解三角形高考专题

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第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形 一、选择题 ‎1.（2010上海文）18.若△的三个内角满足，则△‎ ‎（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.‎ ‎（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.‎ ‎2.（2010湖南文）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则 A.a＞b B.a＜b C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定 ‎3.（2010江西理）7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2010北京文）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图）‎ ‎，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正 方形所组成，该八边形的面积为 ‎（A）； （B）‎ ‎（C）； （D）‎ ‎5.（2010天津理）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6.（2010湖南理）6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，,则 A、a>b B、a40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.‎ 过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.‎ 在Rt中，PE=QE·sin ‎=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ ‎14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高时，‎ 可以选与塔底在同一水平面内 的两个侧点与．现测得，‎ 并在点测得塔顶 的仰角为，求塔高．‎ 解 在中，．‎ 由正弦定理得．‎ 所以．‎ 在Rt△ABC中，．‎ ‎15．（2007福建）在中，，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．‎ 解 （Ⅰ），‎ ‎．又，．‎ ‎（Ⅱ），边最大，即．‎ 又∵tanA＜tanB，A、B角最小，边为最小边．‎ 由且，‎ 得．由得：BC=AB·．‎ ‎16．（2007浙江）已知的周长为，且．‎ ‎（I）求边的长；‎ ‎（II）若的面积为，求角的度数．‎ 解 （I）由题意及正弦定理，得，，‎ 两式相减，得．‎ ‎（II）由的面积，得，‎ 由余弦定理，得cosC=‎ ‎=，‎ 所以．‎ ‎17．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处 时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距‎20海里.当甲 船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方 向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?‎ 解 方法一 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=， A‎1A2=，∴A‎1A2=A2B2， 又∠A1A2B2=180°-120°=60° ‎∴△A1A2B2是等边三角形， ‎∴A1B2=A1A2=. 由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理， ‎=+-·A1B2·cos45° ‎=202+()2-2×20××=200. ‎∴B1B2=. 因此，乙船的速度的大小为 ‎×60=（海里/小时）. 答 乙船每小时航行海里. ‎19.（2007全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求b．‎ 解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，‎ 由为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得．‎ 所以，‎ ‎20.（2007全国Ⅱ）在中，已知内角，边．设内角，周长为．‎ ‎（1）求函数的解析式和定义域；‎ ‎（2）求的最大值．‎ 解：（1）的内角和，由得．‎ 应用正弦定理，知 ‎，‎ ‎．‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 所以，当，即时，取得最大值 第二部分 四年联考题汇编 ‎2010年联考题 题组二（5月份更新）‎ ‎1.（马鞍山学业水平测试）△AOB是边长为1的等边三角形，O是原点，‎ 轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线的方程是 A． B． C． D． ‎ 答案 B ‎2．设点在内部，且，则的面积与的面积之比是 A．2：1 B．3：‎1 C．4：3 D．3：2‎ 答案：D ‎3. （祥云一中三次月考理）已知边长为1的正三角形中，则的值为 A． B． C． D． ‎ 答案：B ‎4．的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量 ‎，若，则角的大小为_____________‎ 答案 ‎ ‎5.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）‎ ‎（1）由“若则”类比“若为三个向量则”‎ ‎（2）在数列中，猜想 ‎（3）在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”‎ ‎（4）已知，则.‎ 上述四个推理中，得出的结论正确的是____ .（写出所有正确结论的序号）‎ 答案（2）（3）‎ ‎6．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）‎ 设的内角所对的边分别为且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的周长的取值范围.‎ 解：（1）由得 …………‎ 又 …………‎ ‎，，，‎ 又 …………‎ ‎（2）由正弦定理得：,‎ ‎………‎ ‎ …………‎ ‎ ‎ 故的周长的取值范围为. ………… ‎ ‎（2）另解：周长 由（1）及余弦定理 ‎ …………‎ ‎ ‎ ‎ …………‎ 又 即的周长的取值范围为. ………… ‎ ‎7．（肥城市第二次联考）（本小题满分12分）‎ 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=‎0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414，2.449） ‎ 解:‎ 在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,‎ 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分 在△ABC中，‎ 即AB=‎ 因此，BD=‎ 故B，D的距离约为‎0.33km。 ……12分 ‎8.（池州市七校元旦调研）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b ‎ 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,。‎ 所以…………………………………①‎ 又，‎ ‎，即 由正弦定理得，故………………………②‎ 由①，②解得。‎ 题组一（1月份更新）‎ 一、选择题 ‎1、（2009青岛一模）已知点、分别为双曲线：的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为 A． B. C． 　D. ‎ 答案 D ‎2、（2009上海十四校联考）‎ 已知非零向量则△ABC的形状是 （ ）‎ ‎ A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 ‎ C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 答案 D ‎3、（2009枣庄一模）已知的三个内角A，B，C的对边，向量周长的最小值为 （ ）[来源:学科网]‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案 B ‎ E D A B C D1‎ 第4题 ‎4、（2009上海奉贤区模拟考）在正方体中，点E在A‎1C1上，且，则―――――――（ ）。‎ ‎（A），（B），‎ ‎（C），（D）.‎ 答案 D 二、填空题 ‎5、（2009深圳一模）已知是的中线，‎ ‎，那么 ；‎ 若，，则的最小值是 ．‎ 答案 1‎ 三、解答题 ‎6、（2009湛江一模）已知向量，，函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且 ‎，求的值．‎ 解：（Ⅰ） ---------2分 ‎∴函数的最小周期 ----------4分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ -------------6分 ‎ ------------7分 ‎ 是三角形内角[来源:学科网]‎ ‎ ∴， ∴ 即： -------------8分 ‎ ∴ 即： ----------------10分 ‎ 将可得： 解之得：‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ------------12分 ‎7、（2009杭州高中第六次月考）已知A，B，C三点的坐标分别是A(3，0)，B(0，3)，C (cosθ，sinθ)，其中<θ<，且．‎ ‎ （1）求角θ的值；‎ ‎ （2）当0≤x≤时，求函数 的最大值和最小值．‎ 解：（1）=(cosθ-3,sinθ)，=(cosθ，sinθ-3) 2分 ‎ ∵ ∴‎ ‎ 化简得：sinθ=cosθ 5分 ‎ ∵<θ< ∴θ= 7分 ‎ （2）当0≤x≤时，≤2x+θ≤ 10分 ‎ ∴-1≤sin(2x+θ) ≤ ∴f(x)max= f(x)min=-2 14分 ‎8、（2009杭州学军中学第七次月考）已知向量,，,且A为锐角.‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求函数的值域.‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎9、（2009嘉兴一中一模）已知的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，．‎ ‎(1)求的值； (2)求的值．‎ 解：(1)因为，所以，得…………3分 ‎ 又因为…………………………………3分 ‎（2）由及，得，…………………………………2分 ‎ 所以，…………………………………2分 ‎ ，…………………………………2分 ‎ ………………………………2分 ‎10、（2009桐庐中学下学期第一次月考）已知A、B、C三点的坐标分别为、、‎ ‎ （1）若的值； ‎ ‎ （2）若 解：（1），‎ ‎ （2）由 ‎2009年联考题 一、选择题 ‎1.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则 （ ） ‎ A.． B ． C． D． 或 答案 C ‎2.（2009河北区一模）在中，则（ ）‎ A．-9 B．‎0 ‎‎ C．9 D．15‎ 答案 C ‎3.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知a，b，c为△ABC的三内角A，B，C的对边，向量，若，且 的大小分别为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 答案 C 二、填空题 ‎4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC的三内角所对边的长分别为设向量,，若，则角的大小为 答案 ‎ 三、解答题 ‎5.（2009宜春）已知向量，，，且、、分别为的三边、、所对的角。‎ （1） 求角C的大小；‎ （2） 若，，成等差数列，且，求边的长。‎ 解：（1） ‎ 对于，‎ ‎ ‎ 又，‎ ‎ ‎ ‎（2）由，‎ 由正弦定理得 ‎ ‎，‎ 即 ‎ 由余弦弦定理， ‎ ‎， ‎ ‎6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）在△ABC中，设A、B、C的对 边分别为a、b、c向量 ‎ （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）若的面积.‎ 解（1）‎ 又 ‎（2）‎ 为等腰三角形，‎ ‎ ‎ ‎7.（2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考）在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量,共线。‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）如果，求的面积的最大值。‎ 解：（1）由向量共线有： ‎ 即， 2分 又，所以，‎ 则=，即 4分 ‎（Ⅱ）由余弦定理得则 ‎，‎ 所以当且仅当时等号成立 9分 所以。 10分 ‎8.(广东省广州市2009年模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=．‎ ‎(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．‎ 解：(1) ∵cosB=>0，且01，∴t=1时，取最大值.‎ 依题意得，－2+4k+1=5，∴k=‎ ‎5. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ‎（Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若的值.‎ ‎ 解：（I）‎ 即 为等腰三角形.‎ ‎（II） 由（I）知