高考数学试卷中填空题的特点及复习对策

高考数学试卷中填空题的特点及复习对策

高考数学试卷中填空题的特点及复习对策 填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等.填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力.在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷.一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成.填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比解答题严重.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.从历年高考成绩看，填空题失分率一直很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下工夫.由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下工夫.解填空题的基本原则是“小题不能大做”，解题的基本策略是“巧做”.填空题的解法常见的有直接推演法、特殊元素法、图象解析法、待定系数法、等价转化法、分类讨论法、探索规律法七种.‎ 一、直接推演法：直接推演法，又称综合法，由因导果法，是解填空题的一种常用方法，也是一种基本方法.它的解题方法是根据填空题的题设条件，通过应用定义、公理、定理、公式等经过计算、变形、推理或判断，得出正确的结论.直接推演法解题自然，运用数学知识，通过综合法，直接得出正确答案.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.‎ 典型例题： ‎ 例1：（2012年上海市理4分）计算： ▲ （为虚数单位）.‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】复数的运算.‎ ‎【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可：.‎ 例2：（2012年四川省理4分）设全集，集合，，则 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】集合的运算.‎ ‎【解析】∵，集合，，‎ ‎　　　　∴，.∴.‎ 例3：（2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件：‎ ‎，‎ 则m的取值范围是 ▲ ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】简易逻辑，函数的性质.‎ ‎【解析】由得.‎ ‎ ∵条件，∴当时，.‎ ‎ 当时，，不能做到在时，，所以舍去.‎ ‎ ∵作为二次函数开口只能向下，∴，且此时两个根为.‎ ‎ 为保证条件①成立，必须.‎ ‎ 又由条件的限制，可分析得出时，恒负.‎ ‎ ∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比两根中小的那个大.‎ ‎ 由得，‎ ‎ ∴当时，，解得交集为空集，舍去.‎ ‎ 当时，两根同为－2＞－4，舍去.‎ 当时，.‎ 综上所述，.‎ 例4：（2012年上海市理4分）已知是奇函数，且，若，则 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】函数的奇偶性.‎ ‎【解析】∵函数为奇函数，∴，即 又∵，∴.∴.‎ 例5：（2012年辽宁省理5分）已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为 ▲ .‎ ‎【答案】4.‎ ‎【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法.‎ ‎【解析】∵点P，Q的横坐标分别为4，2，∴代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2.‎ 由得，∴.∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2.‎ ‎∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为.‎ 联立方程组解得.∴点A的纵坐标为4.‎ 例6：（2012年江苏省5分）函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式.‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ‎.‎ 例7：（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式 的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】9.‎ ‎【考点】函数的值域，不等式的解集.‎ ‎【解析】由值域为，当时有，即， ‎ ‎∴.‎ ‎ ∴解得，.‎ ‎∵不等式的解集为，∴，解得.‎ 例8：（2012年天津市理5分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 ▲ 所学校，中学中抽取 ▲ 所学校.‎ ‎【答案】18，9.‎ ‎【考点】分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.‎ ‎【分析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，‎ ‎∴应从小学中抽取，中学中抽取.‎ 例9：（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】等比数列，概率.‎ ‎【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是.‎ 二、特殊元素法：特殊元素法的解题方法是在有些填空题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解决这类解答题，可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值，代入原命题进行验证，从而确定答案.‎ 典型例题： ‎ 例1：（2012年四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，，，.设为正整数，数列满足，，现有下列命题：‎ ‎①当时，数列的前3项依次为5,3,2；‎ ‎②对数列都存在正整数，当时总有；‎ ‎③当时，；‎ ‎④对某个正整数，若，则.‎ 其中的真命题有 ▲ _.（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】①③④.‎ ‎【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用.‎ ‎【解析】对于①，若，根据 ‎ 当n=1时，x2=[]=3, 同理x3=. 故①正确.