高考中的二项式定理问题分类解析

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高考中的二项式定理问题分类解析

高考中的二项式定理问题分类解析 二项式定理问题相对独立,高考对二项式定理的考查,以二项展开式及其通项公式内容为主,题型繁多,解法灵活且较难掌握。本文结合近年来的高考试题,将二项式定理的问题归为十类进行解法探讨,希望能对大家的学习有所帮助。‎ 1. 确定二项式中有关元素 ‎ 例1(1994年全国高考题)在展开式中,x5的系数是x6系数与x4系数的等差中项,则m=____________。‎ ‎ 解:依题意,,∴42m2=7m+35m3,‎ ‎ 结合得,m=1 。‎ 2. 求二项展开式中的常数项 例2(2001年上海高考题)在展开式中,常数项为__________。‎ ‎ 解:‎ ‎ 令6-r-2r=0得,r=2 ,所以常数项为 。‎ 3. 求二项展开式中条件项的系数 例3(2001年全国高考题)在的二项展开式中,x3的系数为_____________。‎ ‎ 解:‎ ‎ 令10-r=3得,r=7,所以x3的系数为 。‎ 例4(1999年上海高考题)在的展开式中,含x5项的系数是_____________。‎ ‎ 解:‎ ‎ 令15-5r=5得,r=2,所以含x5项的系数是 。‎ 4. 确定和(积)展开式中条件项系数 例5(1990年全国高考题)在的展开式 中,x2的系数等于_____________。‎ ‎ 解:x2的系数等于四个展开式中含x2的系数和,即为 ‎ 。‎ 例6(1998年全国高考题)在的展开式中x10的系数为__________。‎ 解:的展开式中x10的项为的展开式中x10 、x8‎ 的项分别与(-1)、x2相乘而得的和。因此x10的系数为: 。‎ 1. 求展开式各项系数和(差)‎ 例7(1989年全国高考题)如果,那么a1+a2+…‎ ‎+a7的值等于 ( )‎ ‎ A -2 B -1 C 1 D 2‎ 解:令x=0,则有a0=(1-20)7=1 ;‎ 令x=1,则有a0+a1+a2+…+a7 =(1-21)7= -1 。‎ ‎∴a1+a2+…+a7= -1-1= -2 。‎ 例8(1999年全国高考题)若,则 的值为 ( )‎ ‎ A 1 B -1 C 0 D 2‎ ‎ 解:令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4 =‎ ‎ 令x= -1,则有a0-a1+a2-a3+a4 = ,从而 ‎ ‎ ‎ 故选(A) 。‎ 2. 确定展开式的最大(小)项 ‎ 例9(1993年上海高考题)(x-1)9按x降幂排列的展开式中,系数最大的项是 ( )‎ A 第4项和第5项 B 第5项 C 第5项和第6项 D 第6项 ‎ 解:根据二项式系数的性质,(x-1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数相等,同时取得最大值。但考察项的系数时,第6项系数需乘以(-1)得负,而第5项的系数为正,因此只有第5项的系数最大,而第6项的系数最小,选(B)。‎ 3. 求展开式有理数的项数 例10(1993年全国高考题)将展开所得的x的多项式中系数为有理数 的项共有 ( )‎ A 50项 B 17项 C 16项 D 15项 ‎ 解:‎ ‎ 由于是整数,要使系数为有理数,当且仅当均为整数,即r是6的倍数。而在0到100之间6的倍数共有17个,故选(B)。‎ 4. 利用二项式定理解整除问题 例11(1992年“三南”高考题)除以100的余数是________________。‎ ‎ 解:‎ ‎=‎ ‎ ∴除以100的余数是81 。‎ 1. 利用二项式定理进行近似计算 例12(1996年全国高考题)某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增 加22℅,人均粮食占有量比现在提高10℅,如果人口年增长率为1℅,那么耕地平均每年至多减少多少公顷(精确到1公顷)?‎ ‎ 解:设耕地平均每年至多减少x公顷,又设该地区现有人口P人,粮食单产M吨/公顷。‎ 依题意得,‎ 化简得 ‎∵‎ ‎∴,即耕地平均每年至多只能减少4公顷。‎ ‎10.与其它数学知识交汇考查 例13(2003年上海高考题)已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列。(1)求和:,;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明。‎ 解:(1)=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2;‎ ‎ = a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3。‎ ‎ (2)归纳概括的结论为:若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则,n为正整数。证明如下: ‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ 评述:本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用。‎ 例14(2003年江苏高考题)若a>0,n,设y=(x-a)n,求证:y ’=n(x-a)n;‎ 证明:根据二项式定理可得,(x-a)n=‎ 所以y ’=。 ‎ 评述:本题是2003年江苏高考第21题的第(1)小问,它很好地体现了二项式定理与导数知识的交汇作用。‎
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