新课标人教A版高考数学理总复习限时规范训练36 简单的三角恒等变换

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新课标人教A版高考数学理总复习限时规范训练36 简单的三角恒等变换

第三章 第6讲 ‎(时间:45分钟 分值:100分)‎ 一、选择题 ‎1. [2012·重庆高考]设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为(  )‎ A. -3          B. -1‎ C. 1    D. 3‎ 答案:A 解析:因为tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,所以tanα+tanβ=3,tanα·tanβ=2,而tan(α+β)===-3,故选A.‎ ‎2. [2013·吉林五校联考]等于 (  )‎ A.     B. C. 2    D. 答案:C 解析:= ‎= ‎==2.故选C.‎ ‎3. [2013·威海模拟]已知α∈(π,),cosα=-,tan2α=(  )‎ A.     B. - C. -2    D. 2‎ 答案:B 解析:∵cosα=-,α∈(π,),‎ ‎∴sinα=-=-.‎ ‎∴tanα=2.‎ tan2α===-,故选B.‎ ‎4. [2013·大同模拟]已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为(  )‎ A.     B. C. ±    D. ± 答案:C 解析:∵θ为第二象限角,‎ ‎∴为第一、三象限角.‎ ‎∴cos的值有两个,‎ 由sin(π-θ)=,可知sinθ=,‎ ‎∴cosθ=-,∴2cos2=.‎ ‎∴cos=±.‎ ‎5. [2013·湖南郴州]函数y=2cosx(sinx+cosx)的最大值和最小正周期分别是(  )‎ A. 2,π    B. +1,π C. 2,2π    D. +1,2π 答案:B 解析:y=2cosxsinx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=‎ sin(2x+)+1,所以当2x+=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时取得最大值+1,最小正周期T==π.‎ ‎6. [2013·上海模拟]函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围是(  )‎ A. [-1,1]    B. [1,]‎ C. [-1,]    D. [-,1]‎ 答案:C 解析:f(x)=1+2sinxcosx-2cos2x-m=0有解,‎ x∈[0,],‎ 即sin2x-cos2x=m有解,‎ sin(2x-)=m有解,‎ ‎∵x∈[0,],2x-∈[-,π],‎ ‎∴sin(2x-)∈[-1,].‎ 二、填空题 ‎7. [2013·烟台四校联考]已知=1,tan(β-α)=-,则tan(β-2α)=________.‎ 答案:-1‎ 解析:∵=1,∴2tanα=1,即tanα=.‎ ‎∴tan(β-2α)=tan(β-α-α)===-1.‎ ‎8. [2013·金版原创]若=2013,则+tan2θ=________.‎ 答案:2013‎ 解析:+tan2θ=+tan2θ=+tan2θ=+===2013.‎ ‎9. [2013·宁夏模拟]在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=,则sinA的值为________.‎ 答案: 解析:由题意知,C-A=,且C+A=π-B,‎ ‎∴A=-,‎ ‎∴sinA=sin(-)=(cos-sin),∴sin‎2A=‎ (1-sinB)=,又sinA>0,∴sinA=.‎ 三、解答题 ‎10. [2013·西安质检]已知函数f(x)=sin2x-2sin2x++1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间;‎ ‎(2)当x∈[-,]时,求f(x)的值域.‎ 解:f(x)=sin2x+(1-2sin2x)+1=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1.‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期T==π.‎ 由正弦函数的性质知,当2kπ-≤2x+≤2kπ+,‎ 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数y=sin(2x+)为单调递增函数,∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).‎ ‎(2)∵x∈[-,],∴2x+∈[0,],∴sin(2x+)∈[0,1],‎ ‎∴f(x)=2sin(2x+)+1∈[1,3].‎ ‎∴f(x)的值域为[1,3].‎ ‎11. [2013·东北三校联考]已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=.‎ ‎(1)求cos(α-β)的值;‎ ‎(2)若0<α<,-<β<0,且sinβ=-,求sinα.‎ 解:(1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),‎ ‎∴a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),‎ ‎∵|a-b|=,‎ ‎∴=,‎ 即2-2cos(α-β)=,∴cos(α-β)=.‎ ‎(2)∵0<α<,-<β<0,‎ ‎∴0<α-β<π,‎ ‎∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=,‎ ‎∵sinβ=-,∴cosβ=,‎ ‎∴sinα=sin[(α-β)+β]‎ ‎=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=×+×(-)=.‎ ‎12. [2013·海淀模考]已知函数f(x)=cos(+x)·cos(-x),g(x)=sin2x-.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.‎ 解:(1)因为f(x)=cos(+x)cos(-x)‎ ‎=(cosx-sinx)(cosx+sinx)‎ ‎=cos2x-sin2x=- ‎=cos2x-,‎ 所以f(x)的最小正周期为=π.‎ ‎(2)h(x)=f(x)-g(x)=cos2x-sin2x ‎=cos(2x+),‎ 当2x+=2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值.‎ h(x)取得最大值时,对应的x的集合为 ‎{x|x=kπ-,k∈Z}.‎
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