为 F ，准线为l ，过抛物
线上一点 M 作的垂线，垂足为 E ，若| |=| |EF MF ，点 M 的横坐标是 3，则 =p .
12．2
【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
【解析】∵
2=2 ,
=2 ,
x pt
y pt
可得抛物线的标准方程为 2 =2y px ( >0)p ，∴焦点 ( ,0)2
pF ，∵点 M 的横坐
标是 3，则 (3, 6 )M p ，所以点 ( , 6 )2
pE p ， 2 2 2=( ) +(0 6 )2 2
p pEF p
由抛物线得几何性质得 = +32
pMF ，∵ =EF MF ，∴ 2 21+6 = +3 +94p p p p ，解得 =2p .
（13）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦.过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD
的平行线与圆相交于点Ｅ，与 AB 相交于点 F， =3AF ， =1FB ， 3= 2EF ，则线段 CD 的长
为 .
13． 4
3
【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三
角形的概念、判定与性质.
【解析】∵ =3AF ， =1FB ， 3= 2EF ，由相交弦定理得 =AF FB EF FC ，所以 =2FC ，又∵
BD∥CE，∴ =AF FC
AB BD
， 4= = 23
ABBD FCAF
= 8
3
，设 =CD x ，则 =4AD x ，再由切割线定理得
2 =BD CD AD ，即 284 =( )3x x ，解得 4= 3x ，故 4= 3CD .
（14）已知函数
2| 1|= 1
xy x
的图象与函数 = 2y kx 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围
是 .
14． (0,1) (1,4)
【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参
数的取值范围.
【解析】∵函数 = 2y kx 的图像直线恒过定点 B(0, 2) ，且 (1, 2)A ， ( 1,0)C ， (1,2)D ，∴
2+2= =01 0ABk
， 0+2= = 21 0BCk
， 2+2= =41 0BDk
，由图像可知 (0,1) (1,4)k .
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分 13 分）已知函数 2( )=sin (2 + )+sin(2 )+2cos 13 3f x x x x ， x R .
(Ⅰ)求函数 ( )f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间[ , ]4 4
上的最大值和最小值.
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 = sin ( + )y A x 的数学模型，再根据此三角
模型的图像与性质进行解题即可.
（16）（本小题满分 13 分）现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选
择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为 1
或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率：
（Ⅱ）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：
（Ⅲ）用 ,X Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 =| |X Y ，求随机变量 的分布
列与数学期望 E .
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于
此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典
概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.
（17）（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 丄平面 ABCD ， AC 丄 AD ，
AB 丄 BC ， 0=45ABC ， = =2PA AD ， =1AC .
(Ⅰ)证明 PC 丄 AD ；
（Ⅱ）求二面角 A PC D 的正弦值；
（Ⅲ）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为
030 ，求 AE 的长.
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题
相似，但底面是非特殊
的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点 E 的位置是不确定的，
需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（18）(本小题满分 13 分）已知{ na }是等差数列，其前 n 项和为 nS ，{ nb }是等比数列,且 1a =
1 =2b ， 4 4+ =27a b ， 4 4 =10S b .
(Ⅰ)求数列{ na }与{ nb }的通项公式；
(Ⅱ)记 1 1 2 1= + + +n n n nT a b a b a b ， +n N ，证明 +12= 2 +10n n nT a b +( )n N .
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多
样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高
考命题选拔性的原则.
（19）（本小题满分 14 分）设椭圆
2 2
2 2+ =1x y
a b ( > >0)a b 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上
且异于 A，B 两点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 1
2
，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若| |=| |AP OA ，证明直线 OP 的斜率 k 满足| |> 3k .
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】
（20）（本小题满分 14 分）已知函数 ( )= ln ( + )f x x x a 的最小值为 0 ，其中 >0a .
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）若对任意的 [0,+ )x ,有 2( )f x kx 成立，求实数 k 的最小值；
（Ⅲ）证明
=1
2 ln (2 +1)<22 1
n
i
ni
*( )n N .
