高考理热点题型三角函数与解三角形含答案解析

高考理热点题型三角函数与解三角形含答案解析

三角函数与解三角形 热点一　三角函数的图象和性质 注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.‎ ‎【例1】已知函数f(x)＝sin x－2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值.‎ ‎(1)解　因为f(x)＝sin x＋cos x－.‎ ‎＝2sin－.‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)解　因为0≤x≤，‎ 所以≤x＋≤π.‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.‎ ‎【类题通法】求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板 第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式；‎ 第二步：由T＝求最小正周期；‎ 第三步：确定f(x)的单调性；‎ 第四步：确定各单调区间端点处的函数值；‎ 第五步：明确规范地表达结论.‎ ‎【对点训练】 设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ‎＝－·－sin 2ωx ‎＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin.‎ 因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故该函数的周期T＝4×＝π.‎ 又ω＞0，所以＝π，因此ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin.‎ 设t＝2x－，则函数f(x)可转化为y＝－sin t.‎ 当π≤x≤时，≤t＝2x－≤ ，‎ 如图所示，作出函数y＝sin t在 上的图象，‎ 由图象可知，当t∈时，sin t∈，‎ 故－1≤－sin t≤，因此－1≤f(x)＝－sin≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.‎ 热点二　解三角形 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.‎ ‎【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.‎ ‎(1)证明：sin Asin B＝sin C；‎ ‎(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.‎ ‎(1)证明　在△ABC中，根据正弦定理，‎ 可设＝＝＝k(k>0).‎ 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.‎ 代入＋＝中，‎ 有＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，‎ 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有 cos A＝＝.‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋sin B，‎ 故tan B＝＝4.‎ ‎【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.‎ ‎(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.‎ ‎【对点训练】 四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.‎ ‎(1)求角C的大小和线段BD的长度；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积.‎ 解　(1)设BD＝x，‎ 在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝，‎ 在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝，‎ ‎∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.‎ 联立上式，解得x＝，cos C＝.‎ 由于C∈(0，π).∴C＝，BD＝.‎ ‎(2)∵A＋C＝π，C＝，∴sin A＝sin C＝.‎ 又四边形ABCD的面积SABCD＝S△ABD＋S△BCD ‎＝AB·ADsin A＋CB·CDsin C＝×(1＋3)＝2，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为2.‎ 热点三　三角函数与平面向量结合 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.‎ ‎【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(‎2a＋c，b)，且m⊥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝，求a＋c的范围.‎ 解　(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(‎2a＋c，b)，且m⊥n，‎ ‎∴(‎2a＋c)cos B＋bcos C＝0，‎ ‎∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，‎ ‎∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0.‎ 即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－.‎ ‎∵0＜B＜π，∴B＝.‎ ‎(2)由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号.‎ ‎∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.‎ 又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2].即a＋c的取值范围是(，2].‎ ‎【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.‎ ‎【对点训练】 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.‎ 解　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点和，‎ 所以 即解得 ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.‎ 设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，‎ 由题意知x＋1＝1，‎ 所以x0＝0，‎ 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).‎ 将其代入y＝g(x)得sin＝1，‎ 因为0<φ<π，所以φ＝，‎ 因此g(x)＝2sin＝2cos 2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