高考数学一轮复习讲义椭圆双曲线及抛物线无答案
椭圆、双曲线及抛物线
知识点一、椭圆
1、椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－b≤y≤－a≤y≤
－a≤x≤，－b≤x≤，
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为，短轴B1B2的长为
焦距
|F1F2|＝
离心率
e＝，e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
小题速通
1．(2019·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B. C. D.
2．在平面直角坐标系xOy中，△ABC上的点A，C的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，若点B在椭圆＋＝1上，则＝( )
A. B. C. D.
3．已知椭圆＋＝1(m＞0)的焦距为8，则m的值为( )
A．3或 B．3 C. D．±3或±
4．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
清易错
1、求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
2、注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
变式训练
1．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21 C．－或21 D.或－21
2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
A. B. C. D.
知识点二、双曲线
1、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2、标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
3、双曲线的性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
小题速通
1．(2019·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
2．已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1
3．(2019·张掖一诊)如图，F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B．4
C. D.
4．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
清易错
1、注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
2、易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
变式训练
1．双曲线－＝1(0＜m＜3)的焦距为( )
A．6 B．12 C．36 D．2
2．已知直线l：4x＋3y－20＝0经过双曲线C：－＝1的一个焦点，且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的实轴长为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
知识点三、抛物线
1、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
小题速通
1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线－＝1的右焦点，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝10x D．y2＝20x
2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D．0
3．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( )
A．2 B. C. D.
4．已知抛物线y2＝6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．
清易错
1、抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2、抛物线标准方程中的参数p，易忽视只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
变式训练
1、动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________．
2、抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
知识点四、直线与圆锥曲线的位置关系
1、直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2、圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝ ·|y1－y2|＝ ·.
小题速通
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．过抛物线x2＝8y的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|＝________.
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相交，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
清易错
1、直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2、直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．
变式训练
1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
过关检测练习
一、选择题
1．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )
A．y＝8x2 B．y＝16x2
C．x2＝8y D．x2＝16y
2．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为( )
A．9 B．23
C．9或23 D．16－或16＋
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
4．若双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足·＝0的点P依次记为P1，P2，P3，P4，则四边形P1P2P3P4的面积为( )
A. B．2
C. D．2
5．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±3x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
7．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
A. B.
C．1 D.
二、填空题
9．(2019·北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
10．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
11．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为__________．
12．(2019·西安中学模拟)如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________.
三、解答题
13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且函数y＝x2－的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
14.已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
高考研究课一、椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系
全国卷5年命题分析
考点
考查频度
考查角度
椭圆的标准方程
5年2考
求椭圆的标准方程
椭圆的几何性质
5年3考
求离心率，求参数
直线与椭圆的位置关系
5年6考
弦长问题、面积最值、斜率范围
题型一、椭圆的定义及标准方程
例、(1)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·大庆模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
方法技巧
(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
即时演练
1．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
题型二、 椭圆的几何性质
例、(1)(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
(2)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
①若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
②若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，求椭圆离心率e的取值范围．
方法技巧
椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
即时演练
1．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△F1PF2为直角三角形，则椭圆E的离心率为__________．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
题型三、直线与椭圆的位置关系
例、(2019·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)
的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程．
方法技巧
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
即时演练
1．设椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，斜率为k的直线过右焦点F2，与椭圆交于A，B，与y轴交于C，B为CF2的中点，若|k|≤，则椭圆离心率e的取值范围为__________．
2．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
2．(2019·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
3．(2019·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2.
5．(2019·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
高考达标检测
一、选择题
1．如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
2．已知直线2kx－y＋1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A．(1,9] B．[1，＋∞)
C．[1,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2 ，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为( )
A．2 B.
C. D.
5．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的左、右焦点，若· <0，则x0的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
二、填空题
7．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0
b>0)的左、右焦点，点P(－1，e)在椭圆上，e为椭圆的离心率，且点M为椭圆短半轴的上顶点，△MF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F2作不与坐标轴垂直的直线l，设l与圆x2＋y2＝a2＋b2相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点，当·＝λ且λ∈时，求△F1CD的面积S的取值范围．
11．已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A1，A2是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
能力提高训练题
已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，|PF|＝.