【命题意图】本试题主要考查了
【参考答案】
【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，
第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三
问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
绝密*启用前
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
（1）已知集合 {1,2,3,4,5}A , {( , ) , , }B x y x A y A x y A ；,则 B 中所含元素
的个数为（ ）
( )A 3 ( )B 6 ( )C ( )D
【解析】选 D
5, 1,2,3,4x y ， 4, 1,2,3x y ， 3, 1,2x y ， 2, 1x y 共 10 个
（2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
( )A 12 种 ( )B 10 种 ( )C 种 ( )D 种
【解析】选 A
甲地由1名教师和 2 名学生： 1 2
2 4 12C C 种
（3）下面是关于复数 2
1z i
的四个命题：其中的真命题为（ ）
1 : 2p z 2
2 : 2p z i 3 :p z 的共轭复数为1 i 4 :p z 的虚部为 1
( )A 2 3,p p ( )B 1 2,p p ( )C ,p p ( )D ,p p
【解析】选C
2 2( 1 ) 11 ( 1 )( 1 )
iz ii i i
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
1 : 2p z ， 2
2 : 2p z i ， 3 :p z 的共轭复数为 1 i ， 4 :p z 的虚部为 1
（4）设 1 2F F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左、右焦点， P 为直线 3
2
ax 上一点，
2 1F PF 是底角为30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）
( )A 1
2 ( )B 2
3 ( )C
( )D
【解析】选C
2 1F PF 是底角为30 的等腰三角形 2 2 1
3 32( ) 22 4
cPF F F a c c e a
（5）已知 na 为等比数列， 4 7 2a a ， 5 6 8a a ，则 1 10a a
（ ）
( )A 7 ( )B 5 ( )C
( )D
【解析】选 D
4 7 2a a ， 5 6 4 7 4 78 4, 2a a a a a a 或 4 72, 4a a
4 7 1 10 1 104, 2 8, 1 7a a a a a a
4 7 10 1 1 102, 4 8, 1 7a a a a a a
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 ( 2)N N 和
实数 1 2, ,..., na a a ，输出 ,A B ，则（ ）
( )A A B 为 1 2, ,..., na a a 的和
( )B 2
A B 为 1 2, ,..., na a a 的算术平均数
( )C A 和 B 分别是 1 2, ,..., na a a 中最大的数和最小的数
( )D A 和 B 分别是 1 2, ,..., na a a 中最小的数和最大的数
【解析】选C
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
( )A 6 ( )B 9 ( )C ( )D
【解析】选 B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3
此几何体的体积为 1 1 6 3 3 93 2V
（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 xy 162 的准线交于 ,A B
两点， 4 3AB ；则C 的实轴长为（ ）
( )A 2 ( )B 2 2 ( )C ( )D
【解析】选C
设 2 2 2: ( 0)C x y a a 交 xy 162 的准线 : 4l x 于 ( 4,2 3)A ( 4, 2 3)B
得： 2 2 2( 4) (2 3) 4 2 2 4a a a
（9）已知 0 ，函数 ( ) sin( )4f x x 在 ( , )2
上单调递减。则 的取值范围是（ ）
( )A 1 5[ , ]2 4 ( )B 1 3[ , ]2 4 ( )C 1(0, ]2 ( )D (0,2]
【解析】选 A
5 92 ( ) [ , ]4 4 4x 不合题意 排除 ( )D
3 51 ( ) [ , ]4 4 4x 合题意 排除 ( )( )B C
另： ( ) 22
， 3( ) [ , ] [ , ]4 2 4 4 2 2x
得： 3 1 5,2 4 2 4 2 2 4
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（10） 已知函数 1( ) ln( 1)f x x x
；则 ( )y f x 的图像大致为（ ）
【解析】选 B
( ) ln(1 ) ( ) 1
( ) 0 1 0, ( ) 0 0 ( ) (0) 0
xg x x x g x x
g x x g x x g x g
得： 0x 或 1 0x 均有 ( ) 0f x 排除 , ,A C D
（11）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的求面上， ABC 是边长为1的正三角形，
SC 为球 O 的直径，且 2SC ；则此棱锥的体积为（ ）
( )A 2
6 ( )B 3
6 ( )C 2
3 ( )D 2
2
【解析】选 A
ABC 的外接圆的半径 3
3r ，点 O 到面 ABC 的距离 2 2 6
3d R r
SC 为球 O 的直径 点 S 到面 ABC 的距离为 2 62 3d
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
此棱锥的体积为 1 1 3 2 6 223 3 4 3 6ABCV S d
另： 1 323 6ABCV S R 排除 , ,B C D
（12）设点 P 在曲线 1
2
xy e 上，点Q 在曲线 ln(2 )y x 上，则 PQ 最小值为（ ）
( )A 1 ln 2 ( )B 2(1 ln 2) ( )C 1 ln 2 ( )D 2(1 ln 2)
【解析】选 A
函数 1
2
xy e 与函数 ln(2 )y x 互为反函数，图象关于 y x 对称
