高考试题——数学理全国卷解析版
2010年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题解析
(必修+选修II)
第I卷
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题
1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. A
7. D 8. C 9. B 10. C 11. D 12. B
(1)复数
(A)i http://www.ks5u.com/ (B) (C)12-13 (D) 12+13
1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.
【解析1】.
【解析2】
(2)记,那么
A. B. - C. D. -
2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.
【解析1】,
所以
【解析2】，
x
A
L0
A
(3)若变量满足约束条件
则的最大值为
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.
【解析2】，画图知过点是最大，
（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【解析1】由等比数列的性质知，10,所以,所以
(5)的展开式中x的系数是
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
【解析2】=5；
=10，
5.C【解析】
2
x的系数是 -10+12=2
(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种
6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.
【解析2】
(7)正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
A B C D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
【解析1】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,
即.设DD1=a,
则,.
所以,记DD1与平面AC所成角为,
则,所以.
【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，
（8）设a=2,b=In2,c=,则
A a
f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).
【解析2】由00，所以.
5.C 解析：本题考查了二项式定理.展开式的通项为，展开式的通项为，因此，展开式的各项为，当时有且或且两种情况，因此展开式中的系数为（-10）+12=2，故选C.
6.A 解析：本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类，A类选修课1门，B类选修课2门，或者A类选修课2门，B类选修课1门，因此，共有种选法，故选A.
7.D 解析：本题考查了立体几何中线面角的求法. 与平面所成角等于与平面所成角,在三棱锥中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面内的射影为等边的垂心即中心H，则为与平面所成角,设正方体棱长为
a,则，故选D.
8.C 解析：本题考查了代数式大小比较的方法.，又，，因此，故选C.
9.B 解析：本题考查了双曲线中有关焦点三角形的问题.由双曲线焦点三角形面积公式得，设P到x轴的距离为h，则由，，P到x轴的距离为，选B.
10.C 解析：本题考查了对数函数、对数式的运算性质、对勾函数图像性质.由题意，由得，，，因此，，由对勾函数性质知在单调递减，因此，即的取值范围是，故选C.
11.D 解析：本题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.设,,
则，, ，，
则
当且仅当时，取“=”，故的最小值为，故选D.
A
B
C
D
M
O
12.B 解析：本题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过OCD三点作球的截面，交AB于点M，由条件知，、均为边长为2的等边三角形，设M到CD的距离为，A到面MCD的距离为，B到面MCD的距离为，则，因此，当AB⊥面MCD时， 最大，故选B.
二、填空题
13. 解析：本题考查了不等式的基本性质. 由得
，不等式解集为. .
a
x
y
14. 解析：本题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式以及两角和差的三角函数公式.由，且为第三象限角得，得，，.
15． 解析：本题考查了利用数形结合的思想解题的策略. 如图，作出的图像，若要使与其有四个交点，需满足，解得.
16. 解析：本题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆C焦点在轴上，中心在原点，B点为椭圆上顶点，F为右焦点，则由,得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半，则D点横坐标，由知，F分所成比为2，，由定比分点坐标公式得，得，得.
三、解答题
17. 解：
由及正弦定理得
从而
又
故
所以
18. 解：
(Ⅰ)记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用.
则 D=A+B·C,
=
=
=0.25+0.5×0.3
=0.40.
(Ⅱ)，其分布列为：
期望.
19. 解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,
由此知 即为直角三角形，故.
又,
所以，.
作，
故与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直
DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB
所以，SE=2EB
(Ⅱ) 由知
.
故为等腰三角形.
取中点F,连接,则.
连接，则.
所以，是二面角的平面角.
连接AG,AG=,,
,
所以，二面角的大小为120°.
解法二：
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，
设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
（Ⅰ）
设平面SBC的法向量为=(a,b,c)
由，得
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,=(1,1,1)
又设 ，则
设平面CDE的法向量=(x,y,z)
由,得，
故 .
令，则.
由平面DEC⊥平面SBC得⊥,
故SE=2EB
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，取DE的中点F，则，
故，由此得
又，故，由此得，
向量与的夹角等于二面角的平面角
于是
所以，二面角的大小为
20.解：
（Ⅰ），
,
题设等价于.
令，则
当，；当时，，是的最大值点，
综上，的取值范围是.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.
当时，；
当时，
所以
21. 解：设，，，的方程为.
（Ⅰ）将代入并整理得
从而
直线BD的方程为，即
令，得
所以点F(1,0)在直线BD上
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为 ，
故 ，解得
所以的方程为
又由（Ⅰ）知
故直线BD的斜率，
因而直线BD的方程为
因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.
由得，或（舍去），
故 圆M的半径.
所以圆M的方程为.
22. 解：（Ⅰ），
所以是首项为，公比为4的等比数列，
（Ⅱ）
用数学归纳法证明：当时.
（ⅰ）当时，，命题成立；
（ⅱ）设当n=k时，，则当n=k+1时，
故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c>2时
当c>2时，令，由得
当
当时，，且
于是，
当时，
因此不符合要求
所以c的取值范围是源
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学（全国卷I）(理工农医类)点评
与去年数学试题相比，今年高考数学试题在题型和题量上基本保持不变。但是，今年的数学试题能力立意型试题较多，运算量较大，难度较去年有所增加，主要体现在试题的思维量和运算量的增加。
在选择题上，今年试题比往年更难。在12道选择题中，前边7题属于基础题，比较容易得分，但从第8题开始，难度增大。如果考生答不出来，又不懂得放弃的话，容易在难题上绊住脚，进而影响后边答题的心态和时间。
在解答题中，第17题仍为三角函数问题，但与往年相比有一定的新意，着重考查了正弦定理及三角公式的恒等变形，在思路上与往年试题有所不同。第20题导数问题，属于起点低、广入口、高结尾的问题。学生感觉题目容易，但是深入较难，不易得高分。第21题解析几何题，由于运算量大，容易使学生产生畏难情绪。第22题数列问题，考查简单的递推关系求通项和不等式证明。第一问较易，大多数学生应该能够顺利完成。但是，第二问难度较大，灵活性较强。
第20、21、22题三道大题，虽然都是多问，但第一问都不好做，尤其是第21题解析几何题，虽然前几年也考过类似题型，但计算量没今年大，部分计算能力不强的同学，也会因此失分。
就整个试卷来看，重点考察函数与导数、数列与不等式、概率统计、直线与圆锥曲线综合的相关内容，试题要求学生对知识点的灵活运用非常到位，这对于大多数学生来说是一个不小的挑战。
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