2015年湖北省高考数学试卷(文科)

2015年湖北省高考数学试卷(文科)

2015 年湖北省高考数学试卷（文科） 　 一、选择题：本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（3 分）（2015•湖北）i 为虚数单位，i607=（　　） A．﹣i B．iC．1 D．﹣1 2．（3 分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮， 有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内 夹谷约为（　　） A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石 3．（3 分）（2015•湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　） A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1 C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1 4．（3 分）（2015•湖北）已知变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1，变量 y 与 z 正相关，下列结 论中正确的是（　　） A．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关 B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关 C．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关 D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关 5．（3 分）（2015•湖北）l1，l2 表示空间中的两条直线，若 p：l1，l2 是异面直线，q：l1，l2 不相交，则（　　） A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C．p 是 q 的充分必要条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 6．（3 分）（2015•湖北）函数 f（x）= 的定义域为（　　） A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6] 7．（3 分）（2015•湖北）设 x∈R，定义符号函数 sgnx= ，则（　　） A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx 8．（3 分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率， P2 为事件“xy≤ ”的概率，则（　　） A．p1＜p2＜ B． C．p2＜ D． 9．（3 分）（2015•湖北）将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b（a≠b）同 时增加 m（m＞0）个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则（　　） A．对任意的 a，b，e1＞e2 B．当 a＞b 时，e1＞e2；当 a＜b 时，e1＜e2 C．对任意的 a，b，e1＜e2 D．当 a＞b 时，e1＜e2；当 a＜b 时，e1＞e2 10．（3 分）（2015•湖北）已知集合 A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤ 2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合 A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}， 则 A⊕B 中元素的个数为（　　） A．77 B．49 C．45 D．30 　 二、填空题 11．（3 分）（2015•湖北）已知向量 ⊥ ，| |=3，则 • =　　　　　　． 12．（3 分）（2015•湖北）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 3x+y 的最大值 为　　　　　　． 13．（3 分）（2015•湖北）函数 的零点个数 为　　　　　　． 14．（3 分）（2015•湖北）某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行 统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示． （1）直方图中的 a=　　　　　　． （2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为　　　　　　． 15．（3 分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD=　　　　　　m． 16．（3 分）（2015•湖北）如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T（1，0），与 y 轴正半轴交于两 点 A，B（B 在 A 的上方），且|AB|=2． （1）圆 C 的标准方程为　　　　　　． （2）圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为　　　　　　． 17．（3 分）（2015•湖北）a 为实数，函数 f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为 g （a）．当 a=　　　　　　时，g（a）的值最小． 　 三、解答题 18．（12 分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数 f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜ ）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表： wx+φ 0 π 2π x Asin（wx+φ） 0 5 ﹣5 0 （1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式； （2）将 y=f（x）图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y=g（x）图象，求 y=g（x） 的图象离原点 O 最近的对称中心． 19．（12 分）（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公 比为 q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）当 d＞1 时，记 cn= ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 20．（13 分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马 P﹣ABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，且 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，连接 DE、BD、 BE． （Ⅰ）证明：DE⊥平面 PBC．试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直 角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马 P﹣ABCD 的体积为 V1，四面体 EBCD 的体积为 V2，求 的值． 21．（14 分）（2015•湖北）设函数 f（x），g（x）的定义域均为 R，且 f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中 e 为自然对数的底数． （1）求 f（x），g（x）的解析式，并证明：当 x＞0 时，f（x）＞0，g（x）＞1； （2）设 a≤0，b≥1，证明：当 x＞0 时，ag（x）+（1﹣a）＜ ＜bg（x）+（1﹣b）． 