‎ 对于②，可以采用特殊值列举法：‎ 当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……x2k=1, x2k+1=1,……‎ 此时数列从第二项开始为2，1，2，1……，不成立.故②错误.‎ 对于③，由的定义知，，而为正整数，故，且是整数.‎ ‎∵对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，‎ ‎∴不论是偶数还是奇数，有.‎ ‎∵和都是整数，‎ ‎∴.‎ 又当时，，‎ ‎∵，∴成立.‎ ‎∴当时，.故③正确.‎ 对于④，当时，， ∴，即.‎ ‎∴，即，解得.‎ 由③，∴.∴.故④正确.‎ 综上所述，真命题有 ①③④ .‎ 例2：（2012年浙江省理4分）设，若时均有，则 ▲ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】特殊元素法，偶次幂的非负数性质.‎ ‎【解析】∵时均有，‎ ‎　　　　∴应用特殊元素法，取，得.‎ ‎　　　　∴.‎ 例3：（2012年浙江省理4分）在中，是的中点，，，则 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：‎ 如图，假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，‎ AM＝3，BC＝10，由勾股定理得AB＝AC＝.‎ 则cos∠BAC＝，‎ ‎∴＝.‎ 例4：（2012年湖南省文5分）如图，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且 ，则=‎ ‎ 　　▲　　.‎ ‎【答案】18‎ ‎【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算.‎ ‎【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：假设平行四边形ABCD是特殊的平行四边形――菱形，则与共线，.‎ ‎∴=3×6=18.‎ 三、图象解析法：图象解析法的解题方法是解填空题的一种常用方法，它是根据数形结合的原理，先画出示意图，再观察图象的特征作出选择的方法.对于一些具有几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合，以形助数中获得形象直观的解法.‎ 典型例题：‎ 例1：（2012年全国大纲卷理5分）若满足约束条件，则的最小值为 ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】线性规划.‎ ‎【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（3，0）时，目标函数最大，当目标函数过点（0，1）时最小.‎ 例2：（2012年天津市理5分）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点.‎ ‎【分析】函数，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 综上函数.‎ 作出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是.‎ 例3：（2012年福建省理4分）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 ▲ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用.‎ ‎【解析】根据新运算符号得到函数为，‎ ‎ 化简得：.‎ 如图，作出函数和的图象，‎ 如果有三个不同的实数解，即直线与函数f(x)的图象有三个交点，如图，‎ ‎（1）当直线过抛物线的顶点或时，有两个交点；‎ ‎（2）当直线中时，有一个交点；‎ ‎（3）当直线中时，有三个交点. ‎ 设三个交点分别为：x1，x2，x3，且依次是从小到大的顺序排列，所以x1即为方程2x2－x＝小于0的解，解得x1＝，此时x2＝x3＝，所以x1·x2·x3＝××＝.‎ 与函数f(x)有2个交点的最低位置是当y＝m与x轴重合时，此时x1·x2·x3＝0.‎ 所以当方程有三个不等实根时，x1·x2·x3∈.‎ 例4：（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】可行域.‎ ‎【解析】条件可化为：.‎ ‎ 设，则题目转化为：‎ 已知满足，求的取值范围.‎ ‎ 作出（）所在平面区域（如图）.求出的切 线的斜率，设过切点的切线为， ‎ ‎ 则，要使它最小，须.‎ ‎ ∴的最小值在处，为.此时，点在上之间.‎ ‎ 当（）对应点时， ，‎ ‎ ∴的最大值在处，为7.‎ ‎ ∴的取值范围为，即的取值范围是.‎ 四、待定系数法：待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数.‎ 典型例题： ‎ 例1：（2012年北京市理5分）已知为等差数列，为其前n项和.若，，则= ‎ ‎ ▲ ； ▲ ‎ ‎【答案】1；.‎ ‎【考点】等差数列 ‎【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和已知，得 ‎ .‎ ‎ ∴.‎ 例2：（2012年广东省理5分）.已知递增的等差数列满足，，则　　▲　　.‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】等差数列.‎ ‎【解析】设递增的等差数列的公差为（），由得，‎ ‎ 　　　 解得，舍去负值，.‎ ‎∴.‎ 例3：（2012年浙江省理4分）设公比为的等比数列的前项和为．若，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】等比数列的性质，待定系数法.‎ ‎【解析】用待定系数法将，两个式子全部转化成用，q表示的式子：‎ ‎，‎ 两式作差得：，即：，解之得：或 (舍去).‎ 例4：（2012年辽宁省理5分）已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an = ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【解析】设等比数列｛an｝的公比为.‎ ‎∵，∴.∴，.‎ 又∵，∴.∴.‎ 解得或.‎ 又∵等比数列｛an｝为递增数列，∴舍去.‎ ‎∴.‎ 例5：（2012年福建省理4分）已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用.‎ ‎【解析】∵△ABC的三边长成公比为的等比数列，∴设三角形的三边分别是：a、a、a.‎ ‎ ∵最大角所对的边是a，‎ ‎ ∴根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：.‎ ‎ ∴最大角的余弦值为.‎ 例6：（2012年重庆市理5分）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，方程思想的应用.‎ ‎【分析】设直线的方程为（由题意知直线的斜率存在且不为0），‎ 代入抛物线方程，整理得.‎ 设，则.‎ 又∵，∴.∴，解得.‎ 代入得.‎ ‎∵，∴.∴.