等比数列高考专题复习资料

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‎ 等比数列 ‎【知识点回顾】‎ ‎1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.‎ ‎2.通项公式与前项和公式 ‎⑴通项公式：，为首项，为公比 .‎ ‎⑵前项和公式：①当时，‎ ‎②当时，.‎ ‎3.等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.‎ 即：是与的等差中项，，成等差数列.‎ ‎4.等比数列的判定方法 ‎⑴定义法：（，是常数）是等比数列；‎ ‎⑵中项法：()且是等比数列.‎ ‎5.等比数列的常用性质 ‎⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；‎ ‎⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.‎ ‎⑶‎ ‎⑷若，则；‎ ‎⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.‎ 例1.已知等比数列的前项和(是非零常数),则数列是( )‎ A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列 ‎[名师点拨]先由求出，再根据等差、等比数列定义作出判定.‎ 解：，‎ ‎∴当且时，是等比数列；当时，是等差数列，选C.‎ ‎2.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.‎ 例2.若实数数列是等比数列，则 .‎ ‎[名师点拨]本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式，得 解：是等比数列，，得 又是等比数列，，.‎ 考点一 等比数列的通项与前n项和 题型1：已知等比数列的某些项，求某项 例1.已知为等比数列，，则 ‎ ‎[解题思路]可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质 解：方法1：‎ 方法2：，‎ 方法3：为等比数列 题型2：已知前项和及其某项，求项数.‎ 例2.⑴已知为等比数列前项和，，，公比，则项数 .‎ ‎⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.‎ ‎[解题思路]⑴利用等比数列的通项公式及求出及，代入可求项数；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.‎ 解：⑴由，，公比，得.‎ ‎⑵方法1：设这四个数分别为，则；‎ 方法2：设前个数分别为，则第个数分别为，则 ‎，解得或；‎ 方法3：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则 或；‎ 方法4：设第个数分别为，设第个数分别为；‎ 方法5：设第个数分别为，则设第个数分别为，则 或 题型3：求等比数列前项和 例3.等比数列中从第5项到第10项的和.‎ ‎[解题思路]可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及，‎ 由成等比数列求解.‎ 解：由，得，‎ ‎，，‎ 例4.已知为等比数列前项和，，求 ‎ ‎[解题思路]可以先求出，再根据的形式特点求解.‎ 解：，‎ 即 例5.已知为等比数列前项和，，求. ‎ ‎[解题思路]分析数列通项形式特点，结合等比数列前项和公式的推导，采用错位相减法求和.‎ 解：‎ ‎，----------------①‎ ‎ -------------②‎ ‎①—②，得 ‎ ‎ 变式1：已知为等比数列，，求的值.‎ 解：设等比数列的公比为，‎ ‎，，；‎ 考点二 证明数列是等比数列 例6.已知数列和满足：，，，其中为实数，.‎ ‎⑴ 对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎⑵ 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.‎ ‎[解题思路]⑴证明数列不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列是等比数列，‎ 常用：①定义法；②中项法.‎ 解：⑴ 证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，‎ 即矛盾.‎ 所以不是等比数列. ‎ ‎⑵ 解：因为 ‎ ‎ 又，所以 当，此时不是等比数列；‎ 当时，由上可知，此时是等比数列【名师点拨】等比数列的判定方法：‎ ‎⑴定义法：（，是常数）是等比数列；‎ ‎⑵中项法：()且是等比数列.‎ 变式1：已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列； ‎ C ，又，，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ 考点三 等比数列的性质 例7.已知为等比数列前项和，，，则 .‎ ‎[解题思路]结合题意考虑利用等比数列前项和的性质求解.‎ 解：是等比数列，为等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎【名师点拨】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.‎ 变式1：已知等比数列中，，则 .‎ 解：是等比数列，‎ ‎∴.‎ 考点四 等比数列与其它知识的综合 例8.设为数列的前项和，已知 ‎⑴证明：当时，是等比数列；‎ ‎⑵求的通项公式。‎ ‎[解题思路]由递推公式求数列的通项公式，主要利用：‎ ‎，同时注意分类讨论思想.‎ 解：由题意知，且 ，‎ 两式相减，得，即 ①‎ ‎⑴当时，由①知 ‎ 于是 ‎ 又，所以是首项为，公比为的等比数列。‎ ‎⑵当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由①得 ‎ 因此 ‎ 得 ‎ ‎【名师点拨】退一相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键.‎ ‎【基础巩固】‎ ‎1.设是公比为正数的等比数列，若，则数列前7项的和为（ ）‎ ‎ ‎ 解：由，得，，‎ ‎2.设等比数列的公比， 前n项和为，则（ C ）‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎3.已知等比数列满足，则（ A ）‎ ‎ ‎ 解：，，‎ ‎4.已知等比数列的前三项依次为，，，则（ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 解：，，‎ ‎5.已知是等比数列，，则=（ C ）‎ ‎ ‎ 解：，‎ ‎6．已知，，，是公比为2的等比数列，则等于 （ ）‎ A． B． C． 1 D．‎ ‎7．已知是等比数列，且，，那么 的值是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．25‎ ‎8．在等比数列中，已知，，则该数列前5项的积为 （ ）‎ A． B．3 C．1 D．‎ ‎9．的三边，，既成等比数列又成等差数列，则三角形的形状是（ ）‎ A．Rt B．等腰 C．等腰Rt D．等边 ‎10．三个数成等比数列，其积为1728，其和为38，则此三数为 （ ）‎ A．3，12，48 B．4，16，27 C．8，12，18 D．4，12，36‎ ‎11．若6，，，，54这五个数成等比数列，则实数的值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.(2009广雅中学)在等比数列中，已知，，则 . ‎ 解：利用成等比数列，得 ‎ ‎13． 设数列的前项和为，为等比数列，且 ‎ （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn.‎ ‎14． 已知等比数列的各项都是正数,, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.‎ ‎15．已知数列的前n项和满足：. 又.‎ ‎（1）求a的值；（2）求．‎ 已知等比数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和