2014年版高考数学理39圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系二轮考点专练

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2014年版高考数学理39圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系二轮考点专练

考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 ‎1. (2013·重庆高考文科·T4)设是圆上的动点,是直线上的动点,则的最小值为 ( )‎ A. 6 B.4 C. 3 D. 2‎ ‎【解题指南】的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.‎ ‎【解析】 选B. 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心到直线的距离为,半径为,所以的最小值为.‎ ‎2.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a= (  )‎ ‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.‎ ‎【解析】选C.因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.‎ ‎3.(2013·安徽高考文科·T6)直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )‎ A.1 B.2 C.4 D. ‎ ‎【解题指南】 由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形,利用勾股定理即可求得半弦长。‎ ‎【解析】选C.由得圆心(1,2),半径,圆心到直线x+2y-5+=0的距离,在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中,弦长。‎ ‎4. (2013·重庆高考理科·T7)已知圆:,圆:,、分别是圆、上的动点,为轴上的动点,则 的最小值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】根据圆的定义可知,然后利用对称性求解.‎ ‎【解析】选A.由题意知,圆:,圆:‎ 的圆心分别为,且,点关于轴的对称点为,所以,‎ 即.‎ ‎5.(2013·广东高考文科·T7)垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是( ) ‎ ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选A. 由题意知直线方程可设为(),则圆心到直线的距离等于半径1,即,,所求方程为.‎ ‎6. (2013·陕西高考文科·T8)已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是 ( )‎ ‎ A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 ‎【解题指南】 利用点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系中的半径与距离,列出关系式,解之即可判断直线ax + by = 1与圆O的位置关系.‎ ‎【解析】选B.点M(a, b)在圆 ‎=圆的半径,故直线与圆相交.‎ ‎7. (2013·江西高考理科·T9)过点(,0)引直线l与曲线 相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,△AOB为等腰三角形,所以AB的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而△AOB的面积可表示为圆心到直线的距离d的函数,借助二次函数思想可以求解出当△AOB的面积取最大值时的d值,进而可以求出直线的斜率.‎ ‎【解析】选B. 曲线 表示以为圆心,以为半径的上半圆.设直线的方程为,即,若直线与半圆相交,则,圆心到直线的距离为(),弦长为,△AOB的面积为,易知当时最大,解得,故.‎ ‎8. (2013·山东高考理科·T9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 ( )‎ ‎ A.2x+y-3=0      B.2x-y-3=0  C.4x-y-3=0      D.4x+y-3=0【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系,利用圆的几何性质解题即可.‎ ‎【解析】选A. 由图象可知,是一个切点,根据切线的特点可知过点A.B的直线与过点(3,1)、(1、0)的直线互相垂直,,所以直线AB的方程为,即2x+y-3=0.‎ 二、填空题 ‎9. (2013·山东高考文科·T13)过点(3,1)作圆的弦,其中最短的弦长为__________‎ ‎【解题指南】过圆内一点的弦,最长的为直径,最短的为垂直于直径的弦.这样圆心到点的距离,与弦长的一半,半径长构成一个直角三角形.‎ ‎【解析】 半径为,圆心为,圆心到点的距离 ‎,所求最短弦长为 ‎【答案】 .‎ ‎10.(2013·浙江高考文科·T13)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于    .‎ ‎【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长.‎ ‎【解析】由,解得或,所以两交点坐标为 和,所以弦长.‎ ‎【答案】.‎ ‎11. (2013·江西高考文科·T14)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 .‎ ‎【解题指南】设出圆的标准方程,得出圆心坐标和半径的关系,再代入已知点.‎ ‎【解析】设圆的方程为,因为圆C经过点(0,0)和点(4,0),所以a=2,又圆与直线y=1相切,可得,故圆的方程为,将(0,0)代入解得,,所以圆的方程为.‎ ‎【答案】.‎ ‎12. (2013·湖北高考文科·T14)已知圆:,直线:().设圆上到直线的距离等于1的点的个数为,则 .‎ ‎【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离,同半径的一半相比较.‎ ‎【解析】半径为R=圆心到直线 的距离d=故数形结合k=4.‎ ‎【答案】4.‎ 三、解答题 ‎13.(2013·江苏高考数学科·T17) 如图,在平面直角坐标系中,点,直线。设圆的半径为,圆心在上。‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围。‎ ‎【解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标,再利用直线与圆相切的几何条件找出等量关系,求出直线的斜率.(2)利用MA=2MO确定点M的轨迹方程,再利用题设中条件分析出两圆的位置关系,求出a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由题设知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,‎ 由题意,= 1, 解得 k=0或-,‎ 故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.‎ ‎(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为 ‎(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.‎ 设点M(x,y),因为MA=2MO,‎ 所以,‎ 化简得,‎ 所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.‎ 由题意知,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,‎ 则2-1≤CD≤2+1,‎ 即1≤≤3.‎ 由5a2-12a+8≥0,得a∈R;‎ 由5a2-12a≤0,得0≤a≤.‎ 所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0, ].‎ ‎14.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T20)在平面直角坐标系中,已知圆在轴上截得线段长为,在轴上截得线段长为。‎ ‎(1)求圆心的轨迹方程;‎ ‎(2)若点到直线的距离为,求圆的方程。‎ ‎【解题指南】(1)设出点P的坐标与圆P半径,利用弦长、圆心距、半径之间的关系求得点P的轨迹方程;‎ ‎(2)利用已知条件求得点P的坐标,从而求出半径,写出圆的方程.‎ ‎【解析】(1)设,圆P的半径为r.‎ 由题设从而.‎ 故P点的轨迹方程为.‎ ‎(2)设 又P点在双曲线上,从而得 此时圆的半径r= .‎ 此时,圆的半径r= .‎ 故圆P的方程为,‎ ‎15.(2013·四川高考文科·T20)‎ 已知圆的方程为,点是坐标原点。直线与圆交于两点。‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)设是线段上的点,且。请将表示为的函数。‎ ‎【解题指南】本题求解时要抓住直线与圆有两个交点,所以在求解的取值范围时可以利用判别式进行求解,在第二问的处理上要注意的使用,从而寻找到的关系.‎ ‎【解析】(1)将代入中,得 由,得 所以的取值范围是.‎ ‎(2)因为M、N在直线上,可设点M、N的坐标分别为 则,‎ 又.‎ 由,得 ‎,‎ 即,‎ 由式可知,,,所以 因为点Q在直线上,所以,代入中并化简,得 ‎.‎ 由及,可知,即.‎ 根据题意,点Q在圆C内,则,所以.‎ 于是与的函数关系为.‎
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