函数 1
2
xy e 上的点 1( , )2
xP x e 到直线 y x 的距离为
1
2
2
xe x
d
设函数 min min
1 1 1 ln 2( ) ( ) 1 ( ) 1 ln 22 2 2
x xg x e x g x e g x d
由图象关于 y x 对称得： PQ 最小值为 min2 2(1 ln 2)d
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-第
24 题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）已知向量 ,a b
夹角为 45 ，且 1, 2 10a a b ；则 _____b
【解析】 _____b
3 2
222 10 (2 ) 10 4 4 cos45 10 3 2a b a b b b b
(14) 设 ,x y 满足约束条件：
, 0
1
3
x y
x y
x y
；则 2z x y 的取值范围为
【解析】 2z x y 的取值范围为 [ 3,3]
约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域： (0,0), (0,1), (1,2), (3,0)O A B C
则 2 [ 3,3]z x y
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从
正态分布 2(1000,50 )N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命
超过 1000 小时的概率为
【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为 3
8
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2(1000,50 )N
得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1
2p
超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2
1
31 (1 ) 4P p
那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 2 1
3
8p p p
（16）数列{ }na 满足 1 ( 1) 2 1n
n na a n ，则{ }na 的前 60 项和为
【解析】{ }na 的前 60 项和为 1830
可证明： 1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 2 4 16 16n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b
1 1 2 3 4 15
15 1410 10 15 16 18302b a a a a S
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
已知 , ,a b c 分别为 ABC 三个内角 , ,A B C 的对边， cos 3 sin 0a C a C b c
（1）求 A （2）若 2a ， ABC 的面积为 3 ；求 ,b c 。
【解析】（1）由正弦定理得：
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sina C a C b c A C A C B C
sin cos 3sin sin sin( ) sin
13sin cos 1 sin( 30 ) 2
30 30 60
A C A C a C C
A A A
A A
（2） 1 sin 3 42S bc A bc
2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c
解得： 2b c （l fx lby）
18.（本小题满分 12 分）
某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润 y (单位：元)关于当天需求量 n
（单位：枝， n N ）的函数解析式。
（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列，
数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？
请说明理由。
【解析】（1）当 16n 时， 16 (10 5) 80y
当 15n 时， 5 5(16 ) 10 80y n n n
得： 10 80( 15) ( )80 ( 16)
n ny n Nn
（2）（i） X 可取 60 ， 70 ，80
( 60) 0.1, ( 70) 0.2, ( 80) 0.7P X P X P X
X 的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
60 0.1 70 0.2 80 0.7 76EX
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
2 2 216 0.1 6 0.2 4 0.7 44DX
（ii）购进 17 枝时，当天的利润为
(14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76 .4y
76.4 76 得：应购进 17 枝
（19）（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1
1
2AC BC AA ，
D 是棱 1AA 的中点， BDDC 1
（1）证明： BCDC 1
（2）求二面角 11 CBDA 的大小。
【解析】（1）在 Rt DAC 中， AD AC
得： 45ADC
同理： 1 1 145 90A DC CDC
得： 1 1 1,DC DC DC BD DC 面 1BCD DC BC
（2） 1 1,DC BC CC BC BC 面 1 1ACC A BC AC
取 1 1A B 的中点O ，过点O 作OH BD 于点 H ，连接 1 1,C O C H
1 1 1 1 1 1 1AC B C C O A B ，面 1 1 1A B C 面 1A BD 1C O 面 1A BD
1OH BD C H BD 得：点 H 与点 D 重合
且 1C DO 是二面角 11 CBDA 的平面角
设 AC a ，则 1
2
2
aC O ， 1 1 12 2 30C D a C O C DO
既二面角 11 CBDA 的大小为30
（20）（本小题满分 12 分）
设抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点为 F ，准线为l ， A C ，已知以 F 为圆心，
