高考文科数学第一轮复习测试题30

高考文科数学第一轮复习测试题30

活页限时训练 命题要点：(1)三角函数的图象的变换(′11年2考，′10年2考)；(2)已知三角函数图象求解析式(′11年3考，′10年2考)；(3)三角函数图象与性质的综合应用(′11年7考，′10年6考).‎ A级 ‎ (时间：40分钟　满分：60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．若将某正弦函数的图象向右平移以后，所得到的图象的函数式是y＝sin，则原来的函数表达式为(　　)．‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin－ 解析　y＝sin＝sin.‎ 答案　A ‎2．(2011·新课标全国)设函数f(x)＝sin＋cos，则(　　)．‎ A．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称 B．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称 C．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称 D．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称 解析　因为y＝sin＋cos＝sin ‎＝cos 2x，所以y＝cos 2x在单调递减，对称轴为2x＝kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)，当k＝1时，x＝.‎ 答案　D ‎3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)．‎ A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 解析　由T＝＝π，∴ω＝2.由f(0)＝⇒2sin φ＝，‎ ‎∴sin φ＝，又|φ|＜，∴φ＝.‎ 答案　D ‎4．(2012·龙岩模拟)将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是(　　)．‎ A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x 解析　运用逆变换方法：作y＝1－2sin2x＝cos 2x的图象关于x轴的对称图象得y＝－cos 2x＝－sin 2的图象，再向左平移个单位得y＝f(x)·sin x＝－sin 2＝sin 2x＝2sin xcos x的图象．∴f(x)＝2cos x.‎ 答案　D ‎5．(2011·辽宁)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝(　　)．‎ A．2＋ B. C. D．2－ 解析　由题中的图象可知：T＝2＝，∴ω＝2，‎ ‎∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|＜，∴φ＝.‎ 又f(0)＝1，∴Atan＝1，得A＝1，‎ ‎∴f(x)＝tan，‎ ‎∴f＝tan＝tan＝.‎ 答案　B 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．将函数y＝sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．‎ 解析　y＝sin向右平移个单位得：‎ y＝sin＝sin，再向上平移2个单位得y＝sin＋2.‎ 答案　y＝sin＋2‎ ‎7．(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．‎ 解析　由题图可知A＝，＝－＝，∴T＝π.‎ 又＝T，∴ω＝＝2.‎ 根据函数图象的对应关系得2×＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，令k＝0得 φ＝，则f(x)＝sin，‎ ‎∴f(0)＝sin＝.‎ 答案　 ‎8．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．‎ 解析　∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范围为.‎ 答案　 三、解答题(共23分)‎ ‎9．(11分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，试写出变换过程．‎ 解　(1)由图象知A＝2.‎ f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2.‎ 将点代入f(x)的解析式，得sin＝1.‎ 又|φ|＜，∴φ＝.‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎10．(★)(12分)(2011·深圳一调)已知函数f(x)＝2·sincos－sin(x＋π)．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin x＝cos x＋sin x＝2＝2sin，‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f＝2sin＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，‎ ‎∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.‎ 当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.‎ B级 ‎(时间：30分钟　满分：40分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2011·天津)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　)．‎ A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 解析　∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单调增函数．‎ 答案　A ‎2．(2011·全国)设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)．‎ A. B．‎3 ‎‎ C．6 D．9‎ 解析　依题意得，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的是f ‎＝cos ω＝cos 的图象，故有cos ωx＝cos，而cos ωx＝cos(k∈Z)，故ωx－＝2kπ(k∈Z)，‎ 即ω＝6k(k∈Z)，∵ω＞0，因此ω的最小值是6.‎ 答案　C 二、填空题(每小题4分，共8分)‎ ‎3．(2011·福州模拟)在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝时有最大值，当x＝时有最小值－，若φ∈，则函数解析式f(x)＝________.‎ 解析　首先易知A＝，由于x＝时f(x)有最大值，当x＝时f(x)有最小值－，所以T＝×2＝，ω＝3.又sin＝，φ∈，解得φ＝，故f(x)＝sin.‎ 答案　sin ‎4．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：‎ ‎①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．‎ 以上正确结论的编号为________．‎ 解析　∵y＝sin(ωx＋φ)最小正周期为π，‎ ‎∴ω＝＝2，又其图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋，k∈Z.‎ 由φ∈，得φ＝，∴y＝sin.‎ 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．‎ ‎∴y＝sin关于点对称．故②正确．‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ ‎∴函数y＝sin的单调递增区间为 (k∈Z)．‎ ‎∵(k∈Z)．∴④正确．‎ 答案　②④‎ 三、解答题(共22分)‎ ‎5．(10分)(2011·潍坊质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)设g(x)＝2，求函数g(x)在x∈上的最大值，并确定此时x的值．‎ 解　(1)由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝.‎ 又f＝2sin ‎＝2sin＝0，‎ ‎∴sin＝0，∵0＜φ＜，∴－＜φ－＜，‎ ‎∴φ－＝0，即φ＝，‎ ‎∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)由(1)可得f＝2sin ‎＝2sin，‎ ‎∴g(x)＝2＝4× ‎＝2－2cos，‎ ‎∵x∈，∴－≤3x＋≤，‎ ‎∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.‎ ‎6．(12分)(2012·华东师大附中模拟)已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π，又因为当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤，又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.‎