江苏高考数学 压轴大题突破练 圆锥曲线
中档大题规范练——圆锥曲线
1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实半轴长为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围．
解 (1)设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
由已知，得a＝，c＝2，b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意，知解得
0)的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0，y0)，PF1＝.
(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程；
(2)直线x＝m与椭圆C1在第一象限的交点为Q，若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M，N，使得36AQ2＝35AM·AN，求出直线l的方程．
解 (1)∵在椭圆C1中c＝m，e＝，
∴a＝2m，b2＝3m2，
设椭圆C1的方程为＋＝1，
联立＋＝1与y2＝4mx，
得3x2＋16mx－12m2＝0，
即(x＋6m)·(3x－2m)＝0，
得x＝或－6m(舍去)，
代入y2＝4mx得y＝±，
∴设点P的坐标为(，)，
PF2＝＋m＝，
PF1＝2a－＝＝，
∴m＝1，
此时，椭圆C1的标准方程为＋＝1，
抛物线C2的标准方程为y2＝4x.
(2)由题设知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－4)，
由
消去y整理，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.
由题意知Δ＝(－32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，
解得－b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＋＝1，①
＋＝1，②
①－②，得＋＝0.
因为＝－1，设P(x0，y0)，
因为P为AB的中点，且OP的斜率为，
所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．
所以可以解得a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，
又因为右焦点(c,0)在直线x＋y－＝0上，
解得c＝，所以a2＝6，
所以M的方程为＋＝1.
(2)因为CD⊥AB，直线AB方程为x＋y－＝0，
所以设直线CD方程为y＝x＋m，
将x＋y－＝0代入＋＝1得：
3x2－4x＝0，即A(0，)，B，
所以可得AB＝；
将y＝x＋m代入＋＝1得：
3x2＋4mx＋2m2－6＝0，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则CD＝＝，
又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，
即－3b>0)，⊙O：x2＋y2＝b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
(1)若P(－1，)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
(2)是否存在这样的椭圆C，使得恒为常数？如果存在，求出这个常数及C的离心率e；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由P(－1，)在⊙O：x2＋y2＝b2上，
得b2＝1＋3＝4.
直线PA的斜率kPA＝＝，而直线PA的斜率kPA＝－＝，所以＝，解得a＝4.
所以a2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在椭圆C，使得恒为常数．
设椭圆C的半焦距为c，
当P(－b,0)时，则有＝；
当P(b,0)时，则有＝.
依假设有＝.
①当c－b>0时，有＝，
所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(c－b)，
化简整理得a＝c，这是不可能的．
②当c－b<0时，有＝.
所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(b－c)，
化简整理得ac－b2＝0.
所以c2－a2＋ac＝0，两边同除以a2，
得e2＋e－1＝0.
解得e＝，或e＝∉(0,1)(舍去)．
可见，若存在椭圆C满足题意，
只可能离心率e＝.
设P(x，y)为⊙O：x2＋y2＝b2上任意一点，
则＝
＝＝＝.(*)
由上c2－a2＋ac＝0，
得a2－c2＝ac，
所以·＝·
＝·c＝＝＝1，
从而＝.
代入(*)式得＝＝，
所以存在满足题意的椭圆C，这个常数为 ，
椭圆C的离心率为e＝.
5．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，
则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.
6．在平面直角坐标系xOy中，动点P在椭圆C1：＋y2＝1上，且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x＝2的距离之比等于椭圆的离心率．动点Q是动圆C2：x2＋y2＝r2(1
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