全国百套高考数学模拟试题目分类整理汇编概率与统计解答题目

全国百套高考数学模拟试题目分类整理汇编概率与统计解答题目

‎2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编 ‎10概率与统计 三、解答题 ‎1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.‎ ‎ （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 ‎ （2）求恰有2条线路没有被选择的概率.‎ ‎ （3）求选择甲线路旅游团数的期望.‎ 解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1= ‎ ‎ （2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2= ‎ ‎ （3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3 ‎ ‎ P（ξ=0）= P（ξ=1）=‎ ‎ P（ξ=2）= P（ξ=3）= ‎ ‎ ∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=‎ ‎4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)如图，在某城市中，Ｍ，Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网，、、、是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处，今在道路网Ｍ、Ｎ处的甲、乙两人分别要到Ｍ，Ｎ处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每１０分钟一格的速度分别向Ｎ，Ｍ处行走，直到到达Ｎ，Ｍ为止。‎ Ａ１‎ Ａ２‎ Ａ３‎ Ａ４‎ Ｍ Ｎ ‎（１）求甲经过的概率；‎ ‎（２）求甲、乙两人相遇经点的概率；‎ ‎（３）求甲、乙两人相遇的概率；‎ 解：（１）甲经过到达Ｎ，可分为两步：第一步：甲从Ｍ经过的方法数：种；第二步：甲从到Ｎ的方法数：种；所以：甲经过的方法数为；‎ ‎ 所以：甲经过的概率 ‎　（２）由（１）知：甲经过的方法数为：；乙经过的方法数也为：；所以甲、乙两人相遇经点的方法数为： ＝８１；‎ ‎ 甲、乙两人相遇经点的概率 ‎　（３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；‎ 所以：＝１６４‎ 甲、乙两人相遇的概率 ‎5、(江西省五校2008届高三开学联考)下表为某班英语及数学成绩的分布．学生共有50人，成绩分1~5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人．将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为，数学成绩为。设为随机变量（注：没有相同姓名的学生）‎ ‎ ‎ 数学 ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 英语 ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎（I）的概率为多少？的概率为多少？‎ ‎（II）等于多少？当的期望为时，试确定，的值 .‎ 解：（1）； （2） ‎ ‎ ①； 又 ‎ ‎ ②；‎ 结合①②可得，．‎ ‎10、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．‎ ‎（1）求文娱队的人数；‎ ‎（2）写出的概率分布列并计算．‎ 解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人．‎ ‎ (I)∵，‎ ‎∴．‎ 即 ‎∴．‎ ‎∴x=2． ‎ 故文娱队共有5人．‎ ‎(II) 的概率分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ =．‎ ‎11、(四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．‎ ‎ （Ⅰ）求此公司决定对该项目投资的概率；‎ ‎（Ⅱ）记投票结果中“中立”票的张数为随机变量，求的分布列及数学期望E．‎ 解：(1)此公司决定对该项目投资的概率为 P＝C32()2()＋C33()3＝ ……6分 (2)ξ的取值为0、1、2、3 P(ξ＝0)＝(1－)3＝ P(ξ＝1)＝C31()()2＝ P(ξ＝2)＝C32()2()＝ P(ξ＝3)＝()‎ ‎3＝ ∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ……4分 ∴Eξ＝nP＝3×＝1‎ ‎13、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；‎ ‎ (2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数的分布列和数学期望. 解析：(1)设取球次数为ξ，则 . 所以最多取两次的概率 ……………………4分 (2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为 ……………………8分 (3)设取球次数为η，则 ，则分布列为 η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 取球次数的数学期望为 ‎15、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.‎ ‎（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？‎ ‎（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求与.‎ 解：（Ⅰ）设、两项技术指标达标的概率分别为、‎ 由题意得： …………3分 解得：或，∴. ‎ 即，一个零件经过检测为合格品的概率为. …………6分 ‎（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为 ‎ ………………10分 ‎（Ⅲ）依题意知～B(4,)，， ‎ ‎17、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.‎ ‎ （I）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；‎ ‎ （II）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；‎ ‎ （III）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.