2015四川高考数学理试题及答案

2015四川高考数学理试题及答案

‎2015四川高考数学（理）试题及答案 满分: 班级：_________  姓名：_________  考号：_________  ‎ ‎ 一、单选题（共10小题）‎ ‎1.设集合,集合,则（   ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2.设i是虚数单位，则复数（   ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，输出S的值是（   ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（   ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（   ）‎ A．‎ B．‎ C．6‎ D．‎ ‎6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（   ）‎ A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 ‎7.设四边形ABCD为平行四边形，．若点M，N满足，，则（   ）‎ A．20‎ B．15‎ C．9‎ D．6‎ ‎8.设都是不等于1的正数，则“”是“”的（   ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9.如果函数在区间单调递减，则的最大值为（   ）‎ A．16‎ B．18‎ C．25‎ D．‎ ‎10.设直线与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（   ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 二、填空题（共5小题）‎ ‎11.在的展开式中，含的项的系数是       （用数字作答）。‎ ‎ 12.        。‎ ‎ 13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是45小时，则该食品在33的保鲜时间是       小时。‎ ‎ 14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为    。‎ ‎ 15.已知函数，（其中）。对于不相等的实数，设，，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数，都有； ②对于任意的a及任意不相等的实数，都有； ③对于任意的a，存在不相等的实数，使得 ‎； ④对于任意的a，存在不相等的实数，使得。 其中的真命题有             （写出所有真命题的序号）。‎ ‎ 三、解答题（共6小题）‎ ‎16.设数列的前项和，且成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值。‎ ‎ 17.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率． （2）某场比赛前。从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望．‎ ‎ 18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为 （1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线平面． （3）求二面角的余弦值．‎ ‎19.如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角． （1）证明：‎ ‎ （2）若 求 ‎20.如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为． （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎21.已知函数 （1）设 （2）证明：存在 ‎ 答案部分 ‎1.考点:集合的运算 试题解析: ，选A ‎ 答案:A ‎    2.考点:复数综合运算 试题解析: ，选C ‎ 答案:C ‎    3.考点:算法和程序框图 试题解析: 这是一个循环结构，每次循环的结果依次为： ，第四次循环后， k＝5，输出S＝sin＝，选D ‎ 答案:D ‎    4.考点:三角函数的图像与性质 试题解析: 对于选项A：， 是奇函数，周期为，符合题意； 对于选项B：， 是偶函数，周期为，不合题意； 对于选项C：， 是非奇非偶函数，周期为，不合题意； 对于选项D：， 是非奇非偶函数，周期为，不合题意； 选A ‎ 答案:A ‎    5.考点:双曲线 试题解析: 由题意得，，，故 ‎， 渐近线方程为， 将代入渐近线方程，得 故，选D ‎ 答案:D ‎    6.考点:排列与排列的运用 试题解析: 据题意，万位上只能排4、5. 若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个. 所以共有个.选B ‎ 答案:B ‎    7.考点:数量积的应用 试题解析: ， 所以 ，选C ‎ 答案:C ‎    8.考点:对数与对数函数 试题解析: 若，则，从而有，充分性成立； 若不一定有，比如 ‎， 从而不成立，必要性不成立； 选B ‎ 答案:B ‎    9.