FA 为半径的圆 F 交l 于 ,B D 两点；
（1）若 090BFD ， ABD 的面积为 24 ；求 p 的值及圆 F 的方程；
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
（2）若 , ,A B F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到 ,m n 距离的比值。
【解析】（1）由对称性知： BFD 是等腰直角 ，斜边 2BD p
点 A 到准线l 的距离 2d FA FB p
14 2 4 2 22ABDS BD d p
圆 F 的方程为 2 2( 1) 8x y
（2）由对称性设
2
0
0 0( , )( 0)2
xA x xp
，则 (0, )2
pF
点 ,A B 关于点 F 对称得：
2 2
2 20 0
0 0( , ) 32 2 2
x x pB x p p x pp p
得： 3( 3 , )2
pA p ，直线
3
32 2: 3 02 23
p p
p pm y x x y
p
2
2 3 32 2 3 3
x xx py y y x pp p
切点 3( , )3 6
p pP
直线 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6
p pn y x x y p
坐标原点到 ,m n 距离的比值为 3 3: 32 6
p p 。（lfx lby）
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 ( )f x 满足满足 1 21( ) (1) (0) 2
xf x f e f x x ；
（1）求 ( )f x 的解析式及单调区间；
（2）若 21( ) 2f x x ax b ，求 ( 1)a b 的最大值。
【解析】（1） 1 2 11( ) (1) (0) ( ) (1) (0)2
x xf x f e f x x f x f e f x
令 1x 得： (0) 1f
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
1 2 11( ) (1) (0) (1) 1 (1)2
xf x f e x x f f e f e
得： 21( ) ( ) ( ) 12
x xf x e x x g x f x e x
( ) 1 0 ( )xg x e y g x 在 x R 上单调递增
( ) 0 (0) 0, ( ) 0 (0) 0f x f x f x f x
得： ( )f x 的解析式为 21( ) 2
xf x e x x
且单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 ( ,0)
（2） 21( ) ( ) ( 1) 02
xf x x ax b h x e a x b 得 ( ) ( 1)xh x e a
①当 1 0a 时， ( ) 0 ( )h x y h x 在 x R 上单调递增
x 时， ( )h x 与 ( ) 0h x 矛盾
②当 1 0a 时， ( ) 0 ln( 1), ( ) 0 ln( 1)h x x a h x x a
得：当 ln( 1)x a 时， min( ) ( 1) ( 1)ln( 1) 0h x a a a b
2 2( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)( 1 0)a b a a a a
令 2 2( ) ln ( 0)F x x x x x ；则 ( ) (1 2ln )F x x x
( ) 0 0 , ( ) 0F x x e F x x e
当 x e 时， max( ) 2
eF x
当 1,a e b e 时， ( 1)a b 的最大值为
2
e
请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清题号。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图， ,D E 分别为 ABC 边 ,AB AC 的中点，直线 DE 交
ABC 的外接圆于 ,F G 两点，若 / /CF AB ，证明：
（1）CD BC ；
（2） BCD GBD
【解析】（1） / /CF AB ， / / / / / /DF BC CF BD AD CD BF
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
/ /CF AB AF BC BC CD
（2） / /BC GF BG FC BD
/ /BC GF GDE BGD DBC BDC BCD GBD
（23）本小题满分 10 分)选修 4—4；坐标系与参数方程
已知曲线 1C 的参数方程是 )(3siny
2cosx 为参数
，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线 2C 的坐标系方程是 2 ，正方形 ABCD 的顶点都在 2C 上，
且 , , ,A B C D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 (2, )3
（1）求点 , , ,A B C D 的直角坐标；
（2）设 P 为 1C 上任意一点，求 2 2 2 2PA PB PC PD 的取值范围。
【解析】（1）点 , , ,A B C D 的极坐标为 5 4 11(2, ),(2, ),(2, ),(2, )3 6 3 6
点 , , ,A B C D 的直角坐标为 (1, 3),( 3,1),( 1, 3),( 3, 1)
（2）设 0 0( , )P x y ；则 0
0
2cos ( )3sin
x
y
为参数
2 2 2 2 2 24 4 40t PA PB PC PD x y
256 20sin [56,76] （lfxlby）
（24）（本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲
已知函数 ( ) 2f x x a x
（1）当 3a 时，求不等式 ( ) 3f x 的解集；
（2）若 ( ) 4f x x 的解集包含[1,2] ，求 a 的取值范围。
【解析】（1）当 3a 时， ( ) 3 3 2 3f x x x
2
3 2 3
x
x x
或 2 3
3 2 3
x
x x
或 3
3 2 3
x
x x
1x 或 4x
（2）原命题 ( ) 4f x x 在[1,2] 上恒成立
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