22．（14 分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图 1 所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1，MN=3，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖 画出的椭圆记为 C，以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标 系． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动直线 l 与两定直线 l1：x﹣2y=0 和 l2：x+2y=0 分别交于 P，Q 两点．若直线 l 总与 椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最 小值；若不存在，说明理由． 　 2015 年湖北省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（3 分）（2015•湖北）i 为虚数单位，i607=（　　） A．﹣i B．iC．1 D．﹣1 【分析】直接利用虚数单位 i 的运算性质得答案． 【解答】解：i607=i606•i=（i2）303•i=（﹣1）303•i=﹣i． 故选：A． 【点评】本题考查了虚数单位 i 的运算性质，是基础的计算题． 　 2．（3 分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮， 有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内 夹谷约为（　　） A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石 【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论． 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 1534× ≈169 石， 故选：B． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． 　 3．（3 分）（2015•湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　） A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1 C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 　 4．（3 分）（2015•湖北）已知变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1，变量 y 与 z 正相关，下列结 论中正确的是（　　） A．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关 B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关 C．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关 D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关 【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由 y 与 z 正相关，设 y=kz，k＞0， 得到 x 与 z 的相关性． 【解答】解：因为变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以 x 与 y 负 相关； 变量 y 与 z 正相关，设，y=kz，（k＞0），所以 kz=﹣0.1x+1，得到 z= ，一次项 系数小于 0，所以 z 与 x 负相关； 故选：A． 【点评】本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应 是解题的关键． 　 5．（3 分）（2015•湖北）l1，l2 表示空间中的两条直线，若 p：l1，l2 是异面直线，q：l1，l2 不相交，则（　　） A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C．p 是 q 的充分必要条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可． 【解答】解：若 l1，l2 是异面直线，则 l1，l2 不相交，即充分性成立， 若 l1，l2 不相交，则 l1，l2 可能是平行或异面直线，即必要性不成立， 故 p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的 关键． 　 6．（3 分）（2015•湖北）函数 f（x）= 的定义域为（　　） A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6] 【分析】根据函数成立的条件进行求解即可． 【解答】解：要使函数有意义，则 ， 即 ， ＞0 等价为① 即 ，即 x＞3， ② ，即 ，此时 2＜x＜3， 即 2＜x＜3 或 x＞3， ∵﹣4≤x≤4， ∴解得 3＜x≤4 且 2＜x＜3， 即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]， 故选：C 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 　 7．（3 分）（2015•湖北）设 x∈R，定义符号函数 sgnx= ，则（　　） A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx 【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可． 【解答】解：对于选项 A，右边=x|sgnx|= ，而左边=|x|= ，显 然不正确； 对于选项 B，右边=xsgn|x|= ，而左边=|x|= ，显然不正确； 对于选项 C，右边=|x|sgnx= ，而左边=|x|= ，显然不正确； 对于选项 D，右边=xsgnx= ，而左边=|x|= ，显然正确； 故选：D． 【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法 的积累，属于中档题． 　 8．（3 分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率， P2 为事件“xy≤ ”的概率，则（　　） A．p1＜p2＜ B． C．p2＜ D． 【分析】分别求出事件“x+y≤ ”和事件“xy≤ ”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型 公式求出概率，比较大小． 【解答】解：由题意，事件“x+y≤ ”表示的区域如图阴影三角形， p1= ； 满足事件“xy≤ ”的区域如图阴影部分 所以 p2= = = ＞ ； 所以 ； 故选：B． 【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利用几何概型 公式解答． 　 9．（3 分）（2015•湖北）将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b（a≠b）同 时增加 m（m＞0）个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则（　　） A．对任意的 a，b，e1＞e2 B．当 a＞b 时，e1＞e2；当 a＜b 时，e1＜e2 C．对任意的 a，b，e1＜e2 D．当 a＞b 时，e1＜e2；当 a＜b 时，e1＞e2 【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论． 