考点:函数的单调性与最值 试题解析: 时，抛物线的对称轴为. 据题意，当时，即. . 由且得. 当时，抛物线开口向下，由题意得，即. . 由且得，故应舍去. 要使得取得最大值，应有. 所以， 所以最大值为18.选B ‎ 答案:B ‎    10.考点:直线与圆的位置关系抛物线 试题解析: 不妨设直线， 代入抛物线方程有：， 则 又中点，则 即（当时） 代入，可得，即 ‎ 又由圆心到直线的距离等于半径， 可得 由，可得，选D ‎ 答案:D ‎    11.考点:二项式定理与性质 试题解析: ，所以的系数为 ‎ 答案:‎ ‎    12.考点:恒等变换综合 试题解析:‎ ‎ 答案:‎ ‎    13.考点:函数模型及其应用 试题解析: 由题意得：，所以，， 所以时，‎ ‎ 答案:24‎ ‎    14.考点:空间的角 试题解析: 建立坐标系如图所示.设，则. 设，则 ，由于异面直线所成角的范围是， 所以 ，令，， 则，当时取等号， 所以 当时，取得最大值。‎ ‎ 答案:‎ ‎    15.考点:函数综合 试题解析: 对于①，因为f '(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正确； 对于②，取a＝－8，即g'(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误； 对于③，令f '(x)＝g'(x)，即2xln2＝2x＋a 记h(x)＝2xln2－2x，则h'(x)＝2x(ln2)2‎ ‎－2 存在，使得，可知函数先减后增，有最小值。 因此，对任意的，不一定成立，③错误； 对于④，由，即 令，则 即是单调递增函数， 当时， 当时， 因此对任意的，存在于函数有交点，④正确；‎ ‎ 答案:①④‎ ‎    16.考点:数列综合应用 试题解析: （1）由已知，有， 即. 从而. 又因为成等差数列，即. 所以，解得. 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列. 故. （2）由（1）得 ‎ 所以 由，得，即 因为，所以 于是，使成立的的最小值为 ‎ 答案:（1）（2）使成立的n的最小值为10．‎ ‎    17.考点:概率综合 试题解析: （1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取 （等价于A中没有学生入选代表队）的概率为. 因此，A中学至少1名学生入选的概率为. （2）根据题意，X的可能取值为1，2，3. ，，， 所以X的分布列为： 因此，X的期望为.‎ ‎ 答案:（1）（2）见解析 ‎    18.考点:立体几何综合 试题解析: （1）点的位置如图所示 （2）连结BD，设O为BD的中点. 因为M、N分别是BC、GH的中点， 所以，且， ，且， 所以，且， 所以是平行四边形， 从而， 又平面，平面， 所以平面. （3）连结AC，过M作于P. 在正方形中，， 所以. 过P作于K，连结KM， 所以平面， 从而. 所以是二面角的平面角. 设，则， 在中，. 在中，‎ ‎. 所以. 即二面角的余弦值为 ‎ 答案:（1）点的位置如图所示（2）见解析（3）二面角的余弦值为 ‎    19.考点:恒等变换综合 试题解析: （1）. （2）由，得. 由（1），有 ，连结BD， 在中，有， 在中，有， 所以 ， 则， 于是. 连结AC，同理可得 ‎ ， 于是. 所以 .‎ ‎ 答案:（1）见解析（2）=‎ ‎    20.考点:圆锥曲线综合 试题解析: （1）由已知，点在椭圆E上. 因此，解得. 所以椭圆的方程为. （2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点. 如果存在定点Q满足条件，则，即. 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为. 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点. 则， 由，有，解得或. 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件， 则Q点的坐标只可能为. 下面证明：对任意的直线，均有. 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线 的斜率存在时， 可设直线的方程为，A、B的坐标分别为. 联立得. 其判别式， 所以，. 因此. 易知，点B关于y轴对称的点的坐标为. 又， 所以，即三点共线. 所以. 故存在与P不同的定点，使得恒成立.‎ ‎ 答案:（1）（2）存在与点P不同的定点，使得恒成立．‎ ‎    21.考点:导数的综合运用 试题解析: （1）由已知，函数的定义域为，‎ ‎ ， 所以. 当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增. （2）由，解得. 令. 则，. 故存在，使得. 令，. 由知，函数在区间上单调递增. 所以. 即. 当时，有，. 由（1）知，函数在区间上单调递增. 故当时，有，从而； 当时，有，从而； 所以，当时，. 综上所述，存在，使得在区间内恒成立， 且在内有唯一解.‎ ‎ 答案:（1）当时，在区间 上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增．（2）见解析 ‎    ‎