高考专题专题十四临界与极值问题人教版

高考专题专题十四临界与极值问题人教版

‎2005高考专题教案专题十四 临界与极值问题 概述 物体的运动状态的变化是各式各样的。有数量的增减，有程度上的区别，有规模的不同，也有性质上的飞跃等。临界状态正是指物体运动状态发生质的变化的转折点，是一种状态变为另一种状态的中介状态。‎ 物理学本身就有许多具有边缘特征的概念，他们有着中介、转折、对立与统一的辩证特征。在这些概念中，就包含着一个界限，超过这个界限，或者不足，将有不同的物理现象和不同的结果，如临界角、临界温度、极限频率、熔点等等。我们在研究这些临界状态问题时，应着重于与概念相应的物理量的取值范围和有关物理规律现象发生和消失条件的讨论。‎ 在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。在解决极值问题时，常碰到所求物理量，物理过程或物理状态的极值与某一临界值有关，所以我们首先可以考虑用临界法求解极值，其次才是数学方法，比如运用三角函数、配方、不等式、图象、等效法和归纳法求极值，尽管运用数学方法求解物理学中的极值问题有其独到的功能，但决不能让数学方法掩盖住事物的物理实质。‎ 教学目标：‎ ‎1．通过专题复习，掌握临界与极值问题的分析方法和思维过程，提高解答临界与极值问题的能力。‎ ‎2．掌握常见的存在临界与极值问题的物理模型，能够熟练运用数学知识解决临界与极值问题。‎ 教学重点：‎ 通过专题复习，掌握临界与极值问题的分析方法和思维过程，提高解答临界与极值问题的能力。‎ 教学难点：‎ 掌握常见的存在临界与极值问题的物理模型，能够熟练运用数学知识解决临界与极值问题。‎ 教学方法：讲练结合，计算机辅助教学 教学过程：‎ 一、知识概要 ‎1．竖直平面内作圆周运动的临界问题 在高考复习阶段，经常会遇到一类专门研究物体在竖直平面内作圆周运动的临界问题的题目。遇到这类题目，学生大多把分析的着眼点放在了小球过最高点时的受力和运动状况，认为只要保证小球在最高点能作圆周运动，就一定能保证小球在竖直平面内作完整的圆周运动。‎ 如图甲、乙所示，小球到达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）若刚好等于零，则小球的重力提供其作圆周运动所需要的向心力，即 小球能过最高点的条件是：v≥v临界（v＞v临界时，绳、轨道分别对小球产生拉力或压力）。小球不能通过最高点的条件是：v＜v临界（实际上小球还没有到达最高点就脱离了圆轨道）。‎ 事实上在某些情况下，我们不能只盯着最高点，而要队小球作全面地、动态的分析，目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点，只要保证小球在这一点上恰能作圆周运动，就能保证他在竖直平面内作完整的圆周运动，如此这类临界问题得以根本解决。这一关键点并非总是最高点，也可以是最低点，或其他任何位置。‎ ‎2．极限类推法的解题方法 极限类推法：是根据有关物理规律，在不超出该规律适用的环境条件下，对其所涉及的变量作合理的延伸，并通过对变量的特殊值（一般为极限值）进行比较，作出相关的判断的一种解题方法。该方法适用的题型多为客观选择题，其优点是速度快，准确度高。‎ ‎（1）对单调变化的物理过程：常采用对物理过程初状态和极限状态赋值分析对比，判断出物理过程变化的趋势。‎ ‎（2）对非单调变化的物理过程（仅限于物理过程变化隐含一个转折点，并且初状态和极限状态赋值结果接近）‎ 对于非单调变化的物理过程，采用对物理过程初状态和极限状态赋值，结果接近；再对物理过程中间状态赋值，其结果常与上不同，由于物理过程变化只隐含一个转折点，通过比较，可判断出物理过程变化的趋势。‎ ‎3．极值法 常见的极值问题有两类：一类是直接指明某量有极值而要求某极值；另一类则是通过求出某量的极值，进而以此作为依据而解出与之相关的问题。物理极值问题的两种典型解法：解法一是根据问题所给的物理现象涉及的物理概念和规律进行分析，明确题中的物理量是在什么条件下取极值，或在出现极值时有何物理特征，然后根据这些条件或特征去寻找极值，这种方法更为突出了问题的物理本质，这种解法称之为解极值问题的物理方法；解法二是由物理问题所遵循的物理规律建立方程，然后根据这些方程进行数学推演，在推演中利用数学中已有的有关极值求法的结论而得到所求的极值，这种方法较侧重于数学的推演，这种方法称之为极值问题的物理――数学方法。‎ 二、考题回顾 ‎1．