2 4x a x x 在[1,2] 上恒成立
2 2x a x 在[1,2] 上恒成立
3 0a
绝密★考试结束前
2012 年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）
数 学（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 5 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分 4 至 5 页．满分
150 分，考试时间 120 分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共 50 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定
的位置上．
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上．
参考公式：
如果事件 A，B 互斥，那么 柱体的体积公式
P A B P A P B V Sh
如果事件 A，B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
P A B P A P B 锥体的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 1
3V Sh
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
1 , 0,1,2, ,n kk k
n nP k C p p k n 球的表面积公式
台体的体积公式 24πS R
1 1 2 2
1
3V h S S S S 球的体积公式
其中 1 2,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34 π3V R
h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
1．设集合 A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则 A∩(C RB)＝
A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)
【解析】A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则 A∩(C RB)＝(1，4)．
【答案】A
2．已知 i 是虚数单位，则 3+i
1 i
＝
A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i
【解析】 3+i
1 i
＝ 3+i 1+i
2
＝ 2 + 4i
2
＝1＋2i．
【答案】D
3．设 aR，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】当 a＝1 时，直线 l1：x＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋2y＋4＝0 显然平行；若直线 l1 与直线 l2
平行，则有： 2
1 1
a
a
，解之得：a＝1 or a＝﹣2．所以为充分不必要条件．
【答案】A
4．把函数 y＝cos2x＋1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个
单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
【解析】把函数 y＝cos2x＋1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得：y1＝
cosx＋1，向左平移 1 个单位长度得：y2＝cos(x—1)＋1，再向下平移 1 个单位长度得：y3＝cos(x—1)．
令 x＝0，得：y3＞0；x＝ 12
，得：y3＝0；观察即得答案．
【答案】B
5．设 a，b 是两个非零向量．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则 a⊥b
B．若 a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得 a＝λb
D．若存在实数λ，使得 a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则 a，b 共线，即存在实
数λ，使得 a＝λb．如选项 A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 a⊥b，由正
方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项 D：若存在实数λ，使得 a＝λb，a，b 可为同向的共线向量，此时
显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
【答案】C
6．若从 1，2，2，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种
【解析】1，2，2，…，9 这 9 个整数中有 5 个奇数，4 个偶数．要想同时取 4 个不同的数其和为
偶数，则取法有：
4 个都是偶数：1 种；
2 个偶数，2 个奇数： 2 2
5 4 60C C 种；
4 个都是奇数： 4
5 5C 种．
∴不同的取法共有 66 种．
【答案】D
7．设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和，则下列命题错误．．的是
A．若 d＜0，则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项，则 d＜0
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的 nN*，均有 S n＞0
D．若对任意的 nN*，均有 S n＞0，则数列{S n}是递增数列
【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是
S n＞0 不成立．
【答案】C
8．如图，F1，F2 分别是双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
(a，b＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与
C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M．若|MF2|＝|F1F2|，
则 C 的离心率是
A． 2 3
3 B． 6
2
C． 2 D． 3