‎ 解：（I）记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，‎ ‎ ………………5分 ‎ （II）记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B1，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为………………………………………………………………………………10分 ‎ （III）记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A3，‎ ‎ ‎ ‎18、(北京市东城区2008年高三综合练习一）甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.‎ ‎ （I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；‎ ‎ （II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；‎ ‎ （III）求甲取得比赛胜利的概率.‎ 解：（I）只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：‎ ‎ …………4分 ‎ （II）只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：‎ ‎ …………8分 ‎ （III）甲取得比赛胜利共有三种情形：‎ 若甲胜乙，甲胜丙，则概率为；‎ 若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为；‎ 若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为 所以，甲获胜的概率为 ‎19、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为 ‎ （1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；‎ ‎ （2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ.‎ ‎（1）解：设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有：‎ ‎ ‎ ‎ 所以，抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为 ‎ ………………………………………………6分 ‎ （2）解：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以ξ的分布列为 ‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=‎ ‎20、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.‎ ‎（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；‎ ‎（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.‎ 解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ‎.由于事件A、B相互独立， ‎ ‎ 且 , .………………………………… 3分 ‎ 所以取出的4个球均为黑球的概率为 ‎.……………………………… 4分 ‎（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且, .………………… 7分 ‎ 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为 ‎ . ……………………………… 8分 ‎（Ⅲ）设可能的取值为0,1,2,3.‎ ‎ 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得, ,.‎ ‎ 所以. ………………… 11分 ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ∴ 的数学期望 .‎ ‎22、‎ ‎ （Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；‎ ‎ （Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．‎ 解：（Ⅰ）计事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，‎ 所以……………………………………4分 ‎ （Ⅱ）可取1，2，3，4． ，‎ ‎；…………8分 故ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ …………10分 ‎ 答：的数学期望为 ‎23、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)‎ 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分 . 现从盒内任取3个球.‎ ‎（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；‎ ‎（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.‎ ‎（Ⅰ）解：‎ 记 “取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件， ‎ 则 . ………….. 3分 ‎（Ⅱ）解：‎ 记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，‎ 则 . ………….. 6分 ‎（Ⅲ）解：‎ 可能的取值为. ………….. 7分 ‎， ，‎ ‎， . ………….. 11分 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ………….. 12分 的数学期望. ‎ ‎26、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知暗箱中开始有3个红球，2个白裘。现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中。‎ ‎(1)求第二次取出红球的概率；‎ ‎(2)求第三次取出白球的概率；‎ ‎(3)设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的期望值。‎ 解：设第n次取出白球的概率为Pn，Qn ‎（1）第二次取出红球的概率是 ‎ …………………………………………4分 ‎（2）三次取的过程共有以下情况：‎ 白白白，白红白，红白白，红红白 所以第三次取出白球的概率是 ‎ ‎ ‎ …………………………………8分 ‎（3）连续取球3次，得分的情况共有8种 ‎5+5+5，8+5+5，5+8+5，5+5+8，8+8+5，8+5+8，5+8+8，8+8+8‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎27、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)一纸箱中装有大小相等，但已编有不同号码的白色和黄色乒乓球，其中白色乒乓球有6个，黄色乒乓球有2个。