（2002年全国理综卷）在如图所示的电路中，R1、R2、R3和R4皆为定值电阻，R5为可变电阻，电源的电动势为E，内阻为r。设电流表A的读数为I，电压表V的读数为U。当R5的滑动触点向图中a端移动时 （ ）‎ A．I 变大，U变小 B．I 变大，U变大 C．I 变小，U变大 D．I 变小，U变小 ‎【解析】由图易知R5的滑动触点向a端移动时R5有效电阻单调变小，引起电路中各量的变化也是单调的。设滑动触点到达a点，则R5被短路，（极值法），并联部分等效于一根导线，则外电阻变小，路端电压U变小，从而可排除选项B、C。电流表所在支路被短路，则电流表读数减至零也是变小的，所以应选选项D。‎ ‎2．（2001年高考全国理综）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为　　　 （　　）‎ A．dv2/ B．‎0 C．dv1/v2 D．dv2/v1‎ ‎【解析】当水流速度v1=0（极限）时，摩托艇登陆的地点是O点，也就是离O点距离为零，此时用时最短，只有C选项正确。‎ 点评：‎ 当某一个物理量趋近于零时，所判断的物理量就趋近于一个不变的值，这是应用极限法的一个特征。同时由以上两例，说明了用极限法思考使解答问题变得极为简捷。但请注意，极限思维法在回避了对物理问题的繁琐运算的同时，也回避了物理问题中对一些物理规律的考查，所以，在应用极限法的同时，还应对物理过程进行分析，并应用要考查的物理规律，最后得出的结果应与极限法得出的结果一致。‎ ‎3．（04年广东）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=‎16cm处，有一个点状的放射源S，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是v=3.0×‎106m/s，已知粒子的电荷与质量之比C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求ab上被粒子打中的区域的长度。‎ ‎ a b ‎ ‎ S ‎ ‎·‎ 解：粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有 ①‎ 由此得 代入数值得R=‎‎10cm 可见，2R>l>R.‎ 因朝不同方向发射的粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒子能打中的左侧最远点.为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1.‎ ②‎ 再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.‎ 由图中几何关系得 ③‎ 所求长度为 ④‎ 代入数值得 P1P2=‎20cm ⑤‎ ‎4．（03年江苏）图1所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连.已知有一质量为的子弹B沿水平方向以速度射入A内（未穿透），接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动，在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间的变化关系如图2所示. 已知子弹射入的时间极短，且图2中=0为A、B开始以相同速度运动的时刻，根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？‎ 解：由图2可直接看出，A、B一起做周期性运动，运动的周期①‎ 令表示A的质量，表示绳长.表示B陷入A内时即时A、B的速度（即圆周运动最低点的速度），表示运动到最高点时的速度，F1表示运动到最低点时绳的拉力，F2表示运动到最高点时绳的拉力，根据动量守恒定律，得 ②‎ 在最低点和最高点处运用牛顿定律可得③‎ ④ ‎ 根据机械能守恒定律可得 ⑤‎ 由图2可知 ⑥ ⑦ ‎ 由以上各式可解得，反映系统性质的物理量是 ‎ ⑧ ⑨‎ A、B一起运动过程中的守恒量是机械能E，若以最低点为势能的零点，则 ⑩ 由②⑧⑩式解得⑾‎ 点评：本题考查圆周运动绳约束模型，注意应用最高点和最低点的临界条件：刚好能过最高点，绳中拉力等于零，速度v=；最低点与最高点绳中拉力差。充分应用这些临界条件就可以避免繁琐的数学运算，节省解题时间。‎ 三、解题方法与技巧：‎ ‎1．关于物体在竖直平面内作圆周运动的临界问题的解题方法是：掌握原理，具体分析，统观全局，抓住要害。