【解析】如图：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝ b
c
，kMN＝﹣ b
c
．
直线 PQ 为：y＝ b
c (x＋c)，两条渐近线为：y＝ b
a x．由
( )by x cc
by xa
＝ ＋
＝
，得：Q( ac
c a
， bc
c a )；由
( )by x cc
by xa
＝ ＋
＝-
，得：P( ac
c a
， bc
c a )．∴直线 MN 为：y－ bc
c a
＝﹣ b
c (x－ ac
c a
)，
令 y＝0 得：xM＝
3
2 2
c
c a
．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝
3
2 2
c
c a
，解之得：
2
2 3
2a
ce a
，即 e
＝ 6
2
．
【答案】B
9．设 a＞0，b＞0．
A．若 2 2 2 3a ba b ，则 a＞b
B．若 2 2 2 3a ba b ，则 a＜b
C．若 2 2 2 3a ba b ，则 a＞b
D．若 2 2 2 3a ba b ，则 a＜b
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
【解析】若 2 2 2 3a ba b ，必有 2 2 2 2a ba b ．构造函数： 2 2xf x x ，则
2 ln 2 2 0xf x 恒成立，故有函数 2 2xf x x 在 x＞0 上单调递增，即 a＞b 成立．其余选
项用同样方法排除．
【答案】A
10．已知矩形 ABCD，AB＝1，BC＝ 2 ．将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着，在翻
着过程中，
A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直
C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直
D．对任意位置，三直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂直
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项 C
是正确的．
【答案】C
绝密★考试结束前
2012 年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）
数 学（理科）
非选择题部分（共 100 分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．
2．在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分．
11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三
棱锥的体积等于___________cm3．
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角
形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于
1 13 1 2 12 3
．
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
【答案】1
12．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
______________．
【解析】T，i 关系如下图：
T 1 1
2
1
6
1
24
1
120
i 2 3 4 5 6
【答案】 1
120
13．设公比为 q(q＞0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}．若
2 23 2S a ， 4 43 2S a ，则 q＝______________．
【解析】将 2 23 2S a ， 4 43 2S a 两个式子全部转化成用 1a ，q 表示的式子．
即 1 1 1
2 3 3
1 1 1 1 1
3 2
3 2
a a q a q
a a q a q a q a q
，两式作差得： 2 3 2
1 1 13 ( 1)a q a q a q q ，即： 22 3 0q q ，解
之得： 3 12q or q (舍去)．
【答案】 3
2
14．若将函数 5f x x 表示为
2 5
0 1 2 51 1 1f x a a x a x a x
其中 0a ， 1a ， 2a ，…， 5a 为实数，则 3a ＝______________．
【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．
即：
5
4
5 5 4 3
3 1
5 5 4 4 3
1
0 10
0
a
C a a a
C a C a a
．
法二：对等式： 2 55
0 1 2 51 1 1f x x a a x a x a x 两边连续对 x 求导三次得：
2 2
3 4 560 6 24 (1 ) 60 (1 )x a a x a x ，再运用赋值法，令 1x 得： 360 6a ，即 3 10a ．
【答案】10
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
15．在 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝3，BC＝10，则 AB AC ＝______________．
【解析】此题最适合的方法是特例法．
假设 ABC 是以 AB＝AC 的等腰三角形，如图，
AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝ 34 ．
cos∠BAC＝ 34 34 10 29
2 34 34
． AB AC ＝ cos 29AB AC BAC
【答案】29
16．定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离．已知曲线 C1：y＝x 2
＋a 到直线 l：y＝x 的距离等于 C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2 到直线 l：y＝x 的距离，
则实数 a＝______________．
【解析】C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线 l：y＝x 的距离为：
0 ( 4) 2 2
2
d
，故曲线 C2 到直线 l：y＝x 的距离为 2 2d d r d ．
另一方面：曲线 C1：y＝x 2＋a，令 2 0y x ，得： 1
