江苏理科数学高考试题及答案

江苏理科数学高考试题及答案

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ Y ‎1. 已知集合A={}，，则 .‎ ‎2. 已知复数(i为虚数单位),则的实部为 .‎ ‎3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 .‎ ‎4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 .‎ ‎5. 已知函数与(0≤),它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是 .‎ ‎6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm.‎ ‎7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 .‎ ‎8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是 .‎ ‎9. 在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为 .‎ ‎10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 .‎ ‎11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数) 过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 .‎ ‎（第12题）‎ ‎12. 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 .‎ ‎13. 已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .‎ ‎14. 若△的内角满足,则的最小值是 .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知,.‎ ‎(1)求的值；(2)求的值.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点.已知,‎ 求证: (1)直线平面；‎ ‎(2)平面平面.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.‎ ‎(第17题)‎ ‎(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；‎ ‎(2)若求椭圆离心率e的值.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.‎ ‎(1)求新桥BC的长；‎ ‎(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ ‎ 已知函数,其中e是自然对数的底数.‎ ‎ (1)证明:是R上的偶函数；‎ ‎(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”.‎ ‎(1)若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”;‎ ‎(2)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值；‎ ‎(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得 ‎(N)成立.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.选作题 本题包括A、B、C、D，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）‎ 如图，AB是圆O的直径，C,D是圆O上位于AB异侧的两点。‎ 证明：∠OCB=∠D B.[选修4-2矩阵与变换]：（本小题满分10分）‎ 已知矩阵A=，B=，向量α=,x,y为实数，若Aα＝Bβ，求x+y的值。‎ C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为，直线l与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。‎ D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知，证明：‎ ‎【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 盒中共有9个球 ，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球的除颜色外完全相同。‎ ‎⑴从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎⑵从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知函数 c 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.选作题 本题包括A、B、C、D，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）‎ 如图，AB是圆O的直径，C,D是圆O上位于AB异侧的两点。‎ 证明：∠OCB=∠D 第21－A题 1‎ B.[选修4-2矩阵与变换]：（本小题满分10分）‎ 已知矩阵A=，B=，向量α=,x,y为实数，若Aα＝Bβ，求x+y的值。‎ ‎ ‎ 解析：‎ Aα＝＝ Bβ＝＝‎ 所以由Aα＝Bβ得：‎ 解得 ‎ C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 ‎，直线l与抛物线相交于A、B两点，‎ 求线段AB的长。‎ 解 把直线方程代入到中，‎ 得，解得 所以，‎ D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知，证明：‎ 提示 很简单就能得出结论。‎ ‎【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 盒中共有9个球 ，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球的除颜色外完全相同。‎ ‎⑴从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎⑵从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)‎ 解 ‎⑴‎ ‎⑵‎ ‎, ‎ 所以随机变量X的概率分布如下表：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 因此随机变量X的数学期望：‎ E(X)=2×+3×+4×=‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知函数 c 解：⑴＝－1‎ ‎⑵由已知得：两边分别对x求导，得 继续对上边两边求导过程，得 ‎……‎ 利用数学归纳法，不难得出 所以，当得，‎