高考数学分类复习数列常见题型和方法

高考数学分类复习数列常见题型和方法

高考数学分类复习数列常见题型和方法 一、基础知识复习 ‎1.等差数列 ‎（1）等差数列的判断：定义法或。‎ ‎（2）等差数列的通项：或。‎ ‎（3）等差数列的前和：，。‎ 如a.数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿；‎ b.已知数列 的前n项和，求数列的前项和.‎ ‎(4).等差数列的性质：‎ ‎（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.‎ ‎（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。‎ ‎（3）当时,则有，特别地，当时，则有.‎ 如a.等差数列中，，则＝____；‎ b.设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________ ‎ c.等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。‎ ‎2.等比数列：‎ ‎（1）等比数列的判断：定义法，其中或 ‎。‎ 如:数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。‎ ‎（2）等比数列的通项：或。‎ 如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比. ‎ ‎（3）等比数列的前和：当时，；当时，‎ ‎。‎ 如等比数列中，＝2，S99=77，求 ‎ ‎（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。‎ 如:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。‎ ‎(5).等比数列的性质：‎ ‎（1）当时，则有，特别地，当时，则有.‎ 如:各项均为正数的等比数列中，若，则 。‎ ‎(2) 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. ‎ 如: 在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______‎ ‎3.数列的通项的求法：‎ ‎⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。‎ ‎⑵已知（即）求，用作差法：。如:数列满足，求. ‎ ‎(3)若求用累加法：‎ ‎。‎ 如已知数列满足，，则=________ ‎ ‎(4)已知求，用累乘法：。‎ ‎ (5)已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。‎ 如:a.已知，求；‎ b.已知，求. ‎ C．已知，求；‎ D．已知数列满足=1，，求. ‎ ‎7.数列求和：‎ ‎（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.‎ 如:等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____； ‎ ‎（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. ‎ 如求： ‎ ‎（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. ‎ 如:求证：； ‎ ‎（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. ‎ 如:设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.‎ ‎（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：‎ ‎； ；‎ ‎ ；；‎ ‎.‎ 如:求和： ；‎ 二、题型训练 ‎1. 已知数列的前项和为,设是与2的等差中项,数列中,,‎ 点在直线上.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和为,比较与2的大小;‎ ‎(Ⅲ)令,是否存在正整数,使得对一切正整数都成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎1.解 (Ⅰ)由题意,得,,.‎ ‎ ,,‎ ‎.数列是以2为公比,首项的等比数列,‎ N).点在直线上,‎ ‎, 即.数列是以2为公差,首项的等差数列.‎ N).‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎ (Ⅲ) ①‎ ‎ ② ‎ ‎①-②得,‎ ‎.单调递增，．‎ 要使对一切正整数都成立，只要且为正整数，的最小值为３．‎