2x ，曲线 C1：y＝x 2＋a 到直线 l：y＝x 的
距离的点为( 1
2
， 1
4 a )，
1 1 1( ) 72 4 42 42 2
a a
d a
．
【答案】 7
4
17．设 aR，若 x＞0 时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则 a＝______________．
【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：
(A) 2
( 1) 1 0
1 0
a x
x ax
－ －
－ － ， 无解；
(B) 2
( 1) 1 0
1 0
a x
x ax
－ －
－ － ， 无解．
因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在 x＞0 的整个区间上，我们
可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)
我们知道：函数 y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1 都过定点 P(0，1)．
考查函数 y1＝(a－1)x－1：令 y＝0，得 M( 1
1a
，0)，还可分析得：a＞1；
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
考查函数 y2＝x 2－ax－1：显然过点 M( 1
1a
，0)，代入得：
21 1 01 1
a
a a
，解之得：
2a ，舍去 2a ，得答案： 2a ．
【答案】 2a
三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．(本小题满分 14 分)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 cosA＝ 2
3
，
sinB＝ 5 cosC．
(Ⅰ)求 tanC 的值；
(Ⅱ)若 a＝ 2 ，求 ABC 的面积．
【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ)∵cosA＝ 2
3
＞0，∴sinA＝ 2 51 cos 3A ，
又 5 cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA
＝ 5
3 cosC＋ 2
3 sinC．
整理得：tanC＝ 5 ．
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝ 5
6
．
又由正弦定理知：
sin sin
a c
A C
，
故 3c ． (1)
对角 A 运用余弦定理：cosA＝
2 2 2 2
2 3
b c a
bc
． (2)
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
解(1) (2)得： 3b or b＝ 3
3 (舍去)．
∴ ABC 的面积为：S＝ 5
2
．
【答案】(Ⅰ) 5 ；(Ⅱ) 5
2
．
19．(本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2 分，取出一个
黑球的 1 分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3 个球，记随机变量 X 为取出 3
球所得分数之和．
(Ⅰ)求 X 的分布列；
(Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X)．
【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。
(Ⅰ) X 的可能取值有：3，4，5，6．
3
5
3
9
5( 3) 42
CP X C
；
2 1
5 4
3
9
20( 4) 42
C CP X C
；
1 2
5 4
3
9
15( 5) 42
C CP X C
；
3
4
3
9
2( 6) 42
CP X C
．
故，所求 X 的分布列为
X 3 4 5 6
P 5
42
20 10
42 21
15 5
42 14
2 1
42 21
(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为：
E(X)＝
6
4
91( ) 21i
i P X i
．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 91
21
．
20．(本小题满分 15 分)如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面是边长为 2 3 的菱形，且∠BAD＝120°，
且 PA⊥平面 ABCD，PA＝ 2 6 ，M，N 分别为 PB，PD 的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面 ABCD；
(Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC，垂足为点 Q，求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值．
【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。
(Ⅰ)如图连接 BD．
∵M，N 分别为 PB，PD 的中点，
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
∴在 PBD 中，MN∥BD．
又 MN 平面 ABCD，
∴MN∥平面 ABCD；
(Ⅱ)如图建系：
A(0，0，0)，P(0，0， 2 6 )，M( 3
2
， 3
2
，0)，
N( 3 ，0，0)，C( 3 ，3，0)．
设 Q(x，y，z)，则 ( 3 3 ) ( 3 3 2 6)CQ x y z CP ， ， ， ， ， ．
∵ ( 3 3 2 6 )CQ CP ， ， ，∴ ( 3 3 3 3 2 6 )Q ， ， ．
由 0OQ CP OQ CP ，得： 1
3
． 即： 2 3 2 6( 2 )3 3Q ， ， ．
对于平面 AMN：设其法向量为 ( )n a b c ， ， ．
∵ 3 3( 0) =( 3 0 0)2 2AM AN ， ， ， ， ， ．
则
3
33 30 0 12 2 30 3 0 0
a
AM n a b b
AN n a c
． ∴ 3 1( 0)3 3n ， ， ．
同理对于平面 AMN 得其法向量为 ( 3 1 6)v ，， ．
记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ，
则 10cos 5