(1)求椭圆M的方程；(2)若S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线PQ的方程．
高考研究课二、双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质
全国卷5年命题分析
考点
考查频度
考查角度
双曲线的定义及标准方程
5年1考
求双曲线的标准方程
双曲线的几何性质
5年7考
由离心率求渐近线、求离心率、求实轴长范围问题
直线与双曲线的位置关系
未独立考查
题型一、双曲线的定义及标准方程
例、(1)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
(2)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B．x2－＝1 C．y2－＝1 D．x2－＝1
方法技巧
解双曲线定义及标准方程有关问题的2个注意点
(1)应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一非零常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．
即时演练
1．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
2．已知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的焦距为__________．
题型二、双曲线的几何性质(渐近线与离心率问题)
双曲线的渐近线与离心率问题是高考命题的热点．
常见的命题角度有：
(1)已知离心率求渐近线方程；
(2)由离心率或渐近线求双曲线方程；
(3)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率．
角度一：已知离心率求渐近线方程
1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
角度二：由离心率或渐近线求双曲线方程
2．(2019·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C
的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
角度三：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率
3．双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝a与双曲线M的渐近线交于点P，若sin∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率为__________．
方法技巧
解决有关渐近线与离心率关系问题的2个注意点
(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．
题型三、直线与双曲线的位置关系
例、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点C，D，如果C，D都在以点A(0，－1)为圆心的同一个圆上，求实数m的取值范围．
方法技巧
直线与双曲线的位置关系判断方法和一个技巧
(1)判断方法
直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．
(2)一个技巧
对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．
即时演练
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
2．(2019·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C
的离心率为( )
A．2 B. C. D.
3．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2)
4．(2019·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，)
5．(2019·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2 C. D.
6．(2019·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若· <0，则y0的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
8．(2019·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
9．(2019·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
高考达标检测
一、选择题
1．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的公共焦点为F1，F2，若P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B．m2－a2 C. D.－
3．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
4．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|＝，则E的离心率为( )
A．2 B. C. D.
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D．2
6．(2019·东北四校联考)已知点F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为12a，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( )
A. B. C. D.
8．已知双曲线C：－＝1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°且＝5，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B. C. D．3
二、填空题
9．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
10．(2019·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
11．已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2－|PF2|2＝c2，则双曲线的离心率e＝__________.
12．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线的离心率e的取值范围为__________．
三、解答题
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
14．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．
能力提高训练题
1．(2019·江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t2，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A. B. C. D.
3．已知双曲线－＝1与点M(5,3)，F为右焦点，若双曲线上有一点P，则|PM|＋|PF|的最小值为__________．
高考研究课三、抛物线命题3角度——求方程、研性质、用关系
全国卷5年命题分析
考点
考查频度
考查角度
抛物线的标准方程
未独立考查
抛物线的几何性质
5年6考
焦半径、弦长、面积等问题
直线与抛物线的位置关系
5年2考
抛物线的切线、存在性问题
题型一、抛物线的标准方程及几何性质
例、(1)(2019·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
(2)(2019·兰州双基过关考试)抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
方法技巧
1．求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．记住与焦点弦有关的5个常用结论
如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，有以下结论：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
即时演练
1．(2019·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )
A．2 B. C. D.
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率为( )
A．2 B．2 C．±2 D．±2
题型二、抛物线的定义及应用
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.,常见的命题角度有：
1、到焦点与定点距离之和最小问题；
2、到焦点与动点距离之和最小问题；
3、焦点弦中距离之和最小问题.
角度一：到焦点与定点距离之和最小问题
1．(2019·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(0,0) B. C．(1，) D．(2,2)
角度二：到焦点与动点距离之和最小问题
2．(2019·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
角度三：焦点弦中距离之和最小问题
3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
方法技巧
与抛物线有关的最值问题的2个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
题型三、直线与抛物线的位置关系
例、(2019·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
方法技巧
直线与抛物线位置关系问题的求解策略
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
即时演练
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，交x轴于点D，B到x轴的距离比|BF|小1.
(1)求C的方程；
(2)若S△BOF＝S△AOD，求l的方程．
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
2．(2019·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2 C．2 D．3
3．(2019·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A. B．1 C. D．2
4．(2019·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
6．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A. B.
