高考二次函数综合题练习

高考二次函数综合题练习

二次函数综合题 一、解答题（题型注释）‎ ‎1．（2014•七里河区校级三模）已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，‎ ‎（1）求f（x）的表达式；‎ ‎（2）若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎2．已知函数．‎ ‎（1）视讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若，对于，不等式都成立，求实数的取值范围．‎ ‎3．（本小题满分10分）函数f（x）＝4x2－4ax＋a2－‎2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．‎ ‎4．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围.‎ ‎5．已知函数.‎ ‎(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；‎ ‎(2)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围.‎ ‎6．（本小题满分12分）已知二次函数满足，且．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若函数的最小值为，求实数的值；‎ ‎（3）若对任意互不相同的，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎7．已知二次函数+的图象通过原点，对称轴为，．是的导函数，且 ．‎ ‎（1）求的表达式（含有字母）；‎ ‎（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；‎ ‎（3）在（2）条件下，若，，是否存在自然数，使得当时恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，说明理由．‎ ‎8．设函数，，为常数 ‎（1）求的最小值的解析式;‎ ‎（2）在（1）中，是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎9．设函数(为实常数)为奇函数，函数().‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求在上的最大值；‎ ‎(3)当时，对所有的及恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎10．已知二次函数集合 ‎（1）若求函数的解析式；‎ ‎（2）若,且设在区间上的最大值、最小值分别为，记，求的最小值.‎ ‎11．已知函数＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－‎2m．‎ ‎(Ⅰ)若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)若函数y＝f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7－2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q－p）．‎ ‎12．已知函数f(x)=，其中 ‎（I）若b>‎2a,且 f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；‎ ‎（II）若对任意实数x，不等式恒成立,且存在成立，求c的值。‎ 参考答案 ‎1．（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据函数类型设出函数的解析式，然后根据f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，建立两个等式关系，解之即可；‎ ‎（2）要使f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，只需研究函数f（x）在闭区间[﹣1，1]上的最小值即可，利用配方法结合二次函数的性质即可求出f（x）的最小值．‎ 解：（1）设f（x）=ax2+bx+c∵f（0）=0∴c=0‎ ‎∴f（x）=ax2+bxf（x）+x+1=ax2+（b+1）x+1f（x+1）‎ ‎=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）‎ ‎=f（x）+x+1∴ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1‎ ‎∴∴‎ ‎（2）f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立 ‎∴x＞a在x∈[﹣1，1]恒成立 ‎∴在x∈[﹣1，1]恒成立．‎ ‎∴‎ 考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．‎ ‎2．（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）对的取值分类讨论，再对的取值分类讨论，将的绝对值号去掉，利用二次函数的性质即可求解；（2）问题等价于求使得恒成立的的取值范围，利用二次函数的性质再将问题等价转化为最值问题即可求解．‎ 试题解析：（1），当时，的单调增区间为，，单调减区间为，当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，，单调减区间为；（2）设，‎ 时，∵，∴，‎ 时，∵，，∴，‎ 故只须，使得：成立，即，∴；‎ 另解：设，，‎ 只须，对都成立，则只须，对都成立，‎ 再设，只须，易求得．‎ 考点：1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想．‎ ‎3．a＝1－或a＝5＋‎ ‎【解析】‎ 试题分析：确定二次函数的最值，首先要确定其在定义域上的单调性，本题中二次函数对称轴为，因此首先讨论对称轴位置的三种情况：≤0，0<<2，≥2，从而确定其单调性，将最值转化为用a表示的关系式，求解a值 试题解析：∵f（x）＝4（x－）2－‎2a＋2，‎ ‎①当≤0，即a≤0时，函数f（x）在[0,2]上是增函数．‎ ‎∴f（x）min＝f（0）＝a2－‎2a＋2．‎ 由a2－‎2a＋2＝3，得a＝1±．‎ ‎∵a≤0，∴a＝1－．‎ ‎②当0<<2，即0‎2a>0, ‎ ‎ (7分)‎ ‎(2) ‎ 不存在 ‎ 当a=1时，c=1,‎ 此时存在x0,使