- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高考数学平面向量题的七种解法
高考数学平面向量题的七种解法 玉林高中 刘飞 一、 基底法 例1.(2013·江苏) 设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________. 【答案】 [解析] 如图所示,=-=-=(-)+=+, 又=λ1+λ2,且与不共线,所以λ1=-,λ2=, 即λ1+λ2=. 例2.(2013·天津) 在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为________. 【答案】 www.21cnjy.com [解析] 由题意得=-=+-=-,=+,所以·=(+)=2-2+·=1-2+||×1×=1,解得||=或0(舍去). 例3.(2007•天津)如图,在中,,是边上一点,,则 . 法一:选定基向量,,由图及题意得,= ∴=()()=+== 法二:由题意可得 ∴, ∵, ∴=. 故答案为:﹣. 一、 坐标法 例4.(2013•重庆)在平面上,,=1,.若||<,则||的取值范围是( ) A. (0,] B. (,] C. (,] D. (,] 解:根据条件知A,B1,P,B2构成一个矩形A,B1PB2,以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系,设|AB1|=a,|AB2|=b,点O的坐标为(x,y),则点P的坐标为(a,b), 由=1,得,则 ∵||<,∴ ∴ ∴ ∵(x﹣a)2+y2=1,∴x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2,∴y2≤1 同理x2≤1 ∴x2+y2≤2② 由①②知, ∵||=,∴<||≤ 故选D. 例5.(2013•浙江)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则( ) A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90° C. AB=AC D. AC=BC 解:以AB所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设AB=4,C(a,b),P(x,0) 则BP0=1,A(﹣2,0),B(2,0),P0(1,0) ∴=(1,0),=(2﹣x,0),=(a﹣x,b),=(a﹣1,b) ∵恒有 ∴(2﹣x)(a﹣x)≥a﹣1恒成立 整理可得x2﹣(a+2)x+a+1≥0恒成立 ∴△=(a+2)2﹣4(a+1)≤0 即△=a2≤0 ∴a=0,即C在AB的垂直平分线上 ∴AC=BC 故△ABC为等腰三角形 故选D 本题主要考查了平面向量的运算,向量的模及向量的数量积的概念,向量运算的几何意义的应用,还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力 一、 模方法 例6.△ABC内接于以O为圆心的圆,且.则∠C= 135 °,cosA= . 解:∵ ∴ ∴= ∵A,B,C在圆上 设OA=OB=OC=1 ∴ 根据 得出A,B,C三点在圆心的同一侧 ∴根据圆周角定理知∠C=180°﹣90°=135° 同理求出=, cos∠BOC= ∵∠A是∠BOC的一半 ∴ 故答案为:135°; 例7.(2013•浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于 2 . 解:∵、 为单位向量,和的夹角等于30°,∴=1×1×cos30°=. ∵非零向量=x+y,∴||===, ∴====, 故当=﹣时,取得最大值为2, 故答案为 2. 一、 数量积法 例8.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为. 如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动. 若其中,则 的最大值是________. [解析]设 ,即 ∴ 例9.在△ABC中,AB=2AC=2,∠BAC=120°,,若 (O是△ABC的外心),则x1+x2的值为 . 解答: 解:如图:以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角系:则A(0,0),B (2,0),C(﹣,). ∵O为△ABC的外心,∴O在AB的中垂线 m:x=1 上,又在AC的中垂线 n 上, AC的中点(﹣,),AC的斜率为﹣3,∴中垂线n的方程为 y﹣=(x+). 把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O(1,),由条件 =, 得(1, )=x1 (2,0)+x2 (﹣,)=(2x1﹣x2, x2 ), ∴2x1﹣x2=1, x2=,∴x1 =,x2 =,∴x1+x2=, 故答案为:. 点评: 本题考查求两条直线的交点坐标的方法,三角形外心的性质,向量的坐标表示及向量相等的条件,待定系数法求参数值.属中档题. 一、 几何法 例10.在△ABC中,若对任意k∈R,有|﹣k|≥||,则△ABC的形状是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 解:如图:设 =k,则 ﹣k =,不等式即||≥||, ∴||是点A与直线BC上的点连线得到的线段中,长度最小的一条,故有AC⊥BC, 故则△ABC为 直角三角形, 故选A. 本题考查向量和、差的模的几何意义,体现了等价转化的数学思想,把题中条件转化为AC⊥BC. 例11.(2013•湖南)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 解:令,,, 如图所示:则, 又,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上, 易知点C与O、D共线时达到最值,最大值为+1,最小值为﹣1, 所以的取值范围为[﹣1,+1]. 故选A. 例12.图3 2005年全国(I)卷第15题“的外接圆的圆心为,两条边上的高的交点为,,则实数=________” 先解决该题: 作直经,连,,有,,,,,故, 故是平行四边形,进而,又 ∴ 故,所以 评注:外心的向量表示可以完善为: 若为的外心,为垂心,则。其逆命题也成立。 一、 面积法 结论:. O为△ABC内一点,记,求证: 证明:如图4建立坐标系。 设 则, 从而 由于故 所以 例13.(2007•南通模拟)已知O是△ABC内一点,,则△AOB与△AOC的面积的比值为 . 解:设M为AC的中点,则由向量加法的平行四边形法则可得 由可得,从而可得B,O,M三点共线 即BM为AC边上的中线 由2OM=3BO可得, ∴S△AOB=S△COB= ∴ 故答案为: 本题主要考查了平面向量的加法的平行四边形的应用,向量的共线与点共线的相互转化,解题的关键是要发现由2OM=3BO可得,及三角形AOB与三角形BOC的面积相等 一、 射影法 例14.已知P为△ABC的外心,且||=4,||=2,则•等于 6 . 解:•=•(﹣) 作PD⊥AC于D,则 ∵P为△ABC的外心,∴=, 可得•=||•||cos∠PAD=||•||=||2=8 同理可得•=||2=2 ∴•(﹣)=•﹣•=8﹣2=6 故答案为:6 本题在三角形中给出外心,求向量数量积的式子.着重考查了三角形的外心的性质、向量数量积的定义与运算性质等知识,属于中档题. 例15.(2013•绵阳模拟)已知O为△ABC的外心,的最大值为( ) A. B. C. D. 法一、 法二、 解:如图所示,以BC边所在直线为x轴,BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 (D为BC边的中点). 由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD=∠BAC. 由,不妨设外接圆的半径R=3.则OA=OB=OC=3. ∵,∴OD=1.. ∴B,C,O(0,1),A(m,n). 则△ABC外接圆的方程为:x2+(y﹣1)2=9.(*) ∵, ∴(﹣m,1﹣n)=, ∴, ∵α+β≠1时,否则,由图可知是不可能的. ∴可化为,代入(*)可得, 化为18(α+β)=9+32αβ, 利用重要不等式可得, 化为8(α+β)2﹣18(α+β)+9≥0, 解得或. 又α+β<1,故应舍去. ∴, 故α+β的最大值为. 故选D. 点评: 本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、 一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法, 属于难题.查看更多