高考数学大题限时狂练二三角函数

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高考数学大题限时狂练二三角函数

‎2016年高考数学大题限时狂练二:三角函数 ‎(共70分,限时60分)‎ 解答题(共6小题.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 一、[2015·新课标一]△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.‎ ‎(I)求 ;‎ ‎(II)若,求.‎ 二. [2014·北京高考]如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.‎ ‎(1)求sin∠BAD;‎ ‎(2)求BD,AC的长.‎ 三. [2014·重庆高考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)若f=,求cos的值.‎ 四、 在△ABC中,=(-sinx,sinx),=(sinx,cosx).‎ ‎(1)设f(x)=·,若f(A)=0,求角A的值;‎ ‎(2)若对任意的实数t,恒有|-t|≥||,求△ABC面积的最大值.‎ 五、 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知3(b2+c2)=3a2+2bc.‎ ‎(1)若sinB=cosC,求tanC的大小;‎ ‎(2)若a=2,△ABC的面积S=,且b>c,求b,c.‎ 六、 [2014·江苏高考]如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.‎ ‎(1)求新桥BC的长;‎ ‎(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?‎ 答案精析 一、[2015·新课标一]△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.‎ ‎(I)求 ;‎ ‎(II)若,求.‎ ‎【答案】(I);. ‎ 试题解析:(I)由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.‎ ‎(II)因为 ‎ 所以 二、 [2014·北京高考]如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.‎ ‎(1)求sin∠BAD;‎ ‎(2)求BD,AC的长.‎ ‎[解] (1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,‎ 所以sin∠ADC=.‎ 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)‎ ‎=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB ‎=×-×=.‎ ‎(2)在△ABD中,由正弦定理得 BD===3.‎ 在△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB ‎=82+52-2×8×5×=49.‎ 所以AC=7.‎ 三、[2014·重庆高考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)若f=,求cos的值.‎ ‎[解] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.‎ 又因f(x)的图象关于直线x=对称,‎ 所以sin(+φ)=±1,‎ 由-≤φ<,得≤φ+<,‎ 故φ+=,φ=-.‎ ‎(2)由(1)得f=sin=,‎ 所以sin=.‎ 由<α<得0<α-<,‎ 所以cos===.因此cos=sinα=sin ‎=sincos+cossin=×+×=.‎ 四、 在△ABC中,=(-sinx,sinx),=(sinx,cosx).‎ ‎(1)设f(x)=·,若f(A)=0,求角A的值;‎ ‎(2)若对任意的实数t,恒有|-t|≥||,求△ABC面积的最大值.‎ ‎[解] (1)f(x)=·=-sin2x+sinxcosx=(-)×+=sin(2x+)-.‎ 因为f(A)=0,所以sin(2A+)=,‎ 又2A+∈(,2π+),所以A=.‎ ‎(2)因为|-t|≥||,所以BC⊥AC,‎ 因为||=≤2,||=1,所以BC=≤,‎ 所以△ABC的面积S=BC·AC≤,‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ 五、(1)若sinB=cosC,求tanC的大小;‎ ‎(2)若a=2,△ABC的面积S=,且b>c,求b,c.‎ ‎[解] ∵3(b2+c2)=3a2+2bc,‎ ‎∴=,‎ ‎∴cosA=,∴sinA=.‎ ‎(1)∵sinB=cosC,∴sin(A+C)=cosC,‎ ‎∴cosC+sinC=cosC,‎ ‎∴cosC=sinC,∴tanC=.‎ ‎(2)∵S=,∴bcsinA=,∴bc=, ①‎ ‎∵a=2,∴由余弦定理可得4=b2+c2-2bc×,‎ ‎∴b2+c2=5,  ②‎ ‎∵b>c>0,∴联立①②可得b=,c=.‎ 六、 [2014·江苏高考]如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.‎ ‎(1)求新桥BC的长;‎ ‎(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?‎ ‎[解] 解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0,60),C(170,0),‎ 直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.‎ 又因为AB⊥BC,‎ 所以直线AB的斜率kAB=.‎ 设点B的坐标为(a,b),‎ 则kBC==-,kAB==.‎ 解得a=80,b=120.‎ 所以BC==150.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).‎ 由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.‎ 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r==.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即 解得10≤d≤35.‎ 故当d=10时,r=最大,即圆面积最大.‎ 所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ 解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F.‎ 因为tan∠FCO=,‎ 所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.‎ 因为OA=60,OC=170,‎ 所以OF=OCtan∠FCO=,CF==.从而AF=OF-OA=.‎ 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.‎ 又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,‎ 则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).‎ 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.‎ 故由(1)知sin∠CFO====,所以r=.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即 解得10≤d≤35.‎ 故当d=10时,r=最大,即圆面积最大.‎ 所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.‎
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