高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五

高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五

‎2011年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五 ‎1．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ‎ （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；‎ ‎ （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 ‎[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 由，所以 ………………………3分 证法二：设点P的坐标为记 则 由 证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 ‎ 由椭圆第二定义得，即[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 由，所以…………………………3分 ‎（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 ‎ ‎ 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ 当|时，由，得.‎ 又，所以T为线段F2Q的中点.‎ 在△QF‎1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ ‎ 当|时，由，得.‎ ‎ 又，所以T为线段F2Q的中点. ‎ ‎ 设点Q的坐标为（），则 ‎ 因此 ①‎ ‎ 由得 ②‎ ‎ 将①代入②，可得 ‎ 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分 ‎③‎ ‎④‎ ‎ （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，，‎ ‎ 由，‎ ‎ ，‎ ‎ ，得 解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，记，‎ ‎ 由知，所以…………14分 ‎2．（12分） 函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 ‎ （Ⅰ）用、、表示m；‎ ‎ （Ⅱ）证明：当；‎ ‎ （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，‎ ‎ 求b的取值范围及a与b所满足的关系.‎ ‎ （Ⅰ）解：…………………………………………2分 ‎ （Ⅱ）证明：令 ‎ 因为递减，所以递增，因此，当；‎ ‎ 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的 最小值为0，因此即…………………………6分 ‎ （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎ 对任意成立的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为 ‎ 于是的充要条件是…………………………10分 ‎ 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ‎ ①‎ ‎ 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②‎ ‎ 有解、解不等式②得 ③[来源:学.科.网]‎ ‎ 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分 ‎（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.‎ ‎ 对任意成立的充要条件是 ‎ ………………………………………………………………8分 ‎ 令，于是对任意成立的充要条件是 ‎ 由 ‎ 当时当时，，所以，当时，‎ 取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分 ‎ 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ‎ ①‎ ‎ 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②‎ ‎ 有解、解不等式②得 ‎ 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分 ‎3． 已知数列的首项前项和为，且 ‎（I）证明数列是等比数列；‎ ‎（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.‎ 解：由已知可得两式相减得 即从而当时所以又所以从而 故总有，又从而即数列是等比数列；‎ ‎（II）由（I）知 因为所以 从而=‎ ‎=-=‎ 由上-=‎ ‎=12①‎ 当时，①式=0所以；‎ 当时，①式=-12所以 当时，‎ 又 所以即①从而 ‎4．(14分)已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.[来源:学科网]‎ 解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；‎ ‎（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①‎ ‎（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线 的方程可表示为，即所以直线恒过定点 ‎（2）当时，由，得==‎ 将①式代入上式整理化简可得：，所以，‎ 此时，直线的方程可表示为即 所以直线恒过定点 所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.‎ ‎5． 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则 故C2的方程为 ‎（II）将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即 ①‎ ‎.‎ 由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 ‎[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎ ‎ 解此不等式得 ‎ ③‎ 由①、②、③得 故k的取值范围为[来源:Zxxk.Com]‎ ‎6． 数列{an}满足.（Ⅰ）用数学归纳法证明：；‎ ‎（Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828….‎ ‎（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.‎ ‎（2）假设当时不等式成立，即 那么. 这就是说，当时不等式成立.‎ 根据（1）、（2）可知：成立.‎ ‎（Ⅱ）证法一：‎ 由递推公式及（Ⅰ）的结论有 ‎ 两边取对数并利用已知不等式得 ‎ ‎ 故 ‎ 上式从1到求和可得 即[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证成立，故 令[来源:学科网]‎ 取对数并利用已知不等式得 ‎ 上式从2到n求和得 ‎ 因 故成立.‎ ‎7．（12分）已知数列 ‎（1）证明 ‎（2）求数列的通项公式an.‎ 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：‎ ‎1°当n=1时，‎ ‎ ∴，命题正确.[来源:学科网]‎ ‎2°假设n=k时有 ‎ 则 ‎ ‎ 而 又 ‎∴时命题正确.‎ 由1°、2°知，对一切n∈N时有 方法二：用数学归纳法证明：‎ ‎ 1°当n=1时，∴；‎ ‎ 2°假设n=k时有成立，‎ ‎ 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：即 也即当n=k+1时 成立，所以对一切 ‎ （2）下面来求数列的通项：所以 ‎,‎ 又bn=－1，所以