【解答】解：由题意，双曲线 C1：c2=a2+b2，e1= ； 双曲线 C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2= ， ∴ = ﹣ = ， ∴当 a＞b 时，e1＜e2；当 a＜b 时，e1＞e2， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 10．（3 分）（2015•湖北）已知集合 A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤ 2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合 A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}， 则 A⊕B 中元素的个数为（　　） A．77 B．49 C．45 D．30 【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0）， （0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2） （2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0）， （﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根 据定义可求 【解答】解：解法一： ∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0）， B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0， ﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1）， （2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2）， （﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）} ∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}， ∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1， ﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1， ﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1）， （﹣2，2）， （﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3）， （0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3）， （﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共 45 个元素； 解法二： 因为集合 A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合 A 中有 5 个元素，即图中圆中的整 点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有 5×5=25 个元素，即图中正方形 ABCD 中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形 A1B1C1D1 中的整点（除去四个顶点），即 7×7﹣4=45 个． 故选：C． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的 元素． 　 二、填空题 11．（3 分）（2015•湖北）已知向量 ⊥ ，| |=3，则 • =　9　． 【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案． 【解答】解：由 ⊥ ，得 • =0，即 •（ ）=0， ∵| |=3， ∴ ． 故答案为：9． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题． 　 12．（3 分）（2015•湖北）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 3x+y 的最大值为　10　． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y，得 y=﹣3x+z， 平移直线 y=﹣3x+z，由图象可知当直线 y=﹣3x+z，经过点 C 时，直线 y=﹣3x+z 的截距最 大， 此时 z 最大． 由 得 ．即 C（3，1）， 此时 z 的最大值为 z=3×3+1=10， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 13．（3 分）（2015•湖北）函数 的零点个数为　2　． 【分析】将函数进行化简，由 f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可． 【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2， 由 f（x）=0 得 sin2x=x2， 作出函数 y=sin2x 和 y=x2 的图象如图： 由图象可知，两个函数的图象有 2 个不同的交点， 即函数 f（x）的零点个数为 2 个， 故答案为：2 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图 象的交点问题是解决本题的关键． 　 14．（3 分）（2015•湖北）某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行 统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示． （1）直方图中的 a=　3　． （2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为　6000　． 【分析】（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为 1，算出 a 的值； （2）先求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数． 【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得 a=3 （2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000 故答案为：（1）3 （2）6000 【点评】本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率×样本容量， 属于基础题． 　 15．（3 分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD=　100 　m． 【分析】设此山高 h（m），在△BCD 中，利用仰角的正切表示出 BC，进而在△ABC 中利 用正弦定理求得 h． 【解答】解：设此山高 h（m），则 BC= h， 在△ABC 中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600． 根据正弦定理得 = ， 解得 h=100 （m） 故答案为：100 ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个 主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式 求解． 　 16．（3 分）（2015•湖北）如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T（1，0），与 y 轴正半轴交于两 点 A，B（B 在 A 的上方），且|AB|=2． （1）圆 C 的标准方程为　（x﹣1）2+（y﹣ ）2=2　． （2）圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为　﹣1﹣ 　． 