n v
n v
．
∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 10
5
．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 10
5
．
21．(本小题满分 15 分)如图，椭圆 C：
2 2
2 2+ 1x y
a b
(a＞b＞0) 的
离心率为 1
2
，其左焦点到点 P(2，1)的距离为 10 ．不过 原
点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线
OP 平分．
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ) 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程．
【解析】
(Ⅰ)由题： 1
2
ce a
； (1)
左焦点(﹣c，0)到点 P(2，1)的距离为： 2 2(2 ) 1d c 10 ． (2)
由(1) (2)可解得： 2 2 24 3 1a b c ， ， ．
∴所求椭圆 C 的方程为：
2 2
+ 14 3
x y ．
(Ⅱ)易得直线 OP 的方程：y＝ 1
2 x，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中 y0＝ 1
2 x0．
∵A，B 在椭圆上，
∴
2 2
0
2 2
0
+ 1 23 3 34 3
4 4 2 2+ 14 3
A A
A B A B
AB
A B A BB B
x y
xy y x xk x x y y yx y
．
设直线 AB 的方程为 l：y＝﹣ 3
2 x m (m≠0)，
代入椭圆：
2 2
2 2
+ 14 3 3 3 3 0
3
2
x y
x mx m
y x m
＝-
．
显然 2 2 2(3 ) 4 3( 3) 3(12 ) 0m m m ．
∴﹣ 12 ＜m＜ 12 且 m≠0．
由上又有： A Bx x ＝m， A By y ＝
2 3
3
m ．
∴|AB|＝ 1 ABk | A Bx x |＝ 1 ABk 2( ) 4A B A Bx x x x ＝ 1 ABk
2
4 3
m ．
∵点 P(2，1)到直线 l 的距离为： 3 1 2
1 1AB AB
m md
k k
．
∴S ABP＝ 1
2 d|AB|＝ 1
2 |m＋2|
2
4 3
m ，
当|m＋2|＝
2
4 3
m ，即 m＝﹣3 or m＝0(舍去)时，(S ABP)max＝ 1
2
．
此时直线 l 的方程 y＝﹣ 3 1
2 2x ．
【答案】 (Ⅰ)
2 2
+ 14 3
x y ；(Ⅱ) y＝﹣ 3 1
2 2x ．
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
21．(本小题满分 14 分)已知 a＞0，bR，函数 34 2f x ax bx a b ．
(Ⅰ)证明：当 0≤x≤1 时，
(ⅰ)函数 f x 的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) f x ＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤ f x ≤1 对 x[0，1]恒成立，求 a＋b 的取值范围．
【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。
(Ⅰ)
(ⅰ) 212 2f x ax b ．
当 b≤0 时， 212 2f x ax b ＞0 在 0≤x≤1 上恒成立，
此时 f x 的最大值为： 1 4 2 3f a b a b a b ＝|2a－b|﹢a；
当 b＞0 时， 212 2f x ax b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断，
此时 f x 的最大值为：
max
2max{ (0) 1 } max{( ) 3 } 3 2
b a b af x f f b a a b a b b a
，，（） ，( ) ， ＝|2a－b|﹢a；
综上所述：函数 f x 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要证 f x ＋|2a－b|﹢a≥0，即证 g x ＝﹣ f x ≤|2a－b|﹢a．
亦即证 g x 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵ 34 2g x ax bx a b ，∴令 212 2 0 6
bg x ax b x a
．
当 b≤0 时， 212 2g x ax b ＜0 在 0≤x≤1 上恒成立，
此时 g x 的最大值为： 0 3g a b a b ＝|2a－b|﹢a；
当 b＜0 时， 212 2g x ax b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断，
max max{ ( ) 1 }6
bg x g ga
，（）
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
4max{ 2 }3 6
4 6
3 6 62
bb a b b aa
b b ab a ba b ab a
，
，
，
≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数 g x 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即 f x ＋|2a－b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数 f x 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数 f x 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤ f x ≤1 对 x[0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取 b 为纵轴，a 为横轴．
则可行域为： 2
1
b a
b a
和 2
3 1
b a
a b
，目标函数为 z＝a＋b．
作图如下：
由图易得：当目标函数为 z＝a＋b 过 P(1，2)时，有 max 3z ．
∴所求 a＋b 的取值范围为： 3， ．
【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) 3， ．
www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