物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点的最小合力。由可知，不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。同时，在具体的问题中，要分清绳（或沿圆环内侧运动）与杆（或管）的区别。即绳对球只能提供拉力且绳对球的拉力方向只能沿绳指向圆心。因此，在绳的约束下物体能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度；而杆对球即可能是拉力也可能是压力。在杆（或管）约束下能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度v≥0。‎ ‎2.极限类推法解决问题的关键是如何对物理过程初状态和极限状态巧妙的赋值。或对转折点的取值。取值既要遵循客观事实，又要使问题简化，使状态变化趋势明朗化。‎ 四、典题例析 ‎【例题1】如图所示，质量M＝‎4kg的木板长L＝‎1.4m，静止在光滑水平面上，其上面右端静止一质量m=‎1kg的小滑块（可看作质点），滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，先用一水平恒力F＝28N向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下来，力F至少应作用多长时间（g=‎10m/s2）？‎ ‎【解析】题中木板在恒力F的作用下由静止开始向右加速运动，滑块受摩擦力作用相对地面也向右滑动，因为am＝f/m=μg=‎4m/s2，aM=（F-f）/M=‎6m/s2。即木板的加速度大于滑块的加速度。所以在力F作用时间内的任意时刻木板的速度必大于滑块的速度，若力F作用停止后，当两者的速度恰好能够相等并且滑块到达下滑的临界状态，这时滑块相对于木板的位移为L，则力F作用在木板上的时间就是最短时间，设木板在力F作用期间的位移为sM，通过上述物理过程的分析可知，要使滑块滑下来，其临界条件是vM=vm=v，且滑块的相对位移sM=L，明确这些条件后，求极值就不难了，对由M和m组成的系统有：‎ 由动量定理得： 由功能关系得： 对木板有 由①、②、③式，得s 点评： 对于临界条件不明显的物理极值问题，解题的关键在于通过对物理过程的分析，使隐蔽的临界条件暴露，从而找到解题的突破口，根据有关规律求出极值。‎ ‎【例题2】 船在静水中往返于甲、乙两码头一次的时间为t；在水流速度为u的河流中往返相同的距离所需时间为t。设船的滑行速度v大小不变，船的行驶方向与水流方向在同一条直线上，则t和t′哪个大？‎ ‎【解析】 设水流速度恰好等于船速v，可知船逆水行驶时相对岸的速度为0，逆水行驶时的时间将是无限长。所以，船在流水中往返一次的时间t′一定比在静水中往返一次的时间长，即t′>t.‎ ‎【例题3】 将质量为‎2m的长木板静止的放在光滑的水平面上，如图甲所示。以质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速度v0由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止，铅块运动中所受的摩擦力始终不变。现在将木板分成长度与质量均相等的两段（1、2‎ ‎）后紧挨着仍放在此水平面上，让小铅块仍以相同的速度v0由木板的左端开始滑动，如图乙所示，则下列判断正确的是 A．小铅块仍滑到木板2的右端保持相对静止 B．小铅块滑过木板2的右端后飞离木板 C．小铅块滑过木板2的右端前就与之保持相对静止 D．乙过程产生的热量少于甲过程产生的热量 ‎【解析】 小铅块在木板上滑动时，由于水平面是光滑的，小铅块和木板组成的系统在水平方向上动量守恒，木板的质量越大，小铅块在木板上滑动的距离越长，若是木板的质量无穷大，则铅块最终的速度为零，其动能全部转化为热，没有动能转移到长木板上，这说明了长木板的质量越大，获得的动能越小；质量越小，获得的动能越大。在乙图中小铅块在木板1上运动时的情况与甲图中的情况完全相同，小铅块滑上木板2之后，由于木板2的质量变小，动能转移到木板2上多于转移到甲中的情况，那么小铅块与木板2相对静止时的速度比甲中的大，系统损失的动能小于甲中损失的动能。而ΔE损＝Q＝fΔs相对，说明在乙中的相对位移比甲中的小，故小铅块会滑到木板2的右端前就与之保持相对静止，乙过程产生的热量少于甲过程产生的热量。选项C、D正确。