【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆 C 的标准方程； （2）求出圆 C 在点 B 处切线方程，令 y=0 可得圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距． 【解答】解：（1）由题意，圆的半径为 = ，圆心坐标为（1， ）， ∴圆 C 的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣ ）2=2； （2）由（1）知，B（0，1+ ）， ∴圆 C 在点 B 处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+ ﹣ ）（y﹣ ）=2， 令 y=0 可得 x=﹣1﹣ ． 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣ ）2=2；﹣1﹣ ． 【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档 题． 　 17．（3 分）（2015•湖北）a 为实数，函数 f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为 g （a）．当 a=　2 ﹣2　时，g（a）的值最小． 【分析】通过分 a≤0、0＜a≤2 ﹣2、a＞2 ﹣2 三种情况去函数 f（x）表达式中绝对值 符号，利用函数的单调性即得结论． 【解答】解：对函数 f（x）=|x2﹣ax|=|（x﹣ ）2﹣ |分下面几种情况讨论： ①当 a≤0 时，f（x）=x2﹣ax 在区间[0，1]上单调递增， ∴f（x）max=g（1）=1﹣a； ②当 0＜a≤2 ﹣2 时， = = ，f（1）=1﹣a， ∵ ﹣（1﹣a）= ﹣2＜0， ∴f（x）max=g（1）=1﹣a； ③当 2 ﹣2＜a≤1 时，f（x）max=g（a）= ； 综上所述，g（a）= ， ∴g（a）在（﹣∞， ]上单调递减，在[ ，+∞）上单调递增， ∴g（a）min=g（ ）； ④当 1＜a＜2 时，g（a）=f（ ）= ； ⑤当 a≥2 时，g（a）=f（1）=a﹣1； 综上，当 a= 时，g（a）min=3﹣2 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难 题． 　 三、解答题 18．（12 分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数 f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜ ）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表： wx+φ 0 π 2π x Asin（wx+φ） 0 5 ﹣5 0 （1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式； （2）将 y=f（x）图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y=g（x）图象，求 y=g（x） 的图象离原点 O 最近的对称中心． 【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式； （2）由函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得 g（x），解得其对称中心即可得解． 【解答】解：（1）数据补充完整如下表： wx+φ 0 π 2π x Asin（wx+φ） 0 5 0 ﹣5 0 函数 f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x﹣ ）． （2）将 y=f（x）图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y=g（x）=5sin[2（x+ ）﹣ ]=5sin（2x+ ）． 由 2x+ =kπ，k∈Z，可解得：x= ﹣ ，k∈Z， 当 k=0 时，可得：x=﹣ ． 从而可得离原点 O 最近的对称中心为：（﹣ ，0）． 【点评】本题主要考查了由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数 y=Asin（ωx+φ） 的图象变换，属于基本知识的考查． 　 19．（12 分）（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公 比为 q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）当 d＞1 时，记 cn= ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 【分析】（1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当 d＞1 时，由（1）知 cn= ，写出 Tn、 Tn 的表达式，利用错位相减法及等比 数列的求和公式，计算即可． 【解答】解：（1）设 a1=a，由题意可得 ， 解得 ，或 ， 当 时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1； 当 时，an= （2n+79），bn=9• ； （2）当 d＞1 时，由（1）知 an=2n﹣1，bn=2n﹣1， ∴cn= = ， ∴Tn=1+3• +5• +7• +9• +…+（2n﹣1）• ， ∴ Tn=1• +3• +5• +7• +…+（2n﹣3）• +（2n﹣1）• ， ∴ Tn=2+ + + + +…+ ﹣（2n﹣1）• =3﹣ ， ∴Tn=6﹣ ． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法 的积累，属于中档题． 　 20．（13 分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马 P﹣ABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，且 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，连接 DE、BD、 BE． （Ⅰ）证明：DE⊥平面 PBC．试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直 角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马 P﹣ABCD 的体积为 V1，四面体 EBCD 的体积为 V2，求 的值． 【分析】（Ⅰ）证明 BC⊥平面 PCD，DE⊥平面 PBC，可知四面体 EBCD 的四个面都是直角 三角形，即可得出结论； （Ⅱ）由已知，PD 是阳马 P﹣ABCD 的高，所以 V1= = ．由（Ⅰ） 知，DE 是鳖臑 D﹣BCE 的高，BC⊥CE，所以 V2= = ．即可求 的值． 【解答】（Ⅰ）证明：因为 PD⊥底面 ABCD，所以 PD⊥BC， 因为 ABCD 为正方形，所以 BC⊥CD， 因为 PD∩CD=D， 所以 BC⊥平面 PCD， 因为 DE⊂平面 PCD， 所以 BC⊥DE， 因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点， 所以 DE⊥PC， 因为 PC∩BC=C， 所以 DE⊥平面 PBC， 由 BC⊥平面 PCD，DE⊥平面 PBC，可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体 EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； （Ⅱ）由已知，PD 是阳马 P﹣ABCD 的高，所以 V1= = ． 由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑 D﹣BCE 的高，BC⊥CE， 所以 V2= = ． 