‎ ‎ （Ⅰ）从中任取2个乒乓球，求恰好取得1个黄色乒乓球的概率；‎ ‎ （Ⅱ）每次不放回地抽取一个乒乓球，求第一次取得白色乒乓球时已取出的黄色乒乓球个数ξ的分布列及数学期望Eξ。‎ 解：（Ⅰ）记“任取2个乒乓球，恰好取得1个黄色乒乓球”为事件A，则 ‎ ………………6分 ‎（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2，则 P（ξ=0）=‎ P（ξ=1）=‎ P（ξ=2）=‎ ‎∴第一次取得白色乒乓球时，已取出的黄色乒乓球个数ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎……6分 ‎2‎ P ξ的数学期望 ‎28、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)‎ 甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：‎ ‎（1）乙取胜的概率；‎ ‎（2）比赛进行完七局的概率。‎ ‎（3）记比赛局数为，求的颁列为数学期望.‎ 解（1）乙取胜有两种情况 一是乙连胜四局，其概率 二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，‎ 其概率，‎ 所以乙胜概率为 ‎（2）比赛进行完7局有两种情况。‎ 一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜 其概率 二是乙胜，同（1）中第二种情况，‎ 所以比赛进行完7局的概率为 ‎（3）根据题意，的可能取值为4,5，6,7‎ 所以的分布列为 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎29、(东北三校2008年高三第一次联考)一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。‎ ‎ （1）求拿4次至少得2分的概率；‎ ‎ （2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。‎ 解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则，，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。‎ ‎，， （6分）‎ ‎（2）的可能取值为，则 ‎；；‎ ‎；；；‎ 分布列为 P ‎-4‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎31、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数. ‎ ‎（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；‎ ‎（Ⅱ）求数学期望Eξ；‎ ‎（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.‎ 解：（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（Ⅱ）数学期望为．‎ ‎（Ⅲ）所求的概率为．‎ ‎34、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)一个袋子内装有若干个黑球，个白球，个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取个球，每取得一个黑球得分，每取一个白球得分，每取一个红球得分，已知得分的概率为，用随机变量表示取个球的总得分.‎ ‎ （Ⅰ）求袋子内黑球的个数；‎ ‎ （Ⅱ）求的分布列；‎ ‎ （Ⅲ）求的数学期望.‎ 解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则……………………（2分）‎ 化简得：，解得或（舍去），即有4个黑球………（4分）‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎…………………………………（8分）‎ ‎∴的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎（直接写不扣分）‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎43、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)工序 产品 第一工序 第二工序 甲 ‎0.8‎ ‎0.85‎ 乙 ‎0.75‎ ‎0.8‎ ‎ （表一）‎ 概 率 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.‎ ‎（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 ‎ 果为A级的概率如表一所示，分别求生产 ‎ 出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；‎ ‎（Ⅱ）（理）已知一件产品的利润如表二所示，‎ 用ξ、分别表示一件甲、乙产品的利润，‎ 在等级 产品 一等 二等 甲 ‎5（万元）‎ ‎2.5（万元）‎ 乙 ‎2.5（万元）‎ ‎1.5（万元）‎ ‎ （表二）‎ 利 润 （I）的条件下，求ξ、的分布列及 Eξ、E；‎ ‎（Ⅱ）（文）已知一件产品的利润如表二所示，‎ 求甲、乙产品同时获利2.5万元的概率。‎ ‎（Ⅰ）解：…………6分 ‎（理）（Ⅱ）解：随机变量、的分别列是 ‎5‎ ‎2.5‎ P ‎0.68‎ ‎0.32‎ ‎2.5‎ ‎1.5‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎ …………12分 ‎（文）(1-0.68) 0.6=0.192 …………12分 ‎44、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)食品监管部门要对某品牌食品四项质量指标在进入市场前进行严格的检测，并规定四项指标中只要第四项不合格或其它三项指标中只要有两项不合格，这种品牌的食品就不能上市。巳知每项指标检测是相互独立的。若第四项不合格的概率为，且其它三项指标出现不合格的概率均是 ‎（1）求该品牌的食品能上市的概率；‎ ‎（2）生产厂方规定：若四项指标均合格，每位职工可得质量保证奖1500元；若第一、第二、第三项指标中仅有一项不合格且第四项指标合格，每位职工可得质量保证奖500元；若该品牌的食品不能上市，每位职工将被扣除质量保证金1000元。设随机变量表示某位职工所得质量保证奖金数，求的期望。‎ 解：（1）该品牌的食品能上市的概率等于1减去该品牌的食品不能上市的概率，‎ 即 6分 解法二：该品牌的食品能上市的概率等于四项指标都合格或第一、第二、第三项指标中仅有一项不合格且第四项指标合格的概率，即 ‎（2）；‎ 易知 12分 ‎∴的分布列为：‎ ‎1500‎ ‎500‎ ‎∴的期望为 ‎45、(河北省正定中学高2008届一模)2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为，中国乒乓球女队获得一枚金牌的概率均为 ‎（1）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；‎ ‎（2）记中国乒乓球队获得金牌的数为，按此估计的分布列和数学期望。