高考试题数学理山东卷 解析版
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学理
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
（1）若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=
（A）1+2i （B）12i （C） （D）
【答案】B
考点：注意共轭复数的概念.
（2）设集合 则=
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：，，则，选C.
考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算.
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中
自习时间的范围是，样本数据分组为 .根据直方图，
这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
【答案】D
考点：频率分布直方图[来源:gkstk.Com]
（4）若变量x，y满足则的最大值是
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】
试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y
）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
考点：线性规划求最值
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
考点：根据三视图求几何体的体积.
（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.
考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.
（7）函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是
（A） （B）π （C） （D）2π
【答案】B
【解析】
试题分析：,故最小正周期,故选B.
考点：三角函数化简，周期公式
（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos
=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为
（A）4 （B）–4 （C） （D）–
【答案】B
考点：平面向量的数量积
（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当
时， .则f(6)=
（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.
考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性
（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性
质.下列函数中具有T性质的是
（A）y=sin x （B）y=ln x （C）y=ex （D）y=x3
【答案】A
考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.
【答案】3
【解析】
试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；满足条件，结束循环，此时，.
考点：循环结构的程序框图
（12）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
【答案】-2
【解析】
试题分析：因为，所以由，因此
考点：二项式定理
（13）已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为
E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.
（14）在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 .
【答案】
【解析】
试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.
考点：直线与圆位置关系；几何概型
（15）已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三
个不同的根，则m的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程
f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.
考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.
三、解答题：本答题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 [来源:gkstk.Com]
（Ⅰ）证明：a+b=2c;学优高考网
（Ⅱ）求cosC的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
由知,
所以 ，
当且仅当时，等号成立.
故 的最小值为.
考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.
（17）（本小题满分12分）
在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.
（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
（II）解法一：
连接,则平面，
又且是圆的直径，所以
可得平面的一个法向量
因为平面的一个法向量
所以.
所以二面角的余弦值为.
解法二：
考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
（18）（本小题满分12分）
已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又，
得，
，
两式作差，得
所以
考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法
（19）（本小题满分12分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”
得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；学优高考网
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，
(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
,
,
,
,
,
.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望.
考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望
(20)(本小题满分13分)
已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
当， 时，，单调递增；
，单调递减.[来源:gkstk.Com]
当时，.
综上所述，
当时，函数在内单调递增，在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；
当时，在内单调递增；
当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，[来源:学优高考网]
考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想.
（21）（本小题满分14分）
平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F
是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.