因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点， 所以 DE=CE= CD， 所以 = = =4 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 　 21．（14 分）（2015•湖北）设函数 f（x），g（x）的定义域均为 R，且 f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中 e 为自然对数的底数． （1）求 f（x），g（x）的解析式，并证明：当 x＞0 时，f（x）＞0，g（x）＞1； （2）设 a≤0，b≥1，证明：当 x＞0 时，ag（x）+（1﹣a）＜ ＜bg（x）+（1﹣b）． 【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得 f（x）、g（x）的解析式，再 由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得 f（x）＞0，g（x）＞1； （2）当 x＞0 时， ＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x， ＜bg（x） +1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数 h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通 过导数判断单调性，即可得证． 【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， 即有 f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， f（x）+g（x）=ex，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x， 即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x， 解得 f（x）= （ex﹣e﹣x），g（x）= （ex+e﹣x）， 则当 x＞0 时，ex＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0； g（x）= （ex+e﹣x）＞ ×2 =1， 则有当 x＞0 时，f（x）＞0，g（x）＞1； （2）证明：f′（x）= （ex+e﹣x）=g（x）， g′（x）= （ex﹣e﹣x）=f（x）， 当 x＞0 时， ＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x， ＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x， 设函数 h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x， h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c） =g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x）， ①若 c≤0 则 h′（x）＞0，故 h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0）， 即有 f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故 ＞ag（x）+1﹣a 成立； ②若 c≥1 则 h′（x）＜0，故 h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0）， 即有 f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故 ＜bg（x）+1﹣b 成立． 综上可得，当 x＞0 时，a g（x）+（1﹣a）＜ ＜b g（x）+（1﹣b）． 【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同 时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档 题． 　 22．（14 分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图 1 所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1，MN=3，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖 画出的椭圆记为 C，以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标 系． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动直线 l 与两定直线 l1：x﹣2y=0 和 l2：x+2y=0 分别交于 P，Q 两点．若直线 l 总与 椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最 小值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据条件求出 a，b 即可求椭圆 C 的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解 即可． 【解答】解：（1）设 D（t，0），|t|≤2， N（x0，y0），M（x，y），由题意得 =2 ， 且| |=| |=1， ∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且 ， 即 ，且 t（t﹣2x0）=0， 由于当点 D 不动时，点 N 也不动，∴t 不恒等于 0， 于是 t=2x0，故 x0= ，y0=﹣ ， 代入 x02+y02=1，得方程为 ． （2）①当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线 l 为：x=4 或 x=﹣4，都有 S△OPQ= ， ②直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 为：y=kx+m，（k ）， 由 消去 y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0， ∵直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， ∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即 m2=16k2+4，①， 由 ，可得 P（ ， ），同理得 Q（ ， ）， 原点 O 到直线 PQ 的距离 d= 和|PQ|= •|xP﹣xQ|， 可得 S△OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m|| |=| |②， 将①代入②得 S△OPQ=| |=8| |， 当 k2＞ 时，S△OPQ=8（ ）=8（1+ ）＞8， 当 0≤k2＜ 时，S△OPQ=8| |=﹣8（ ）=8（﹣1+ ）， ∵0≤k2＜ 时，∴0＜1﹣4k2≤1， ≥2， ∴S△OPQ=8（﹣1+ ）≥8，当且仅当 k=0 时取等号， ∴当 k=0 时，S△OPQ 的最小值为 8， 综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，三角形 OPQ 的面积存在最小值为 8． 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角 形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大． 　 参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；刘长柏；maths；changq；cst；吕静；依依；w3239003； 双曲线（排名不分先后） 菁优网 2016 年 8 月 29 日