新课标备战高考数学二轮专题强化复习集合与常用逻辑用语
2012届高考数学二轮复习资料
专题一 集合与常用逻辑用语
【考纲解读】
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系,知道常用数集及其记号,了解集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.
2.掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,了解有限集与无限集的概念.
3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相等关系.
4．理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.
5．了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握补集的求法.
6.理解命题的概念;了解“若,则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【考点预测】
3.注意弄清元素与集合、集合与集合之间的包含关系.
4.能根据Venn图表达的集合关系进行相关的运算.
5.注意区分否命题与命题的否定,前者是同时否定条件和结论,而后者只否定结论.
6.原命题与其逆否命题等价,当直接判定命题条件的充要性有困难时，可等价地转化为对该命题的逆否命题进行判断.
7.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.
【考点在线】
考点一 集合的概念
例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．这类题目主要考察不等式的性质成立的条件，以及条件与结论的充要关系.
【备考提示】：正确理解集合中的代表元素是解答好本题的关键.
练习1:若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P B．Q C． D．不知道
【答案】B
【解析】事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．
考点二 集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例2. 若A={2，4, 3－22－＋7},B={1, ＋1, 2－2＋2,－ (2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．
【答案】2
【解析】∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． A={2,4,5}.
当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故=2为所求．
【解析】分两种情况进行讨论．
（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，
=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，
∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
考点三 集合间的关系
例3.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．
【答案】A=B
【解析】任设∈A，则=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故． ①
又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故 ②
由①、②知A=B．
【名师点睛】这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．
【备考提示】：集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
考点四 要注意利用数形结合思想解决集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例4.设全集U={x|0
0}，求A∪B和A∩B．
【答案】A∪B=R, A∩B={x|－6≤x＜－3或00}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或00得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
1.（2011年高考山东卷文科1)设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =( )
（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
【答案】A
【解析】因为，所以，故选A.
2. （2011年高考海南卷文科1)已知集合,,,则P的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
【答案】B
【解析】因为中有两个元素，所以其子集个数为个，选B.
3．(2011年高考安徽卷文科2)集合，,,则等于( )
（A） (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】，所以.故选B.
4．(2011年高考广东卷文科2)已知集合为实数，且，5． （2011年高考江西卷文科2)若全集,则集合等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,,.
6.（2011年高考福建卷文科1)若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于
A.｛0，1｝ B.｛-1，0，1｝
C.｛0，1，2｝ D.｛-1，0，1，2｝
【答案】A
【解析】因为,故选A.
7．（2011年高考湖南卷文科1)设全集则（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
答案：B
解析：画出韦恩图，可知。
8．（2011年高考湖北卷文科1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则=
A.{6,8} B. {5,7} C. {4,6,7} D. {1,3,5,6,8}
10．（2011年高考全国卷文科1)设集合U=,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】，.
11. （2011年高考陕西卷文科8)设集合，
则为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】：由即
由得即故选C
12.（2011年高考浙江卷文科1) 若，则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】：，故选 C
13. (2011年高考天津卷文科4)设集合
则“”是“”的( )
15．（2011年高考重庆卷文科2)设，则=（ ）
A．[0，2] B．
C． D．
【答案】A
16. （2011年高考山东卷文科5)已知a，b，c∈R，命题“若=3，则≥3”，的否命题是
(A)若a+b+c≠3，则<3
(B)若a+b+c=3，则<3
(C)若a+b+c≠3，则≥3
(D)若≥3，则a+b+c=3
【答案】A
【解析】命题“若,则”的否命题是“若,则”,故选A.
17. (2011年高考天津卷文科4)设集合则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
解析：因，反之
，不一定有。
20. （2011年高考陕西卷文科1)设是向量，命题“若，则”的逆命题是
（A）若则 （B）若则
（C）若则 （D）若则
【答案】D
【解析】：交换一个命题的题设与结论，所得到的命题与原命题是（互逆）命题。故选D
21. (2011年高考天津卷文科9)已知集合为整数集,则集合中所有元素的和等于 .
【答案】3
【解析】因为,所以,故其和为3.
22.(2011年高考江苏卷1)已知集合 则
【答案】
【解析】考察简单的集合运算，容易题..
半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为.
24. （2011年高考陕西卷文科14)设，一元二次方程有整数根的充要条件是
【答案】3或4
【解析】：由韦达定理得又所以则.
【高考冲策演练】
一、选择题：
1．（2010年高考山东卷文科1）已知全集，集合，则=（ ）
A. B.
C． D.
【答案】C
【解析】因为，全集，
所以，故选C。
3．（2010年高考福建卷文科1）若集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】==,故选A.
4．(2010年高考北京卷文科1) 集合，则=（ ）
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}
5．(2010年高考江西卷文科2)若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】。
6．(2010年高考浙江卷文科1)设则（ ）
(A) (B)
(C) (D)
8．（2010年高考山东卷文科7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得又，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。
【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。
9．（2010年高考天津卷文科5）下列命题中，真命题是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】当m=0时，函数是偶函数，故A正确。
10．（2010年高考福建卷文科8）若向量，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
12．(2010年高考湖南卷文科2)下列命题中的假命题是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于C选项x＝1时，，故选C
二．填空题：
13．已知M={}，N={x|，则M∩N=__________.
【答案】
14．非空集合p满足下列两个条件：（1）p{1，2，3，4，5}，（2）若元素∈p，则6-∈p，则集合p个数是__________.
【答案】7
15．设A=｛1，2｝，B=｛x｜xA｝若用列举法表示，则集合B是 .
【答案】
16．含有三个实数的集合可表示为，则 ．
【答案】-1
三．解答题：
17．设集合A={(x，y)|y=x+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求取值范围.
【解析】画图可得:≥1或≤-1.
18.设A={x|x2+px+q=0}≠，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=，A∩N=A，当B=时，△=m2-8<0．∴ ．
当B={1}或{2}时，，m无解．
当B={1，2}时，∴ m=3．
综上所述，m=3或．
21．已知全集=R，且，求.
22．已知集合,
且，，求,b的值.
解： ∵. ∴中元素必是B的元素.
又∵, ∴中的元素属于B,
1,3,5
故.
而. ∴-1,4是方程的两根， ∴a=-3,b=-4.