‎ ‎（1）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件，中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件，那么，‎ ‎==‎ ‎（2）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量，它的所有可能取值为0，1，2，3，4（单位：枚）那么 ‎……………………………………………………(8分)‎ 则概率分布为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎………………………………………………………………………………………(10分)‎ 那么，所获金牌的数学期望（枚）‎ 答：中国乒乓球队获得金牌数的期望为枚。……………………………….(12分)‎ ‎48、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若既使后面投篮全中，也不能达标（如前3次投中0次）则也停止投篮。同学甲投篮命中率为且每次投篮互不影响。‎ ‎ （1）求同学甲测试达标的概率。‎ ‎ （2）设测试中甲投篮次数记，求的分布列及期望E。‎ 解：（1）同学甲测试达标的概率 ‎（2）的取值为3，4，5‎ ‎ ‎ 的分布列 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎51、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为，记，‎ ‎（1）分别求出取得最大值和最小值时的概率；‎ ‎（2）求的分布列及数学期望.‎ 解：（I）函数x可能是1，2，3，4，则x—3分列得 ‎—2，—1，0，1，于是(x－3)2所取的点分别为0，1，4，因此ξ的可能取值为，‎ ‎0，1，2，4，5，8 …………2分 当 当 ‎ （II）由（I）知ξ的所有取值为0，1，2，4，5，8‎ 当 …………8分 即ξ的分布列为 ξE ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ P 故期望Eξ＝ …………12分 ‎52、(湖北省八校高2008第二次联考)高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分.” 某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：‎ ‎（Ⅰ）得50分的概率；‎ ‎（Ⅱ）得多少分的可能性最大；‎ ‎（Ⅲ）所得分数的数学期望．‎ 解：（1）得分为50分，10道题必须全做对.‎ ‎ 在其余的四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道答对的概率为，所以得分为50分的概率为：P＝ ………（3分）‎ ‎ （2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝.‎ ‎ 得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：‎ ‎ 同样可以求得得分为35分的概率为：‎ ‎ 得分为40分的概率为：; 得分为45分的概率为：;‎ ‎ 得分为50分的概率为：‎ ‎ 所以得35分或得40分的可能性最大. ………………（8分）‎ ‎ （3）由（2）可知的分布列为：‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ P ‎ ………（12分）‎ ‎53、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．‎ ‎ （Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；‎ ‎ （Ⅱ）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；‎ ‎ （Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？‎ 解：（Ⅰ）一次摸奖从个球中任选两个，有种，‎ 它们等可能，其中两球不同色有种，………………………2分 一次摸奖中奖的概率．………………………4分 ‎（Ⅱ）若，一次摸奖中奖的概率,………………………6分 三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是 ‎． ………………………8分 ‎（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为 ‎，， ……………………10分 ‎，知在上为增函数，在上为减函数，当时 取得最大值．又,解得．…………12分 答：当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．‎ ‎【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用代替，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将看成一个整体，再求最值．‎ ‎55、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)一个袋子中装有m个红球和n个白球（m>n≥4），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球.‎ ‎（1）若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m必为奇数；‎ ‎（2）若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个颜色不同的概率，求满足m+n≤20的所有数组（m, n）.‎ 解：（1）设“取出两个红球”为事件A，“取出一红一白两个球”为事件B，则 ‎……2分 由题意得 则有，可得……4分 ‎∵，∴m为奇数……6分 ‎（2）设“取出两个白球”为事件C，则……7分 由题意知，即有 可得到，从而m+n为完全平方数……9分 又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20‎ 得到方程组：；‎ 解得：，（不合题意舍去）……11分 故满足条件的数组（m, n）只有一组（10，6）……12分 ‎57、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)春节期间，某鲜花店中某种鲜花的进货价为每束2.5元，销售价为每束5元，若在春节期间内没售完，则在春节期间营业结束后以每束1.5元的价格处理，根据前5年的有关资料统计，春节期间这种鲜花的需求量服从以下分布 ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ P ‎0.20‎ ‎0.35‎ ‎0.30‎ ‎0.15‎ 问该鲜花店今年春节前应进多少束（每次进货数是10的倍数）该鲜花利润最大？