全国高考理科数学试题及其解析

全国高考理科数学试题及其解析

‎1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题共65分)‎ 一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎(1) sin600º ( )‎ ‎(A) (B) － (C) (D) －‎ ‎(2) 函数y=a|x|(a＞1)的图像是 ( )‎ ‎ ‎ ‎(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为 ( )‎ ‎(A) x2＋(y＋2)2=4 (B) x2＋(y－2)2=4 (C) (x－2)2＋y2=4 (D) (x＋2)2＋y2=4‎ ‎(4) 两条直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0垂直的充要条件是 ( )‎ ‎(A) A‎1A2＋B1B2=0 (B) A‎1A2－B1B2=0 (C) (D) ‎ ‎(5) 函数f(x)=( x≠0)的反函数f－1(x)= ( )‎ ‎(A) x(x≠0) (B) (x≠0) (C) －x(x≠0) (D) －(x≠0)‎ ‎(6) 已知点P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则在内α的取值是 ( )‎ ‎(A) ()∪() (B) ()∪()‎ ‎(C) ()∪() (D) ()∪()‎ ‎(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )‎ ‎(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º ‎(8) 复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 ( )‎ ‎(A) i (B) － i (C) ± i (D) ±i ‎(9) 如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么 ( )‎ ‎(A) 2 (B) S0=‎ ‎(C) 2 S0=S＋S′ (D) ‎ ‎(10) 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是 ( )‎ ‎ ‎ ‎(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有 ( )‎ ‎(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种 ‎(12) 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|P F1|是|P F2|的 ( )‎ ‎(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 ‎(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 ( )‎ ‎(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) ‎ ‎(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 ( )‎ ‎(A) arccos (B) arcsin (C) arccos (D) arcsin ‎(15) 在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是( )‎ ‎(A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，)‎ 第Ⅱ卷(非选择题共85分)‎ 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．‎ ‎16．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________‎ ‎17．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为____________（用数字作答）‎ ‎18．如图，在直四棱柱A1B‎1C1 D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A‎1 C⊥B1 D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)‎ ‎19．关于函数f(x)=4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题:‎ ‎①由f(x1)= f(x2)=0可得x1－x2必是π的整数倍；‎ ‎②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x－)；‎ ‎③y=f(x)的图像关于点(－，0)对称；‎ ‎④y=f(x)的图像关于直线x=－对称．‎ 其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) ‎ 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎(20)(本小题满分10分)‎ 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=．求sinB的值．‎ 以下公式供解题时参考：‎ sinθ＋sin =2sincos， sinθ－sin=2cossin，‎ cosθ＋cos=2coscos， cosθ－cos=－2sinsin.‎ ‎(21)(本小题满分11分)‎ 如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A， B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为‎2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料‎60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．‎ ‎(23)(本小题满分12分)‎ 已知斜三棱柱ABC－A1 B‎1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA1 ⊥A‎1C，AA1= A‎1 C．‎ Ⅰ．求侧棱A‎1A与底面ABC所成角的大小；‎ Ⅱ．求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；‎ Ⅲ．求顶点C到侧面A1 ABB1的距离．‎ ‎(24)(本小题满分12分)‎ 设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．‎ Ⅰ．写出曲线C1的方程；‎ Ⅱ．证明曲线C与C1关于点A(，)对称；‎ Ⅲ．如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0．‎ ‎(25)(本小题满分12分)‎ 已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=145．‎ Ⅰ．求数列{bn}的通项bn；‎ Ⅱ．设数列{an}的通项an =loga(1＋)(其中a＞0，且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论．‎ ‎1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）‎ ‎1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）‎ ‎16． 17．179‎ ‎18．ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等 ‎19．②，③‎ 三、解答题 ‎20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．‎ 解：由正弦定理和已知条件a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB.‎ 由和差化积公式得2sincos=2sinB.‎ 由A+B+C=π 得 sin=cos ，‎ 又A－C= 得 cos=sinB，‎ 所以cos=2sincos.‎ 因为0<<，cos≠0，‎ 所以sin=，‎ 从而cos=‎ 所以sinB=.‎ ‎21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．‎ 解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．‎ 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．‎ 设曲线段C的方程为 y2=2px（p>0），（xA≤x≤xB，y>0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|.‎ 所以 M（，0），N（，0）.‎ 由|AM|= ，|AN|=3 得 ‎（xA+）2+2pxA=17， ①‎ ‎（xA－）2+2pxA=9. ②‎ 由①，②两式联立解得xA =.再将其代入①式并由p>0解得 因为ΔAMN是锐角三角形，所以> xA，故舍去 所以p=4，xA =1.‎ 由点B在曲线段C上，得xB =|BN|－=4.‎ 综上得曲线段C的方程为 y2=8x（1≤x≤4，y>0）.‎ 解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．‎ 作AE l1，AD l2，BF l2，垂足分别为E、D、F.‎ 设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）.‎ 依题意有 xA =|ME|=|DA|=|AN|=3，‎ yA =|DM|=，‎ 由于ΔAMN为锐角三角形，故有 xN =|ME|+|EN|‎ ‎=|ME|+=4‎ xB =|BF|=|BN|=6.‎ 设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合 ‎｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y>0｝.‎ 故曲线段C的方程为 y2=8（x－2）（3≤x≤6，y>0）.‎ ‎22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．‎ 解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.‎ 根据题设，有4b+2ab+‎2a=60（a>0，b>0），‎ 得 b=（00，b>0），‎ 即 a+2b+ab=30（a>0，b>0）.‎ 因为 a+2b≥2，‎ 所以 +ab≤30，‎ 当且仅当a=2b时，上式取等号.‎ 由a>0，b>0，解得0，‎ 取n=2有（1+1）（1+）>，‎ ‎……‎ 由此推测（1+1）（1+）……（1+）>. ①‎ 若①式成立，则由对数函数性质可断定：‎ 当a>1时，Sn>loga bn+1.‎ 当0.‎ 那么，当n=k+1时，‎ ‎（1+1）（1+）……（1+）（1+）>（1+）‎ ‎=（3k+2）.‎ 因为 ‎，‎ 所以（3k+2）>‎ 因而（1+1）（1+）……（1+）（1+）>‎ 这就是说①式当n=k+1时也成立.‎ 由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立.‎ 由此证得：‎ 当a>1时，Sn>loga bn+1.‎ 当0

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