高考数学平面向量题的七种解法

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高考数学平面向量题的七种解法

高考数学平面向量题的七种解法 玉林高中 刘飞 一、 基底法 例1.(2013·江苏) 设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎[解析] 如图所示,=-=-=(-)+=+,‎ 又=λ1+λ2,且与不共线,所以λ1=-,λ2=,‎ 即λ1+λ2=.‎ 例2.(2013·天津) 在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为________.‎ ‎【答案】  www.21cnjy.com ‎[解析] 由题意得=-=+-=-,=+,所以·=(+)=2-2+·=1-2+||×1×=1,解得||=或0(舍去).‎ 例3.(2007•天津)如图,在中,,是边上一点,,则     .‎ 法一:选定基向量,,由图及题意得,=‎ ‎∴=()()=+==‎ 法二:由题意可得 ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴=.‎ 故答案为:﹣.‎ 一、 坐标法 例4.(2013•重庆)在平面上,,=1,.若||<,则||的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(0,]‎ B.‎ ‎(,]‎ C.‎ ‎(,]‎ D.‎ ‎(,]‎ 解:根据条件知A,B1,P,B2构成一个矩形A,B1PB2,以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系,设|AB1|=a,|AB2|=b,点O的坐标为(x,y),则点P的坐标为(a,b),‎ 由=1,得,则 ‎∵||<,∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵(x﹣a)2+y2=1,∴x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2,∴y2≤1‎ 同理x2≤1‎ ‎∴x2+y2≤2②‎ 由①②知,‎ ‎∵||=,∴<||≤‎ 故选D.‎ 例5.(2013•浙江)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎∠ABC=90°‎ B.‎ ‎∠BAC=90°‎ C.‎ AB=AC D.‎ AC=BC 解:以AB所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设AB=4,C(a,b),P(x,0)‎ 则BP0=1,A(﹣2,0),B(2,0),P0(1,0)‎ ‎∴=(1,0),=(2﹣x,0),=(a﹣x,b),=(a﹣1,b)‎ ‎∵恒有 ‎∴(2﹣x)(a﹣x)≥a﹣1恒成立 整理可得x2﹣(a+2)x+a+1≥0恒成立 ‎∴△=(a+2)2﹣4(a+1)≤0‎ 即△=a2≤0‎ ‎∴a=0,即C在AB的垂直平分线上 ‎∴AC=BC 故△ABC为等腰三角形 故选D 本题主要考查了平面向量的运算,向量的模及向量的数量积的概念,向量运算的几何意义的应用,还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力 一、 模方法 例6.△ABC内接于以O为圆心的圆,且.则∠C= 135 °,cosA=  .‎ 解:∵‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎∵A,B,C在圆上 设OA=OB=OC=1‎ ‎∴‎ 根据 得出A,B,C三点在圆心的同一侧 ‎∴根据圆周角定理知∠C=180°﹣90°=135°‎ 同理求出=,‎ cos∠BOC=‎ ‎∵∠A是∠BOC的一半 ‎∴‎ 故答案为:135°;‎ 例7.(2013•浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于 2 .‎ 解:∵、 为单位向量,和的夹角等于30°,∴=1×1×cos30°=.‎ ‎∵非零向量=x+y,∴||===,‎ ‎∴====,‎ 故当=﹣时,取得最大值为2,‎ 故答案为 2.‎ 一、 数量积法 例8.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.‎ 如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.‎ 若其中,则 的最大值是________.‎ ‎[解析]设 ‎ ‎,即 ‎∴‎ 例9.在△ABC中,AB=2AC=2,∠BAC=120°,,若 ‎(O是△ABC的外心),则x1+x2的值为  .‎ 解答:‎ 解:如图:以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角系:则A(0,0),B (2,0),C(﹣,).