‎ 例7：（2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 ▲ 米.‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】抛物线的应用.‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，‎ ‎　　　　∴∵当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，‎ ‎∴抛物线过点（2，－2，）.‎ 代入得，，即.‎ ‎∴抛物线方程为.‎ ‎∴当时，，∴水位下降1米后，水面宽米.‎ 五、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键.‎ 典型例题： ‎ 例1：（2012年江西省理5分）设数列都是等差数列，若，，则 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】35.‎ ‎【考点】等差中项的性质，整体代换的数学思想.‎ ‎【解析】∵数列都是等差数列，∴数列也是等差数列.‎ ‎∴由等差中项的性质，得，即，‎ 解得.‎ 例2：（2012年全国大纲卷理5分）当函数取得最大值时， ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】三角函数性质的运用.‎ ‎【解析】求解值域的问题，首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴当且仅当即时，函数取得最大值.‎ 例3：（2012年湖北省理5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c.若，则角C= ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】余弦定理的运用 ‎【解析】由 得，‎ ‎∴根据余弦定理得.∴.‎ 例4：（2012年重庆市理5分）设的内角的对边分别为，且则 ▲ ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】同角三角函数的基本关系式，两角和的三角公式，正弦定理的应用.‎ ‎【分析】∵，∴.∵，∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 由正弦定理得，.‎ 例5：（2012年上海市理4分）在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】平面向量的基本运算.‎ ‎【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎∵平行四边形中，，，‎ ‎∴.‎ 设，则.‎ ‎∴由得，.‎ ‎∴的横坐标为，的纵坐标为.‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∵函数在有最大值，‎ ‎∴在时，函数单调增加.‎ ‎∴在时有最小值2；在时有最大值5.‎ ‎∴的取值范围是. ‎ 六、分类讨论法：在解答某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性.解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论.对于分类讨论法方法的使用，笔者将另文详细解析.‎ 典型例题： ‎ 例1：（2012年广东省理5分）不等式的解集为　　▲　　.‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】分类讨论的思想，解绝对值不等式.‎ ‎【解析】分类讨论：由不等式得，‎ ‎　　　　当时，不等式为，即恒成立；‎ ‎　　　　当时，不等式为，解得，；‎ 当时，不等式为，即不成立.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎　　　　另解：用图象法求解：作出图象，由折点——参考点——连线；运用相似三角形性质可得.‎ 例2：（2012年江西省理5分）在实数范围内，不等式的解集为 ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法，转化与划归、分类讨论的数学思想的应用.‎ ‎【解析】原不等式可化为①或②或③，‎ 由①得；由②得；由③得.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ 例3：（2012年福建省文4分）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用．要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.‎ 现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为 ▲ ．‎ ‎【答案】16.‎ ‎【考点】最优设计方案.‎ ‎【解析】根据题意先选择中间最优线路，中间有三条，分别是A→F→G→D，E→F→B，E→G→C，费用最低的是A→F→G→D为3＋1＋2＝6；再选择A→F→G→D线路到点E的最低费用线路是：A→E费用为2；再选择A→F→G→D到C→B的最低费用，则选择：G→C→B，费用最低为3＋5＝8，所以铺设道路的最小费用为：6＋2＋8＝16.‎ 例4：（2012年山东省文4分）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，‎ 且函数在上是增函数，则a＝ ▲ . ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】函数的增减性.‎ ‎【解析】∵，∴.‎ 当时，‎ ‎∵，函数是增函数，‎ ‎∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为.‎ 此时，它在上是减函数，与题设不符.‎ 当时，‎ ‎∵，函数是减函数，‎ ‎∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为.‎ 此时，它在上是增函数，符合题意.‎ 综上所述，满足条件的.‎ 例5：（2012年上海市文4分）已知，各项均为正数的数列满足，，‎ 若，则的值是 ▲ ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】数列的概念、组成和性质，函数的概念.‎ ‎【解析】根据题意，，并且，得到.‎ ‎ 当为奇数时，，，，，.‎ ‎ 当为偶数时，由，得到，解得（负值舍去）.‎ ‎ 由得，解得.‎ ‎ ∴当为偶数时，.‎ ‎ ∴.‎ 七、探索规律法：探索规律法的解题方法是直接通过对填空题的条件，作详尽的分析、归纳和判断，从而得出正确的结果.当遇到寻找规律的命题时，常用此法.‎ 典型例题： ‎ 例1：（2012年湖南省理5分）设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.‎ ‎（1）当N=16时，x7位于P2中的第 ▲ 个位置；‎ ‎（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第 ▲ 个位置.