‎ 点拨：此类问题在日常生活中经常遇到：人站在岸上向船上跳容易，而从船上向岸上跳就比较困难，船的质量越大，越容易跳到岸上，其原理与本题是一致的。‎ ‎【例题4】 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角为θ，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？‎ ‎【解析】小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37º，从图6‎ 中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。‎ 由圆周运动知识得： 即： 由动能定理有：‎ 联立①、②可求出此时的高度h。‎ ‎【例题5】如图所示，质量为m的球放在倾角为θ的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角α多大时，A O所受压力最小？‎ 命题意图：考查分析推理能力及运用数学知识处理物理问题的能力。‎ 错解分析：部分考生不进行推理凭主观臆断，得出挡板处于竖直状态所受压力最小的错误结论。还有部分考生思维不灵活，不采用“图解法”而采用“正交分解法”，陷入繁琐的计算和推理，往往由于计算过程出错，导致错误结果。‎ 解题方法与技巧：以球为研究对象，球所受重力mg产生的效果有两个：对斜面产生了压力FN1，对挡板产生了压力FN2，根据重力产生的效果将重力分解，如图所示，当挡板与斜面的夹角α由图示位置变化时，FN1大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；FN2的大小、方向均改变（图中画出的一系列虚线表示变化的FN2）.由图可看出，当FN2与FN1垂直即α=90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力FN2min=mgsinθ.‎ ‎【例题6】如图所示，在电场强度E=5 N/C的匀强电场和磁感应强度B=2 T的匀强磁场中，沿平行于电场、垂直于磁场方向放一长绝缘杆，杆上套一个质量为m=10‎-4 kg，带电量q=2×10‎-4 C的小球，小球与杆间的动摩擦因数μ=0.2，小球从静止开始沿杆运动的加速度和速度各怎样变化？‎ 解题方法与技巧：带电小球在竖直方向上受力平衡，开始沿水平方向运动的瞬间加速度：‎ a1==‎8 m/s2‎ 小球开始运动后加速度：‎ a2=［qE-μ(mg-qvB)］/m，由于小球做加速运动，洛伦兹力F磁增大，摩擦力Ff逐渐减小，当mg=F磁时，Ff =0，加速度最大，其最大值为：a3==‎10 m/s2.‎ 随着速度v的增大，F磁＞mg，杆对球的弹力N改变方向，又有摩擦力作用，其加速度：a4=［qE-μ(qvB-mg)］/m.可见Ff随v的增大而增大，a4逐渐减小.当Ff=F电时，加速度a5=0，此时速度最大，此后做匀速运动。‎ 由qE=μ(qvB-mg)解得v=‎15 m/s.‎ 结论：小球沿杆运动的加速度由‎8 m/s2逐渐增大到‎10 m/s2，接着又逐渐减小到零，最后以‎15 m/s的速度做匀速运动 五、能力训练 ‎1．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的 图（1）‎ 图（2）‎ ‎2．质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉 力F作用下，从平衡位置P点缓慢的移到Q 点，如图所示，则 力F所作的功为 ‎3．如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？‎ ‎4．如图所示，两轮靠皮带传动，绷紧的皮带始终保持‎3m/s的速度水平的匀速运动。一质量为‎1kg的小物体无初速度的放到皮带轮的A处，若物体与皮带的动摩擦因数μ＝0.2，AB间距为‎5.25m。‎ ‎（1）求物体从A到B所需的时间；‎ ‎（2）要使物体经B点后水平抛出，则皮带轮半径R不能超过多大？‎ ‎5. 如图所示，正交的电磁场方向均在水平方向上，电场强度为E，磁感应强度为B，质量为m、带电量为q的小球与水平桌面间的动摩擦因数为μ，已知qE ＞μmg，当小球由静止释放后，求小球的最大速度？（桌面绝缘且足够大）.‎ 参考答案：‎ ‎1．C 2．C 3．5R/2 4．（1）2.5s （2）‎‎0.9m ‎5．提示：由能量守恒定律有：qEvmt-μ(qvmB+mg)vmt=0‎ vm=-