‎ ‎58、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为.‎ ‎ （Ⅰ）当时，求及；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的分布列和. ‎ 解：（Ⅰ）当时，～.‎ ‎ 故，. …………6分 ‎（Ⅱ）的可取值为0，1，2，3.‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎. ………………………………10分 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎=0×+1×+2×+3× =1. ……………12分 ‎59、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．‎ ‎（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率P1；‎ ‎（Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率P2；‎ ‎（Ⅲ）求选择甲线路的旅游团数x的分布列与数学期望．‎ 解：（Ⅰ）； …………………3分 ‎ （Ⅱ）； …………………12分 ‎ （Ⅲ）x的取值为0、1、2、3．‎ ‎ ，．‎ ‎ ∴x的分布列为：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ∴Ex=． …………………12分 ‎61、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分， 根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响.若甲第局的得分记为，令 ‎（I）求的概率；‎ ‎（Ⅱ）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛结束，否则，继续进行。设随机变量表示此次比赛共进行的局数，求的分布列及数学期望。‎ 解：（I）S3=5，即前3局甲2胜1平.‎ 由已知甲赢的概率为………………………………2分 得S3=5的概率为 ………………………………5分 ‎（II）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎62、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．‎ ‎ （1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．‎ ‎ ① 求恰好摸5次停止的概率；‎ ‎ ② 记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E.‎ ‎ （2）若A、B两个袋子中的球数之比为1∶2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．‎ 解析：（1）（i）P= …………………3分 ‎ （ii）随机变量的取值为0, 1, 2, 3. ‎ ‎ 由n次独立重复试验概率公式得 ‎ ‎ ‎ … 6分 ‎ 随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望是 ………8分 ‎ （2） 设袋子A有m个球，则袋子B中有‎2m个球. ‎ 由 得 ………………12分 ‎70、(江苏省如东高级中学2008届高三四月份模拟)A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x,y,z≥0，且），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜 ‎ ‎（1）写出A胜的所有基本事件 ‎ ‎（2）用x, y，z表示B胜的概率；‎ ‎（3）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？‎ 解：⑴显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：‎ ‎①A1：“A B均取红球”；②A2：“A B均取白球”；③A3：“A B均取黄球” ‎ ‎⑵‎ ‎（3）由（1）知，‎ 于是 ‎，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为 ‎72、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)某人在水池中养了10条金鱼，其中4条为白色，6条为红色，他每天随机地从水池中取出3条放入水箱中进行观察，观察后又把这3条放回水池中，连续5天的观察。‎ ‎（1）问一天中，他取出两种颜色鱼的概率是多少？‎ ‎（2）设随机变量X是取出两种颜色鱼的天数，求X的概率分布。‎ 解：（1）取出两种鱼有两种可能，即1条白色鱼，2条红色鱼；或.2条白色鱼，1条红色鱼。取出1条白色鱼，2条红色鱼的方法数为；‎ 取出2条白色鱼，1条红色鱼的方法数为。‎ 而从10条鱼中取出3条鱼的方法数为。‎ 故所求的概率为：； 5′‎ ‎（2）‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 可以化简为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎10′‎ ‎73、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)在一次语文测试中，有一道我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者的连线题，已知连对一个得2分，连错一个不得分.‎ ‎ （Ⅰ）求该同学得分的分布列；‎ ‎　 （Ⅱ）求该同学得分的数学期望.‎ 解：（I）设该同学连对线的个数为y，得分为ξ,则y=0，1，2，4‎ ‎ ∴ξ=0，2，4，8……………1分 ‎ ……………3分 ‎ ……………5分 ‎ ……………7分 ‎ …………………9分 ‎ 则ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ P ‎ ……………………10分 ‎（II）Eξ=0×+2×+4×+8×=2‎ ‎ 答：该人得分的期望为2分…………………12分 ‎75、(山东省济南市2008年2月高三统考)甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为l，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X，当可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．‎ ‎（1）求线路信息通畅的概率；‎ ‎（2）求线路可通过的信息量X的分布列；‎ ‎（3）求线路可通过的信息量X的数学期望．‎ 解：（1）‎ ‎ 3分 所以线路信息通畅的概率为 5分 ‎（2）‎ X的分布列为 X ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9分 ‎（3）由分布列知 12分