‎ ‎∵O为△ABC的外心,∴O在AB的中垂线 m:x=1 上,又在AC的中垂线 n 上,‎ AC的中点(﹣,),AC的斜率为﹣3,∴中垂线n的方程为 y﹣=(x+).‎ 把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O(1,),由条件 =,‎ 得(1, )=x1 (2,0)+x2 (﹣,)=(2x1﹣x2, x2 ),‎ ‎∴2x1﹣x2=1, x2=,∴x1 =,x2 =,∴x1+x2=,‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查求两条直线的交点坐标的方法,三角形外心的性质,向量的坐标表示及向量相等的条件,待定系数法求参数值.属中档题.‎ 一、 几何法 例10.在△ABC中,若对任意k∈R,有|﹣k|≥||,则△ABC的形状是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 直角三角形 B.‎ 等腰三角形 ‎ ‎ C.‎ 等腰三角形或直角三角形 D.‎ 等腰直角三角形 解:如图:设 =k,则 ﹣k =,不等式即||≥||,‎ ‎∴||是点A与直线BC上的点连线得到的线段中,长度最小的一条,故有AC⊥BC,‎ 故则△ABC为 直角三角形,‎ 故选A.‎ 本题考查向量和、差的模的几何意义,体现了等价转化的数学思想,把题中条件转化为AC⊥BC.‎ 例11.(2013•湖南)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解:令,,,‎ 如图所示:则,‎ 又,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,‎ 易知点C与O、D共线时达到最值,最大值为+1,最小值为﹣1,‎ 所以的取值范围为[﹣1,+1].‎ 故选A.‎ 例12.图3‎ 2005年全国(I)卷第15题“的外接圆的圆心为,两条边上的高的交点为,,则实数=________”‎ 先解决该题:‎ 作直经,连,,有,,,,,故,‎ 故是平行四边形,进而,又 ‎∴‎ 故,所以 评注:外心的向量表示可以完善为:‎ 若为的外心,为垂心,则。其逆命题也成立。‎ 一、 面积法 结论:. O为△ABC内一点,记,求证: ‎ 证明:如图4建立坐标系。‎ 设 则,‎ 从而 由于故 所以 例13.(2007•南通模拟)已知O是△ABC内一点,,则△AOB与△AOC的面积的比值为  .‎ 解:设M为AC的中点,则由向量加法的平行四边形法则可得 由可得,从而可得B,O,M三点共线 即BM为AC边上的中线 由2OM=3BO可得,‎ ‎∴S△AOB=S△COB=‎ ‎∴‎ 故答案为:‎ 本题主要考查了平面向量的加法的平行四边形的应用,向量的共线与点共线的相互转化,解题的关键是要发现由2OM=3BO可得,及三角形AOB与三角形BOC的面积相等 一、 射影法 例14.已知P为△ABC的外心,且||=4,||=2,则•等于 6 .‎ 解:•=•(﹣)‎ 作PD⊥AC于D,则 ‎∵P为△ABC的外心,∴=,‎ 可得•=||•||cos∠PAD=||•||=||2=8‎ 同理可得•=||2=2‎ ‎∴•(﹣)=•﹣•=8﹣2=6‎ 故答案为:6‎ 本题在三角形中给出外心,求向量数量积的式子.着重考查了三角形的外心的性质、向量数量积的定义与运算性质等知识,属于中档题.‎ 例15.(2013•绵阳模拟)已知O为△ABC的外心,的最大值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 法一、‎ 法二、‎ 解:如图所示,以BC边所在直线为x轴,BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 ‎(D为BC边的中点).‎ 由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD=∠BAC.‎ 由,不妨设外接圆的半径R=3.则OA=OB=OC=3.‎ ‎∵,∴OD=1..‎ ‎∴B,C,O(0,1),A(m,n).‎ 则△ABC外接圆的方程为:x2+(y﹣1)2=9.(*)‎ ‎∵,‎ ‎∴(﹣m,1﹣n)=,‎ ‎∴,‎ ‎∵α+β≠1时,否则,由图可知是不可能的.‎ ‎∴可化为,代入(*)可得,‎ 化为18(α+β)=9+32αβ,‎ 利用重要不等式可得,‎ 化为8(α+β)2﹣18(α+β)+9≥0,‎ 解得或.‎ 又α+β<1,故应舍去.‎ ‎∴,‎ 故α+β的最大值为.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、‎ 一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法,‎ 属于难题.‎
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