C．3 D．2
7．(2019·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
8．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
高考达标检测
一、选择题
1．若点P到直线x＝－3的距离比它到点(2,0)的距离大1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则p＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋| |＋| |的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
5.已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，一条长度为4p的线段AB的两个端点A，B在抛物线C上运动，则线段AB的中点M到y轴距离的最小值为( )
A．2p B.p C.p D．3p
6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，直线l：y＝m(x－1)与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|＝3|FB|，则m的值为( )
A．3 B. C. D.
二、填空题
7．(2019·天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．
8．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，P，Q是C上任意两点，点M(0，－1)满足·≥0，则p的取值范围是________．
9．已知点P在抛物线y＝x2上，点Q在圆C：(x－4)2＋2＝1上，则|PQ|的最小值为__________．
三、解答题
10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．
11．已知动点P到点的距离比它到直线x＝－的距离小2.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)记P点的轨迹为E，过点S(2,0)，斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q(1,0)，延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．
12．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|－|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为E.
(1)求双曲线C的渐近线方程和抛物线E的方程；
(2)过抛物线E的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M，N两点，当直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线E的焦点？
能力提高训练题
1．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F作斜率为的直线l，与抛物线C及其准线分别相交于A，B，D三点，则的值为( )
A．2或 B．3或 C．1 D．4或
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过定点M(m,0)(m＞0)的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：＝λ，＝μ.
①当m＝时，求证：λ＋μ为定值；
②若点R是直线l：x＝－m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为kAR，kBR，kMR，是否存在常数s，使得kAR＋kBR＝s·kMR恒成立？若存在求出s的值；若不存在，请说明理由．
高考研究课四、轨迹方程求解3方法——直接法、定义法、代入法
全国卷5年命题分析
考点
考查频度
考查角度
定义法求轨迹方程
5年1考
由圆与圆位置关系求动点轨迹、求弦长
直接法求轨迹方程
5年2考
求中点的轨迹方程
代入法求轨迹方程
5年1考
求点的轨迹方程
题型一、直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式，就得到曲线的轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据求解，所以称之为直接法.
例、(1)(2019·津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2 (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为________________．
方法技巧
利用直接法求轨迹方程的思路及注意点
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
即时演练
已知点A(－2,0)，B(3,0)，若动点P满足·＝2，则动点P的轨迹方程为________．
题型二、定义法
若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义法直接设出所求方程，再确定系数求出动点的轨迹方程．
例、(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
(2)如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，且|CP|＝1，动点C的轨迹为曲线M，求曲线M的方程．
方法技巧
定义法求轨迹方程的思路、关键及注意点
(1)思路：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．
(3)注意点：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
即时演练
已知圆C与两圆C1：x2＋(y＋4)2＝1，C2：x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.
(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．
题型三、相关点法(代入法)求轨迹方程
有些问题中，若动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或坐标代入法.
例、在圆O：x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．
(1)当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程；
(2)若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的位置关系．
方法技巧
代入法求轨迹方程的4个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)．
(2)寻求与所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．
(3)建立P，Q两坐标的关系表示出x′，y′.
(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
即时演练
已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2．(2019·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
高考达标检测
一、选择题
1．(2019·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
2．(2019·呼和浩特调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
3．已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且|OD|＝|BE|，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是( )
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)
B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)
C．y＝x2(0≤x≤1)
D．y＝1－x2(0≤x≤1)
4.(2019·安徽六安一中月考)如图，已知F1，F2是椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
5．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1
C．y2－＝－1 D．x2－＝1
6．(2019·梅州质检)动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
二、填空题
7．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是____________．
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是____________．
9．(2019·河北定州中学测试)已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
三、解答题
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
11．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
12．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为(0,1)，(0，－1)，动点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为－，直线AP，BP与直线y＝－2分别交于点M，N.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)求线段MN的最小值；
(3)以线段MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
能力提高训练题
在平面直角坐标系中，动圆经过点M(0，t－2)，N(0，t＋2)，P(－2,0)．其中t∈R.