‎ ‎【答案】（1）6；（2）.‎ ‎【考点】演绎推理的基本方法，进行简单的演绎推理.‎ ‎【解析】（1）当N=16时, ‎ ‎,可设为,‎ ‎,即为,‎ ‎,即, x7位于P2中的第6个位置.‎ ‎（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现：‎ 第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；‎ 第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以为4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项；‎ 依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n-4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第个位置.‎ 例2：（2012年福建省理4分）数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2 012＝ ▲ .‎ ‎【答案】3018.‎ ‎【考点】规律探索题.‎ ‎【解析】寻找规律：a1＝1cos＋1＝1，a2＝2cosπ＋1＝－1，a3＝3cos＋1＝1，a4＝4cos2π＋1＝5；‎ a5＝5cos＋1＝1，a6＝6cos3π＋1＝－5，a7＝7cos＋1＝1，a8＝8cos＋1＝9；‎ ‎······‎ ‎∴该数列每四项的和.‎ ‎∵2012÷4=503，∴S2 012＝6×503＝3018.‎ 例3：（2012年陕西省理5分） 观察下列不等式 ‎，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为 ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】归纳规律.‎ ‎【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方；右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式：.‎ 令n=5，即可得出第五个不等式，即.‎ 例4：（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】5.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：‎ 是否继续循环 k 循环前 ‎0‎ ‎0‎ 第一圈 是 ‎1‎ ‎0‎ 第二圈 是 ‎2‎ ‎－2‎ 第三圈 是 ‎3‎ ‎－2‎ 第四圈 是 ‎4‎ ‎0‎ 第五圈 是 ‎5‎ ‎4‎ 第六圈 否 输出5‎ ‎ ∴最终输出结果k=5.‎ 例5：（2012年湖北省理5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s= ▲ .‎ ‎【答案】9.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【解析】用列举法，通过循环过程直接得出s与n的值，得到n=3时退出循环，即可．‎ 循环前，S=1，a=3，‎ 第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，‎ 第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，‎ 第3次判断n退出循环，输出s =9. ‎ 例6：（2012年全国课标卷理5分）数列满足，则的前项和为 ▲ ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】分类归纳（数字的变化类），数列.‎ ‎【解析】求出的通项：由得， ‎ ‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；······‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，（）.‎ ‎∵，‎ ‎∴的四项之和为（）.‎ 设（）.‎ 则的前项和等于的前15项和，而是首项为10，公差为16的等差数列，‎ ‎∴的前项和=的前15项和=.‎ 例7：（2012年湖北省理5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则 ‎（Ⅰ）4位回文数有 ▲ 个；‎ ‎（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有 ▲ 个.‎ ‎【答案】（Ⅰ）90；（Ⅱ）.‎ ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【解析】（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位回文数有9×10=90个.‎ ‎（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，故2n+1（n∈N+）位回文数有个.‎ 例8：（2012年湖北省文5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1,3， 6,10，…记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：‎ ‎（Ⅰ）是数列中的第　　▲　　项；‎ ‎（Ⅱ） =　　▲　　.（用表示）‎ ‎【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）.‎ ‎【考点】归纳规律.‎ ‎【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110.‎ 故.‎ 从而由上述规律可猜想：（为正整数），‎ ‎.‎ 故,即是数列中的第5030项.‎ 高考数学试卷中填空题的特点：1.概念性强.数学填空题的陈述和信息传递,都是借助数学中的术语、符号、规定及习惯来呈现的.因此,所表现出来的就是概念性强.2.量化突出.数学填空题中绝大多数是定量型的试题,需要进行推理计算,其中蕴含了对概念、原理、性质、法则的考查.3.数形兼备.数学的研究对象不仅是数，还有图形.代数填空题常需运用几何知识，而几何填空题常需代数知识来解决.4.探究开放.此类填空题的特点如下:(1)条件不完备(2)结论不明确(3)答案不惟一(4)方法需设计5.重视语言表述.数学语言的表述能力是基本的数学素养.6.多选性.数学中的多项选择题常以填空题的形式给出.7.难度较低.体现了中学阶段数学教育的基本目标——全体中学生掌握的、适应未来社会需要的、现代公民必备的最基础的数学知识和技能，以及对它们的直接运用. ‎ 高考数学试卷中填空题复习对策：1.小题大“做” :写出简短过程,反映解题思路.2.大题小“做” :分解综合题,以小思大.3.改“选” 换“填” :强化知识清晰度.4.算题精“做” :提高运算能力.5.难题巧“做” :找规律、举反例、取特例、作图形.提高解题速度和解题灵活性.6.加强数学语言的叙述能力,提高文字语言、符号语言、图形语言的转化能力.7.提高思考的严密性,周全性.‎