(1)求动圆圆心E的轨迹方程；
(2)过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A，B，直线OA与直线OB分别交直线x＝2于两点C，D，记△ACD与△BCD的面积分别为S1，S2.求S1＋S2的最小值．
高考研究课五、圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系
全国卷5年命题分析
考点
考查频度
考查角度
弦长问题
5年5考
求弦长、由弦长求参数
中点弦问题
5年2考
由弦中点求方程
题型一、直线与圆锥曲线的位置关系
例、(1)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
(2)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A．k＞－ B．k＜
C．k＞或k＜－ D．－＜k＜
方法技巧
1、直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
2、直线与圆锥曲线位置关系的2个关注点
(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
即时演练
1．(2019·厦门模拟)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点分别在左、右两支上
2．(2019·河南九校联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围为( )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3,0) D．(－2,0)
题型二、弦长问题
例、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，又l与直线
y＝x，y＝－x分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2(O为坐标原点)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围．
方法技巧
处理弦长问题的2个注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．
即时演练
1．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与抛物线相交于P，Q两点，则＋＝( )
A. B．1
C．2 D．4
2.如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2＝2py(p＞0)的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2＋y2＝1相切于点Q.
(1)当直线MQ的方程为x－y－＝0时，求抛物线C1的方程；
(2)当正数p变化时，记S1，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值．
题型三、中点弦问题
弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．
常见的命题角度有：
(1)由中点弦确定直线方程；
(2)由中点弦确定曲线方程；
(3)由中点弦解决对称问题．
角度一：由中点弦确定直线方程
1．在椭圆＋＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为__________．
角度二：由中点弦确定曲线方程
2．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________________．
角度三：由中点弦解决对称问题
3．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为__________．
方法技巧
处理中点弦问题常用的2种方法
(1)点差法
设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系
联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
3．(2019·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
高考达标检测
一、选择题
1．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为( )
A．1 B.
C. D．2
2．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为( )
A. B．0
C.或0 D．8或0
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)
，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝ ( )
A. B.
C. D．2
5．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
二、填空题
7．焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为__________．
8．经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为________．
9．抛物线x2＝4y与直线x－2y＋2＝0交于A，B两点，且A，B关于直线y＝－2x＋m对称，则m的值为________．
三、解答题
10．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F2(c,0)垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点且|PQ|＝，又过左焦点F1(－c,0)作直线l交椭圆于两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．
11．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．
12．(2019·海口调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M
为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．
能力提高训练题
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x＝2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q.记λ＝，若直线l的斜率k≥，则λ的取值范围为__________．
2．已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x＝－2的距离小1.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N.设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
(3)在(2)的条件下，求△FPQ面积的最小值．
高考研究课六、圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明问题
全国卷5年命题分析
考点
考查频度
考查角度
最值问题
5年2考
求面积最值
范围问题
5年2考
求面积的范围、求参数范围
证明问题
5年3考
证明直线过定点、证明定值、证明等式
题型一、最值问题
例、(2019·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝，M是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
方法技巧
最值问题的3个求解方法
(1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
(2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值．
(3)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值．
即时演练
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与y2＝4x的焦点重合，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(－1,0)，求△OPQ面积的最大值(O为坐标原点)．
题型二、范围问题
例、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)离心率为，过点E(－，0)的椭圆的两条切线相互垂直.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若存在过点(t,0)的直线l交椭圆于A，B两点，使得FA⊥FB(F为右焦点)，求t的取值范围.
方法技巧
求参数范围的4个常用方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
即时演练
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且|PF|max·|QF|min＝.
(1)求椭圆的长轴与短轴的比值；
(2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．
题型三、证明问题
例、(2019·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
方法技巧
圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．
即时演练
(2019·成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
2．(2019·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
3．(2019·全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
高考达标检测
1．已知A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D是椭圆上的一点，△DF1F2的周长为6，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P是圆x2＋y2＝7上任一点，过点P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋2＝上．
(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值．
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，P为C上的动点，且满足＝λ (λ>0)，||＝|1|，△QF1F2面积的最大值为4.
(1)求点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(m＞0)与椭圆C相切且与曲线E交于M，N两点，求S△F1MN的取值范围．
4.如图，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线y＝kx＋m(k＞0)交椭圆于C，D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M，N两点(M，N不重合)，且|CN|＝|DM|，求k的值；
(3)在(2)的条件下，若m＞0，设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．
能力提高训练题
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过定点B(1,0)作直线l与椭圆C相交于P，Q(异于A1，A2)两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M(2x0，y0)．
①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；②求证：点M始终在一条定直线上．
高考研究课七、圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题
全国卷5年命题分析
考点
考查频度
考查角度
定点问题
5年1考
直线过定点
定值问题
5年2考
证明斜率积为定值、证定值
探索性问题
5年2考
探索点的存在性问题
题型一、定点问题
例、已知右焦点为F的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M，直线x＝a与抛物线C1：x2＝y交于点N，且＝，其中O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点．若直线l与x轴垂直，过点P(4,0)的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点．
方法技巧
定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
即时演练
如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．
(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．
题型二、定值问题
例、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
方法技巧
求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
即时演练
设抛物线C1：y2＝8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设N(0，－2)，过点P(1,2)作直线l，交椭圆C2于异于N的A，B两点．
①若直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值；
②以B为圆心，以BF2为半径作圆B，是否存在定圆M，使得圆B与圆M恒相切？若存在，求出圆M的方程，若不存在，请说明理由．
题型三、探索性问题
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：
(1)探索是否存在常数的问题；
(2)探索是否存在点或直线的问题；
(3)探索最值或定值的存在性问题.
角度一：探索是否存在常数的问题
1.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程．
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
方法技巧
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．
角度二：探索是否存在点或直线的问题
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝2与y的轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过焦点F的直线l的斜率为－1，判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l对称，若存在，求出|MN|的值，若不存在，说明理由．
方法技巧
探索是否存在直线时要注意判断直线的斜率是否存在．探究是否存在点时要注意利用特殊情况先判断再证明或直接判断．
角度三：探索最值或定值的存在性问题
3．(2019·湖南六校联考)如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.
(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
方法技巧
解决探索性问题的注意事项
解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
3．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
高考达标检测
1.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，其中一个顶点为B(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；
(3)过椭圆C1：＋＝1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2＋y2＝的两条切线，切点分别为M，N(M，N
不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：＋为定值．
能力提高训练题
已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若·＝0，||·||＝8.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过右焦点F2(，0) (不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P(x0,0)，使得·的值为定值？若存在，写出P点的坐标；若不存在，说明理由．
阶段滚动检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|x>3}，B＝，则A∩B＝( )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞) C．(3,4] D．(3,4)
2．若“∃x0∈[－1，m](m>－1)，|x0|－1>0”是假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1,1] C．[1，＋∞) D．[0,1]
3．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( )
A．－7 B．－3 C．2 D．3
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围为( )
A．[1,2] B. C．(0,2] D.
5．设P是左、右顶点分别为A，B的双曲线x2－y2＝1上的点，若直线PA的倾斜角为，则直线PB的倾斜角是( )
A. B. C. D.
6．已知a，b，c均为正数，且(a＋c)(b＋c)＝2，则a＋2b＋3c的最小值为( )
A. B．2 C．4 D．8
7．函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x的图象向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到函数g(x)，若存在x0，使得|g(x0)|≤a成立，则a的最小值为( )
A．3 B．1 C．5 D．2
8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为＋π，则a的值为( )
A. B．1
C．2 D．3
9．已知数列{an}的前n项和为Sn＝ln，则ea7＋a8＋a9＝( )
A. B. C. D.
10．设直线xcos θ－ysin θ＋2cos θ＝0(θ∈[0，π))与关于x，y的不等式组所表示的平面区域有公共点，则θ的取值范围为( )
A.∪{0} B. C.∪{0} D.∪{0}
11．菱形ABCD的对角线相交于点O，其中AO＝，P是△BCD内(包括边界)一动点，则·的取值范围是( )
A．[15,20] B．[10,20] C．[10，20] D．[5,10]
12．设0b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．
21．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆分别交于两点M，N，求·的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝aln x.
(1)若曲线y＝f(x)－g(x)在x＝1处的切线的方程为6x－2y－5＝0，求实数a的值；
(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有>2恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若在[1，e]上存在一点x0，使得f′(x0)＋
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